《结构力学》第七章力法.ppt

1 第七章力法 2 7 2超静定次数的确定 7 3力法的基本概念 7 4力法的典型方程 7 6对称性的利用 7 5力法的计算步骤和示例 7 7超静定结构的位移计算 7 9温度变化时超静定结构的计算 7 10支座移动时超静定结构的计算 7 13超静定结构的特性 7 8最后内力图的校核 力法 7 1概述 第七章力法 3 7 1概述 1 静定结构与超静定结构 静定结构 超静定结构 A B C P P 全部反力和内力只用平衡条件便可确定的结构 仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构 A B P HA VA RB VA HA RB RC 外力超静定问题 内力超静定问题 力法 返回 4 P A B C P 2 超静定结构在几何组成上的特征 多余联系与多余未知力的选择 是几何不变且具有 多余 联系 外部或内部 多余联系 这些联系仅就保持结构的几何不变性来说 是不必要的 多余未知力 多余联系中产生的力称为多余未知力 也称赘余力 此超静定结构有一个多余联系 既有一个多余未知力 此超静定结构有二个多余联系 既有二个多余未知力 力法 返回 5 3 超静定结构的类型 1 超静定梁 2 超静定桁架 3 超静定拱 4 超静定结构的解法 求解超静定结构 必须综合考虑三个方面的条件 1 平衡条件 2 几何条件 3 物理条件 具体求解时 有两种基本 经典 方法 力法和位移法 4 超静定刚架 5 超静定组合结构 力法 返回 6 7 2超静定次数的确定 1 超静定次数 2 确定超静定次数的方法 解除多余联系的方式通常有以下几种 1 去掉或切断一根链杆 相当于去掉一个联系 2 拆开一个单铰 相当于去掉两个联系 用力法解超静定结构时 首先必须确定多余联系或多余未知力的数目 多余联系或多余未知力的个数 采用解除多余联系的方法 力法 返回 7 3 在刚结处作一切口 或去掉一个固定端 相当于去掉三个联系 4 将刚结改为单铰联结 相当于去掉一个联系 应用上述解除多余联系 约束 的方法 不难确定任何超静定结构的超静定次数 X2 X2 力法 返回 8 3 例题 确定图示结构的超静定次数 n n 6 n 3 7 21 对于具有较多框格的结构 可按框格的数目确定 因为一个封闭框格 其超静定次数等于三 当结构的框格数目为f 则n 3f 力法 返回 9 7 3力法的基本概念 首先以一个简单的例子 说明力法的思路和基本概念 讨论如何在计算静定结构的基础上 进一步寻求计算超静定结构的方法 A B EI L 1判断超静定次数 n 1 q q A B 原结构 2 确定 选择 基本结构 3写出变形 位移 条件 a b q 基本结构 根据叠加原理 式 a 可写成 力法 返回 10 L 将 代入 b 得 4 建立力法基本方程 7 1 5 计算系数和常数项 6 将 11 11代入力法方程式 7 1 可求得 A B EI L q b 此方程便为一次超静定结构的力法方程 EI 1 2 L 2 3 2L 11 11x1 EI 1 2 qL 2 4 3L 3 1 L 多余未知力x1求出后 其余反力 内力的计算都是静定问题 利用已绘出的 M1图 和MP图按叠加法绘M图 q 力法 返回 11 结论 象上述这样解除超静定结构的多余联系而得到静定的基本结构 以多余未知力作为基本未知量 根据基本结构应与原结构变形相同而建立的位移条件 首先求出多余未知力 然后再由平衡条件计算其余反力 内力的方法 称为力法 力法整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的 这就把超静定结构的计算问题 转化为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题 力法 返回 12 7 4力法的典型方程 1 三次超静定问题的力法方程 用力法计算超静定结构的关键 是根据位移条件建立力法方程以求解多余未知力 下面首先以三次超静定结构为例进行推导 A B P 首先选取基本结构 见图b X1 X2 A B P X3 基本结构的位移条件为 1 0 2 0 3 0 设当 和荷载P分别作用在结构上时 A点的位移 沿X1方向 沿X2方向 沿X3方向 据叠加原理 上述位移条件可写成 原结构 基本结构 1 7 2 a b 11 21 22 23和 2P 31 32 33和 3P 2 21X1 22X2 23X3 2P 0 3 31X1 32X2 33X3 3P 0 11X1 12X2 13X3 1P 0 12 13 和 1P 力法 返回 13 2 n次超静定问题的力法典型 正则 方程 对于n次超静定结构 有n个多余未知力 相应也有n个位移条件 可写出n个方程 11X1 12X2 1iXi 1nXn 1P 0 7 3 这便是n次超静定结构的力法典型 正则 方程 式中Xi为多余未知力 ii为主系数 ij i j 为副系数 iP为常数项 又称自由项 11X1 12X2 13X3 1P 0 7 2 21X1 22X2 23X3 2P 0 31X1 32X2 33X3 3P 0 i1X1 i2X2 iiXi inXn iP 0 n1X1 n2X2 niXi nnXn nP 0 力法 返回 14 3 力法方程及系数的物理意义 1 力法方程的物理意义为 2 系数及其物理意义 下标相同的系数 ii称为主系数 主位移 它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移 其值恒为正 系数 ij i j 称为副系数 副位移 它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿Xi方向上的位移 其值可能为正 为负或为零 据位移互等定理 有 ij ji iP称为常数项 自由项 它是荷载单独作用时所引起的沿Xi方向的位移 其值可能为正 为负或为零 上述方程的组成具有规律性 故称为力法典型方程 基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下 基本结构沿多余未知力方向上的位移 应与原结构相应的位移相等 力法 返回 15 4 力法典型 正则 方程系数和自由项的计算 典型方程中的各项系数和自由项 均是基本结构在已知力作用下的位移 可以用第七章的方法计算 对于平面结构 这些位移的计算公式为 对不同结构选取不同项计算 系数和自由项求得后 代入典型方程即可解出各多余未知力 力法 返回 16 7 5力法的计算步骤和示例 1 示例 P A B C I1 I2 2I1 a n 2 二次超静定 原 选择基本结构如图示 P A C B 基 X1 X2 力法典型方程为 11X1 计算系数和常数项 为此作 a a a 计算结果如下 a a 21X1 22X2 2P 0 12X2 1P 0 2EI1 1 2 a2 3 2a 6EI1 a3 2EI1 1 2 a2 a 4EI1 a3 力法 返回 17 a a a P 将以上各系数代入方程 a 并消去 a3 EI1 得 解联立方程得 多余未知力求得后其余反力 内力的计算便是静定问题 例如 最后内力图的绘制用叠加法 15 88 Pa M图 13 88 Pa P A B C 3 88 Pa a MAC a 11 4P a 88 3P 2 Pa 力法 返回 18 2 力法的计算步骤 1 确定原结构的超静定次数 2 选择静定的基本结构 去掉多余联系 以多余未知力代替 3 写出力法典型方程 4 作基本结构的各单位内力图和荷载内力图 据此计算典型方程中的系数和自由项 5 解算典型方程 求出各多余未知力 6 按叠加法作内力图 力法 返回 19 例7 1用力法分析两端固定的梁 绘弯矩图 EI 常数 A B L a b P 解 n 3 选取简支梁为基本结构 P X1 X2 X3 基本结构 典型方程为 11X1 12X2 13X3 1P 0 21X1 22X2 23X3 2P 0 31X1 32X2 33X3 3P 0 1 1 MP图 P 3 0 故 13 31 23 32 3P 0 则典型方程第三式为 33X3 0 33 0 因X3的解唯一 故 作基本结构各 和MP图 由于 X3 0 M图 11X1 12X2 1P 0 21X1 22X2 2P 0 由图乘法求得 代入典型方程 消去公因子 得 解得 代入典型方程解得 作弯矩图 按式 力法 返回 20 例7 2用力法计算图示桁架内力 设各杆EA相同 解 n 1 一次超静定 0 1 2 3 4 P P 2a 2a a 选择基本结构如图示 0 1 2 3 4 P P X1 基本结构 写出力法典型方程 11X1 1P 0 按下列公式计算系数和自由项 为此 求出基本结构的 和NP值 0 1 2 3 4 X1 1 1 2 对称 0 1 2 3 4 P P NP P 2 对称 0 列表计算 见书137页 后得 EA 11 3 a EA 1P Pa 力法 返回 21 0 1 2 3 4 X1 1 1 2 对称 0 1 2 3 4 P P NP P 2 对称 0 0 1 2 3 4 P P N 对称 代入典型方程 解得 各杆内力按式 叠加求得 0 586P 0 828P 0 414P 0 172P 例如 N03 0 707 0 172P 0 707 0 586P 0 172P 力法 返回 22 7 6对称性的利用 用力法分析超静定结构 结构的超静定次数愈高 计算工作量就愈大 主要工作量是组成 计算系数 常数项 和解算典型方程 利用结构的对称性可使计算得到简化 简化的原则是使尽可能多的副系数 自由项等于零 结构的对称性 例如 EI1 EI1 EI2 a a 对称 EI1 EI1 对称 指结构的几何形状 约束 刚度和荷载具有对称性 正对称或反对称 正对称简称对称 力法 返回 23 1 选取对称的基本结构 EI1 EI1 EI2 对称轴 基本结构 X1 X2 X3 多余未知力X1 X2是正对称 X3是反对称的 基本结构的各单位弯矩图 见图 是正对称 是反对称 则 13 31 23 32 0 于是 力法典型方程简化为 11X1 12X2 1P 0 21X1 22X2 2P 0 33X3 3P 0 下面就对称结构作进一步讨论 力法 返回 24 1 对称结构作用对称荷载 a a P P P P MP图 MP图是正对称的 故 3P 0 11X1 12X2 1P 0 21X1 22X2 2P 0 33X3 3P 0 则X3 0 这表明 对称的超静定结构 在对称的荷载作用下 只有对称的多余未知力 反对称的多余未知力必为零 a a P P P P MP图 2 对称结构作用反对称荷载 MP图是反对称的 故 1P 2P 0 则得X1 X2 0 这表明 对称的超静定结构 在反对称的荷载作用下 只有反对称的多余未知力 对称的多余未知力必为零 力法 返回 25 例7 4分析图示刚架 10kN 10kN 6m 6m 6m 解 这是一个对称结构 为四次超静定 选取对称的基本结构如图示 X1 只有反对称多余未知力X1 基 为计算系数和自由项分别作 和MP图 见图 EI 常数 3 3 图 m 10kN MP图 kN m 60 60 120 由图乘法可得 EI 11 1 2 3 3 2 4 3 6 3 2 144 EI 1P 3 6 30 1 2 3 3 80 2 1800 代入力法方程 11X1 1P 0 X1 弯矩图由 作出 解得 力法 返回 26 这样 求解两个多余未知力的问题就转变为求解新的两对多余未知力的问题 当选基本结构为 时 2 未知力分组及荷载分组 1 未知力分组 A B P X1 X2 P 为使副系数等于零 可采取未知力分组的方法 P Y1 Y1 Y2 Y2 有 X1 Y1 Y2 X2 Y1 Y2 作 M2图 图 M2图 正对称 反对称 故 12 21 0 典型方程化简为 11Y1 1P 0 22Y2 2P 0 力法 返回 27 2 荷载分组 当对称结构承受一般非对称荷载时 可以将荷载分解为正 反对称的两组 分别求解然后叠加 若取对称的基本结构计算 在正对称荷载作用下将只有对称的多余未知力 若取对称的基本结构计算 在反对称荷载作用下将只有反对称的多余未知力 P P 2 P 2 P 2 P 2 X1 X1 X2 X2 2 P 2 P 2 P 2 P 力法 返回 28 3 取一半结构计算 当结构承受正对称或反对称荷载时 也可以只截取结构的一半进行计算 又称为半刚架法 下面分别就奇数跨和偶数跨两种对称刚架进行讨论 1 奇数跨对称刚架 p p 对称 p 二次超静定 对称荷载 反对称荷载 p p 反对称 p 一次超静定 力法 返回 29 2 偶数跨对称刚架 对称荷载 p p 对称 p 三次超静定 反对称荷载 p p I p I 2 三次超静定 p p I 2 I 2 p p I 2 I 2 C QC QC 力法 返回 30 7 7超静定结构的位移计算 上一章所述位移计算的原理和公式 对超静定结构也是适用的 下面以 7 5的例题予以说明 求CB杆中点K的竖向位移 KY K P 1 P A B C I1 I2 2I1 a 原 虚拟状态如图 为了作 8 44 a 3 44 a 需解算一个二次超静定问题 较为麻烦 K 图中所示的M图就是实际状态 基本结构的内力和位移与原结构完全相同 则可以在基本结构上作 K P 1 a 4 图乘得 6 44 a 力法 返回 31 结论 综上所述 计算超静定结构位移的步骤是 1 解算超静定结构 求出最后内力 此为实际状态 2 任选一种基本结构 加上单位力求出虚拟状态的内力 3 按位移计算公式或图乘法计算所求位移 力法 返回 32 7 8最后内力图的校核 用力法计算超静定结构 因步骤多易出错 应注意检查 尤其是最后的内力图 是结构设计的依据 应加以校核 校核应从两个方面进行 1 平衡条件校核 取结构的整体或任何部分为隔离体 其受力应满足平衡条件 1 弯矩图 通常检查刚结点处是否满足 M 0的平衡条件 例如 取结点E为隔离体 E MED MEB MEF 应有 ME MED MEB MEF 0 M图 力法 返回 33 2 剪力图和轴力图 可取结点 杆件或结构的某一部分为隔离体 检查是否满足 X 0和 Y 0的平衡条件 2 位移条件校核 检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相符 对于刚架 可取基本结构的单位弯矩图与原结构的最后弯矩图相乘 看所得位移是否与原结构的已知位移相符 例如 P A B C I1 I2 2I1 a 原 检查A支座的水平位移 1是否为零 将M图与 相乘得 0 力法 返回 34 7 9温度变化时超静定结构的计算 对于超静定结构 温度变化时不但产生变形和位移 同时产生内力 用力法分析超静定结构在温度变化时产生的内力 其原理与荷载作用下的计算相同 例如图示刚架温度发生变化 选取基本结构 见图 t1 t1 t2 t3 t1 t1 t2 t3 X1 X2 X3 典型方程为 11X1 12X2 13X3 1t 0 21X1 22X2 23X3 2t 0 31X1 32X2 33X3 3t 0 其中系数的计算同前 自由项 1t 2t 3t分别为基本结构由于温度变化引起的沿X1 X2X3方向的位移 即 力法 返回 35 例7 6刚架外侧温度升高25 内侧温度升高35 绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移 刚架EI 常数 截面对称于形心轴 其高度h L 10 材料的膨胀系数为 L L 25 35 解 n 1 选取基本结构 X1 基 25 35 典型方程为 11X1 1t 0 计算 并绘制 图 1 图 L L 0 0 1 求得系数和自由项为 故得 230 L 力法 返回 36 按 M图 作弯矩图 求横梁中点K的位移 K 作基本结构虚拟状态的 图并求出 然后计算位移 K 1 0 图 L 4 138 EI L 1 2 1 2 力法 返回 37 7 10支座位移时超静定结构的计算 超静定结构当支座移动时 位移的同时将产生内力 对于静定结构 支座移动时将使其产生位移 但并不产生内力 例如 A B C A B C 力法 返回 38 用力法分析超静定结构在支座移动时的内力 其原理同前 唯一的区别仅在于典型方程中的自由项不同 例如图示刚架 A B h L a b 可建立典型方程如下 11X1 12X2 13X3 1 0 21X1 22X2 23X3 2 31X1 32X2 33X3 3 a A B X1 X2 X3 基 式中系数的计算同前 自由项按式 6 15 计算 最后内力按下式计算 在求位移时 应加上支座移动的影响 力法 返回 39 例 7 7两端固定的等截面梁A端发生了转角 分析其内力 A B L 解 n 3 选取基本结构如图 X1 X2 X3 基本结构 因X3 0 则典型方程为 11X1 12X2 1 21X1 22X2 2 0 绘出 图 1 1 图乘得 由题意知 1t 2t 0 将上述结果代入方程后解得 按式 作弯矩图 A B M图 力法 返回 40 7 11用弹性中心法计算无铰拱 拱是一种曲轴的推力结构 除三铰拱外均是超静定的 超静定拱有无铰拱和两铰拱两种形式 一般说无铰拱弯矩分布比较均匀 且构造简单 工程中应用较多 例如钢筋混凝土拱桥和石拱桥 无铰拱 两铰拱 拱桥 拱圈 隧道的混凝土拱圈等 超静定拱 返回 41 因为超静定结构的内力与变形有关 所以计算超静定拱之前 须事先确定拱轴线方程和截面变化规律 在初步计算时 常采用相应三铰拱的合理拱轴线作为超静定拱的轴线 然后根据计算结果加以修正 以尽量减小弯矩 拱截面的变化规律 在拱桥设计中可采用下列经验公式 7 8 x y Ic I x L1 L 2 L1 IK K 超静定拱 返回 42 由式 7 8 有 可见n愈小 Ic与IK之比愈小 拱厚变化愈剧烈 n的范围一般为0 25 1 当取n 1时 为简化计算常近似取 当拱高f L 8时 因 角较小 可近似取 A AC 常数 超静定拱 返回 43 无铰拱是三次超静定结构 对称无铰拱在计算时为简化计算取对称的基本结构 P P x1 x2 x3 故副系数 13 31 0 23 32 0 但仍有 12 21 0 如果能设法使 12 21 0 则典型方程中的全部副系数都为零 计算就更加简化 这可以用下述引用 刚臂 的办法来达到目的 超静定拱 返回 44 EI P x1 x2 x3 原结构 可以设想 对称无铰拱沿拱顶截面切开后 在切口两边沿竖向引出两个刚度无穷大的伸臂 刚臂 然后在两刚臂下端将其刚结 选取基本结构 它是两个带刚臂的悬臂梁 利用对称性 并适当选取刚臂的长度 便可以使典型方程中全部副系数都等于零 选取坐标 写出各单位多余未知力作用下基本结构的内力表达式 x 7 9 y P 超静定拱 返回 45 x1 x2 x3 x y 7 9 式中 弯矩内侧受拉为正 剪力以绕隔离体顺时针方向为正 轴力以压力为正 为拱轴的弦切角 右半拱取正 左半拱取负 由于多余未知力X1和X2是对称的 X3是反对称的 故有 13 31 0 23 32 0 超静定拱 返回 46 12 21 x1 x2 x3 x y ys y1 y K 令 12 21 0 可得 7 10 设想沿拱轴作宽度等于1 EI的图形 则ds EI就代表此图形的微面积 式 7 10 就是计算这个图形面积的形心坐标的公式 x y ys o 1 E