从《几何原本》中勾股定理的证明说起…….doc

许昌市二中 张书阳 数学新人教版数学八年级下册勾股定理延伸综合课“” 模 型 的 全 等 延 伸 -从几何原本中勾股定理的证明说起 在课题选择上，开始一直纠结讲一节函数（八下这个阶段正处于一次函数讲解阶段），还是一节几何综合。在2017年许昌市二模试卷出来之后，我确定讲几何综合课，因为二模试卷上第22题所选用的是八年级数学一直关注的模型，在全等三角形一章中，已经初步领略“类比探究”的奥秘；在勾股定理一章中，我们又重温这个最特别的模型；在平行四边形一章中，我们又见识了不同多边形的性质。鉴于此，我坚信地认为这里面大有文章可做，大有数学知识可探。于是，我把本节课定位成勾股定理延伸综合课，从勾股定理的证明出发走入庞大复杂的类比探究中，期待学生减少一些综合畏惧感。学习目标:1. 从熟悉的勾股定理的证明图中抽象出图形模型，并能在此基础上进行多变；2. 能善于发现问题，大胆猜测结论，并且加以证明，培养猜测与验证的推理能力；3. 通过抽象图形类比探究操作发现-灵活应用，提高逻辑思维能力，体验变中不变，动静结合的几何处理方法和类比转化的数学思想；4. 了解几何原本这一伟大数学史料，激发对数学的探索欲望.学习重点: 经历一图多变的过程，培养推理证明能力.学习难点：体验变中不变，动静结合的几何处理方法和类比转化的数学思想. 在目标设定上，我一直思考通过这节课我要向学生传递怎样的数学，怎样的思考，所以目标设置稍显生硬，但又具体，体现了众多数学的高端词汇：抽象、模型、多变、猜测、验证、类比、变中不变，动静结合等等，在此目标引导下，我开始为过程的环环设计做出准备。学习过程：一、创设情境 初步感知微课欣赏：从几何原本中勾股定理的证明说起 微课，对于我来说是个新生事物，我第一次尝试做自己的微课加入自己的课堂里。微课的名字是从几何原本中勾股定理的证明说起，把这一段设置为微课，原因有二：一是这并不是本节课的教学目标（不是为了讲欧几里得的勾股定理证法），只用说明，不用研究；二是对于几何原本数学史料的介绍，再加上自己的诠释和几何画板的联用，使课程引入稍显轻松，为后面的探究烘托一些愉悦气氛。当然，微课制作有些粗糙，还需锤炼。2、 抽象图形 类比探究图1（一）抽象图形：若ABC由直角三角形变成一般三角形,以三角形的两边为边作正方形，会得到这样一个图形：如图1，分别以锐角ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG.问题1：（1）还有类似的全等吗？如何构造？ （2）你还有什么发现？并说明理由.图2（二）类比探究：已知ABC，如图2，分别以AB、AC为边向ABC外侧作等边ABD和等边ACE,连接BE,CD,请自己完成作图过程，并说明BE与CD的数量关系.思考反思：一个一般三角形，取任两边向外作正方形、等边三角形，均可借助图形性质，构造全等三角形，其依据为 （三）操作发现：你还有怎样的创作，能得出类似的结论？请在图3上试一试。图3提炼本质：一个一般三角形，取任两边向外作图，只要满足 ,即可构造全等三角形.图4（四）灵活应用：如图4，已知在ABC中，AB=2，BC=3,=45，过点A作EAAC,且满足EA=AC.求BE. 整个探究过程分“抽象图形类比探究操作发现-灵活应用”四个步骤： 1. 从勾股定理证明图中做简单调整（把直角三角形变成一般三角形，弱化了对三角形形状的限制，同时减少了一个正方形，此为“一变”）抽象出图模型，对比勾股定理证明图，发现有“类似的全等、类似的线段相等”，引导学生发现全等三角形构造的依据：利用正方形的特殊性，巧妙借助两个三角形全等，进而解决问题； 2.接下来，实现一图多变“第二变”，把以三角形两边向外做出的正方形改为等边三角形，引导学生思考反思：一个一般三角形，取任两边向外作正方形、等边三角形，均可借助图形性质，构造全等三角形，其依据为 SAS; 3.外做正方形和等边三角形能得出类似的结论，那么“你还有怎样的创作，能得出类似的结论？”再次引爆学生思维，进行尽可能多的操作发现：向外作等腰直角三角形、一般等腰三角形（顶角相等）、菱形（两夹角相等）、矩形（不成立，得相似，反例对比更加凸显问题本质）、正五边形、正n边形，到最后：仅作两条线段分别和AB、AC相等，并且夹角相等即可，最终提炼本质：一个一般三角形，取任两边向外作图，只要满足“做的邻边与之相等，且其与邻边的夹角相等”两个条件,即可构造全等三角形.得出结论的同时，展示班级一个超级学生做的“补圆心角相等，半径分别等于AB、AC的扇形”的经典图，还有一个学生做的“左侧五边形、右侧四边形”的特殊例子，引发学生对本质的理解和数学创作的极大兴趣。 4.在自由创作之后，学生看到原本最难可以放弃的最后一问时，也大胆搞起了创作，在AB边做了等腰直角三角形，极快又准地创造了本节数学模型，进而快速解题。在学生分享本题处理过程中，两个学生一起总结了完善的三个方面：1.前面的探究对这道题一定有帮助，右侧已经呈现等腰直角三角形，左侧必定得做一个等腰直角三角形，进而构造全等；2.题中给了一个45，再加上做的等腰直角三角形中的45 ，合起来得90，恰恰为勾股定理创造条件；3.要求BE，目前没有直接求得的条件，所以得间接求得，需要作转化（即CD）.孩子们能做出这样的分析，也着实让我为之高兴。三、归纳总结 思维升华回顾这节课的学习过程，结合学习目标，你在知识、思想方法、实际运用及情感态度方面都有哪些感悟？谈一谈你的收获和体会.经历了“声嘶力竭”脑力与嘴力的战斗，学生想说的话很多，留了“归纳总结与思维升华”，有学生说这种题目原来是不可攀的，现在我不恐高了，有学生说了自己做某道题时百思不得其解的辅助线现在豁然开朗了，有学生说数学还是蛮有趣的，有学生说万变不离其宗，究其本质就好我想告诉学生们的是：数学是人类智慧的一种表达方式，它反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推进，共性和个性。相信在这节课里，你们会有所感悟。 四、拓展应用 挑战自我（2013湘潭）在数学探究课中，小刚同学将边长为和3的2个正方形放置在直线l上，如图1，连接AD，CF,经测量发现AD=CF.(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长综上，数学问题因变化而精彩，对于一道貌似很简单的题目，通过合理的改编，往往可以生成一些具有丰富内涵的创新问题，并以此来激发学生的解题思维，培养其