静电场习题课.doc

2静 电 场 习 题 课12说明：数学表达式中字母为黑体者表示矢量壹内容提要一、电荷守恒定律(略) .二、库仑定律 ： F=q1q2r/(40r3) .三、电场强度E：1定义：E=F/q0 (F为试验电荷q0在电场E中所受作用力)；2. 电场叠加原理 (矢量叠加)；点电荷系激发的电场：；连续带电体激发的电场： E= qrdq/(40r3) . 四、高斯定理：1.电力线(略)；2.电场强度通量 e=SEdS (计算电场强度通量时注意曲面S的法线正方向)；3.高斯定理(过闭合曲面的电场强度通量)：真空中 ；介质中 ；4.库仑电场为有源场.五、环路定理： 1.表达式；2. 静电场为保守场.六、电势U： 1.定义式 (场强与电势的积分关系.下式中p表示场点，(0) 表示电势零点)：； 2. 电势差 ；3. 电势叠加原理 (标量叠加)；点电荷系激发的电势：；连续带电体激发的电势.4.静电场力的功 WAB=qVAB ；5. 场强与电势的微分关系 E=gradV=(V/x)i+(V/y)j+(V/z)k .七、电偶极子：1.定义(略)；2.电矩 Pe=ql；3.激发的电场：延长线上 E=1/(40) (2Pe/r3)；中垂线上 E=1/(40) (Pe/r3)；4. 激发的电势 U=Per / (40r3) ；5. 在均匀电场中受力矩 M= PeE.八、导体：1.静电平衡条件 导体内E=0, 导体表面附近外E垂直表面；2.推论 (1)导体为等势体，导体表面为等势面，(2)导体表面曲率半径小处面电荷密度大， (3) 导体表面外附近电场E=/0,3.静电屏蔽(1) 空腔导体内的物体不受腔外电场的影响，(2)接地空腔导体外物体不受腔内电场的影响.九、电介质：1.有极分子取向极化,无极分子位移极化；2.极化强度 P=pe/V，在各向同性介质中 P=0E ；3.电位移矢量 D=0E+P，在各向同性介质中D=0rE=E ，r=1+.十、电容：1.定义式 C=Q/DU=Q/(U1U2)；2.几种电容器的电容 (1)平行板电容器 C=S/d，(2)圆柱形电容器 C=2l/ln(R2/R1)，(3)球形电容器 C=4R2R1 /(R2R1)，(4)孤立导体球 C=4R；3.并联 C=C1+C2+C3+;4串联 1/C=1/C1+1/C2+1/C3+.十一、静电场的能量:1.点电荷系相互作用能We= (1/2)qiUi；2.连续带电体的能量We= (1/2)qUdq；3.电容器电能We=(1/2)qU=(1/2)CU2=q2/(2C)；4.静电场的能量密度 we=(1/2)DE，We=V wedV=(1/2)V DEdV.十二、几种特殊带电体激发电场：1.无限长均匀带电直线激发电场的场强E=lr/(2pe0r2)；2.均匀带电园环轴线上的场强与电势E=Qx/4pe0 (x2+R2)3/2,U= Q/4pe0 (x2+R2)1/2；3. 无限大均匀带电平面激发电场的场强E=s/(2e0)；4. 均匀带电球面激发的场强与电势：球面内 E=0, U= Q/(4pe0 R) 球面外 E= Qr/(4pe0 r3), U= Q/(4pe0 r)；5. 均匀带电球体激发的场强与电势：球体内E=Qr/(4pe0R3), U=Q(3R2-r)/(8pe0R3);球体外E= Qr/(4pe0 r3), U= Q/(4pe0 r)；6. 无限长均匀带电圆柱面激发的场强：柱面内 E=0,柱面外 E=lr/(2pe0r2)； 7. 无限长均匀带电圆柱体激发的场强：柱体内 E=lr/(2pe0R2)，柱体外 E=lr/(2pe0r2)十三、电源电动势： xyORjdldE贰、练习一至练习八答案及简短解答练习一 库伦定律 电场强度一.选择题 D B A D C二.填空题 1. Q=al, 异.2. f1/qEf2/q. 3. qd/(8p2e0R3),水平向左.三.计算题 dlqdEy1. 选坐标xy如图.取微元dl=Rdq，dq=ldl=Q/(pR)Rdq=Qdq/p dE=dq/(4pe0R2)= Qdq/(4p2e0R2)dEx=dEcos(p+q)=-Qcosqdq/(4p2e0R2)dEy=dEsin(p+q)=-Qsinqdq/(4p2e0R2)dEx=Q/(2p2e0R2)dEY=0E=Ex= Q/(2p2e0R2)方向沿x轴正向2.取电荷元dl=Rdj.dq=ldl=l0sinjRdjdE=dq/(4pe0R2)= l0sinjdj/(4pe0R)dEx=dEcos(p+j)=-l0sinjcosjdj(4pe0R)dEy=dEsin(p+j)=-l0sin2jdj/(4pe0R)dEx=0 dEY=-l0/(4e0R) E=Ey=-l0/(4e0R)负号表示电场方向沿y轴负向练习二 电场强度（续）高斯定理一.选择题 C A B A D二.填空题1. l/(pe0d), l/(3pe0d) .2. 2prdr, 2Qrdr/R2, Qxrdr/2pe0R2(r2+x2)3/2.dlqdEy3. -ES0sinq.三.计算题1. 带电体的横截面及坐标选取如图,取宽dl=Rdq的无限长窄条微元,其电荷线密度为l=(l/p)dq,在P点产生场强为dE=l/(2pe0R)=ld/(2p2e0R)方向如图根据对称性可知，P点场强沿x方向。P点场强方向沿x正方向.2. 取同心窄圆环面元 dS=2prdrdF=EdS=EdScosq=Q/4pe0(r2+h2)(2prdr)h/(r2+h2)1/2)= Qhrdr/2e0(r2+h2)3/2练习三 高斯定理(续) 静电场力的功静电场的环路定理一.选择题 C D A B D二.填空题 1. Q/e0，5Qr0/(18pe0R2), 0. 2. A=-2Epcosa. 3. (q2+q4)/e0, q1、q2、q3、q4三.计算题xS1.因电荷面对称,电场也面对称:(1)距中心面等距离处E大小相等; (2)方向垂直板向外.作以板中心面对称的柱形高斯面,如图(此图为垂直板的截面图).有当场点在板外: qint=rDSd 得 E=rd/(2e0) 方向垂直板向外当场点在板内 qint=2rDSx 得 E=rx/e0 方向垂直板向外2. 此带电体可认为是实心均匀带正电(电荷密度r)的大球和均匀带负电(电荷密度-,位置在原空腔处)的小球组成.Q1=r(4pR3/3), Q2=-r(4pa3/3),用高斯定理可求Q1在大球内(r1R)产生的场.E1= Q1r1/(4pe0R3)=rr1/(3e0)Q2在小球内(r2a)产生的场.E2内= Q2r2/(4pe0a3)=-rr2/(3e0)E2外= Qr2/(4pe0r23)=-ra3r2/(3e0r3)(1)O 点处:r1=d,r2=0. E1=rd1/(3e0), E2=0E0=E1+E2=rd1/(3e0) 方向向右(2)P点处:r1=d,r2=2d. E1=rd1/(3e0), E2=-ra3/(12e0d2)E0=E1+E2=rd1/(3e0) -ra3/(12e0d2)= r (4d3-a3)/(12e0d2)方向向左练习四 电势 场强与电势的关系一.选择题 B C D B A.二.填空题 1. 2. E=0，匀强电场. 3. q/(6pe0R)三.计算题 1. 选无穷远处为电势零点，在带电细杆上取微元dq=ldx ,(l=q/(2l).则P点电势U为=lln(2l+a)/a/(4pe0) =qln(2l+a)/a/(8pe0l)2. 一法,用电势定义求因电荷球对称,电场球对称,作与带电体对称的球形高斯面,有球内,rR1: qint=0 E1=0球层中R1rR2: qint=r4p( R23-R13)/3E2=r( R23-R13)/3e0r2 故 =0+r/(3e0)(R12-R22)/2-R13(1/R1-1/R2)+r/(3e0)(R23-R13)/R2=r/(2e0)(R12-R22)二法,用电势叠加求取同心的薄球壳微元dq=4pr2rdr,它在空腔内产生的电势为 dU=dq/(4pe0r)= rrdr/e0,所以=r/(2e0)(R12-R22)练习五 静电场中的导体一.选择题 E C B A D二.填空题 1. 6.6710-9C, 1.3310-8C6103V, 6103V.2. 8.8510-9C/m2，负 3. Q/(2S), Q/(2S), -Q/(2S), Q/(2S). 三.计算题 1. 设A板下表面,C板上下表面,B板上表面电荷密度分别为1,1,2,2.则AC间场强为E1=1/0,CB间场强为E2=2/0.UA=U0=(1/0)2d/3+(2/0)d/3(21+2)d/(30)=U0.21+2= 30U0/d.C板电荷守恒 1+2=Q/S解得 1=0U0/dQ/(3S) 2=0U0/d+2Q/(3S)E2=2/0=U0/d+2Q/(30S) UC=E2d/3= U0/d+2Q/(30S) d/3= U0/3+2dQ/(90S)2. (1)导体球等势U=U球心注意到导体球原先不带电，故U=(2)导体球接地,电势为0,有0=练习六 静电场中的电介质一.选择题 D C B C A二.填空题 1. 重合,不重合.2. 有极,无极. 3. s=Pen=Pecosa三.计算题 1. (1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称,过场点作与金属球同心的球形高斯面,有 4pr2D=q0i当r1R1, q0i=0得 D1=0, E1=0当R1r2R2 q0i=Q得 D3=Q/(4pr32) E3=Q/(4pe0r32)D和E的方向沿径向.(2) 导体球rR1 U=Q/(4pe0erR1)-Q/(4pe0erR2)+Q/(4pe0R2)= Q/(4pe0er)( 1/R1-1/R2+er/R2)2.令内外极板单位长度电量分别为l,-l，由高斯定理可知,极板间场强为E=l/(2pe0err)两极板电势差 U=lln(R2/R1)/(2pe0er)E/U=1/rln(R2/R1) E=U/rln(R2/R1)A点场强EA=U/Rln(R2/R1)=998V/m A点与外筒间电势差 U =lln(R2/R)/(2pe0er)U/U=ln(R2/R)/ln(R2/R1) U=Uln(R2/R)/ln(R2/R1)=12.5V2. (1)导体球等势U=U球心注意到导体球原先不带电，故U=(2)导体球接地,电势为0,有0=练习七 电容 恒稳电流 静电场的能量一.选择题 B A C B D二.填空题 1. 1/er, 1/er.2. 3.361011V/m. 1/er, 1/er 3. e0erU2/(2d2).三.计算题1.令内外极板单位长度电量分别为l,-l，由高斯定理可知,极板间场强为E=l/(2pe0err)两极板电势差 U=lln(R2/R1)/(2pe0er)E/U=1/rln(R2/R1) E=U/rln(R2/R1)A点场强EA=U/Rln(R2/R1)=998V/m A点与外筒间电势差 U =lln(R2/R)/(2pe0er)U/U=ln(R2/R)/ln(R2/R1) U=Uln(R2/R)/ln(R2/R1)=12.5V2.(1) U=q/(4pe0R)dA=-dAe=-dq(0-U)= qdq/(4pe0R)练习八 静电场习题课一.选择题 B A B D C二.填空题1. ld/e0, ld/4pe0(R2-d2/4)，水平向左 2. 负，. 3. F/4.三.计算题1. 该均匀带电圆在距平面a米处产生场强为=s/(2e0)1-a/(R2+a2)1/2“无限大”均匀带电平面在该点产生的场强为E=s/(2e0),由题意E=2 E.故s/(2e0) =2s/(2e0)1-a/(R2+a2)1/2a/(R2+a2)1/2=1/2解得 2. 设两无限长导线带电线密度为,取坐标如图,由叠加原理可求得两导体间的场强：xl-ldr0E=l/(2pe0x)+l/2pe0(d-x)=l/(pe0)ln(d-r0)/r0l/(pe0)ln(d/r0)取导线长度L,则所带电量Q=lL,则此段导线的电容为 CL=Q/DU=pe0L/ln(d/r0)单位长度电容为 C0=CL/L=pe0/ln(d/r0)叁、课堂例题C1C2图 3.1一、选择题1. 如图3.1, 两个完全相同的电容器C1和C2，串联后与电源连接. 现将一各向同性均匀电介质板插入C1中，则:(A) 电容器组总电容减小.(B) C1上的电量大于C2上的电量.(C) C1上的电压高于C2上的电压.(D) 电容器组贮存的总能量增大.2.一空气平行板电容器，接电源充电后电容器中储存的能量为W0，在保持电源接通的条件下，在两极间充满相对电容率为er的各向同性均匀电介质，则该电容器中储存的能量W为(A) W = W0/er. (B) W = erW0.(C) W = (1+er)W0.(D) W = W0.R1R2r Pl1l2O图3.23. 如图3.2所示，两个“无限长”的半径分别为R1和R2的共轴圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长度上的带电量分别为l1和l2，则在外圆柱面外面、距离轴线为r处的P点的电场强度大小E为：(A) .(B) .(C) .(D) .Q ORPq v0mvP图3.34. 如图3.3,有一带电量为+q,质量为m的粒子,自极远处以初速度v0射入点电荷+Q的电场中, 点电荷+Q固定在O点不动.当带电粒子运动到与O点相距R的P点时,则粒子速度和加速度的大小分别是(A) v02+Qq/(2pe0Rm)1/2, Qq/(4pe0Rm).(B) v02+Qq/(4pe0Rm)1/2, Qq/(4pe0Rm). (C) v02-Qq/(2pe0Rm)1/2, Qq/(4pe0R2m).(D) v02-Qq/(4pe0Rm)1/2, Qq/(4pe0R2m).5 空间有一非均匀电场,其电场线如图3.4所示.若在电场中取一半径为R的球面,已知通过球面上DS面的电通量为DFe,则通过其余部分球面的电通量为(A) -DFeDSR图3.4(B) 4pR2DFe/DS,(C) (4pR2-DS) DFe/DS,(D) 0二、填空题ORAB图3.51. 一个平行板电容器的电容值C = 100pF, 面积S = 100cm2, 两板间充以相对电容率为er= 6的云母片. 当把它接到50V的电源上时，云母片中电场强度的大小E = ，金属板上的自由电荷电量q = .2. 半径为R的细圆环带电线(圆心是O),其轴线上有两点A和B,且OA=AB=R,如图3.5.若取无限远处为电势零点,设A、B两点的电势分别为U1和U2,则U1/U2为 .3. 真空中半径为R1和R2的两个导体球相距很远，则两球的电容之比C1/C2 = . 当用细长导线将两球相连后，电容C = . 今给其带电，平衡后球表面附近场强之比E1 / E2 = .三、计算题-qQR图3.6O1. 一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为d，充电至带电Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极间距拉开到2d，求:（1）电容器能量的改变；（2）在此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系.2. 在带电量为+Q半径为R的均匀带电球体中沿半径开一细洞并嵌一绝缘细管,一质量为m带电量为-q的点电荷在管中运动(设带电球体固定不动,且忽略点电荷所受重力)如图3.6所示.t=0时,点电荷距球心O为a(aF2 , F = q /e0 .(B) F1 F2 , F = 2q /e0 .(C) F1 = F2 , F = q /e0 .(D) F1 UA 0 . (B) UB UA = 0 .(C) UB = UA .(D) UB UA .7. 关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一种是正确的？(A) 起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断；(B) 任何两条电位移线互相平行；+l-l (0, a)xyO图4.6(C) 起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交；(D) 电位移线只出现在有电介质的空间.8图4.6所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线,电荷线密度分别为+l ( x 0)，则xOy平面上(0, a)点处的场强为:(A ) li/(2pe0a).(B) 0.xyzabcEOAABBC图4.7(C) li/(4pe0a).(D) l(i+j)/(4pe0a).9. 在电场强度为E的匀强电场中,有一如图4.7所示的三棱柱,取表面的法线向外,设过面AACO,面BBOC,面ABBA的电通量为F1,F2,F3,则(A) F1=0, F2=Ebc, F3=-Ebc.(B) F1=-Eac, F2=0, F3=Eac.abcdq图4.8ll/2(C) F1=-Eac, F2=-Ec, F3=-Ebc.(D) F1=Eac, F2=Ec, F3=Ebc.10. 如图4.8所示，一个带电量为q的点电荷位于一边长为l的正方形abcd的中心线上，q距正方形l/2,则通过该正方形的电场强度通量大小等于：(A) q /(2e0). (B) q /(6e0).q1q2q3ROb图4.9(C) q /(12e0).(D) q /(24e0).二、填空题（每题三分，共三十分）1电量分别为q1, q2, q3的三个点电荷位于一圆的直径上, 两个在圆周上,一个在圆心.如图4.9所示. 设无穷远处为电势零点，圆半径为R，则b点处的电势U = .2. 任意带电体在导体体内(不是空腔导体的腔内) ABQ(1)ABQ(2)图4.10(填会或不会)产生电场,处于静电平衡下的导体,空间所有电荷(含感应电荷)在导体体内产生电场的 (填矢量和标量)叠加为零.3. 如图4.10,面积均为S的两金属平板A,B平行对称放置,间距远小于金属平板的长和宽,今给A板带电Q, (1)B板不接地时,B板内侧的感应电荷的面密度为 ; (2)B板接地时,B板内侧的感应电荷的面密度为 .+q-a+qaxyO图4.114如图4.11所示,带电量均为+q的两个点电荷,分别位于x轴上的+a和a位置.则y轴上各点场强表达式为E= ,场强最大值的位置在y= .5. 一平行板电容器，充电后切断电源，然后使两极板间充满相对电容率为er的各向同性均匀电介质，此时两极板间的电场强度是原来的 倍；电场能量是原来的 倍.6. 设想将1克单原子氢中所有电子放在地球的南极,所有质子放在地球的北极,则它们之间的库仑吸引力为 N.7如图4.12, 两块“无限大”的带电平行平板，其电荷面密度分别为-s (s 0 )及2s.试写出各区域的电场强度.区E的大小 ，方向 .-s2s图4.12区E的大小 ，方向 .区E的大小 ，方向 .8如图4.13所示，在场强为E的均匀电场中，A、B两点间距离为d，AB连线方向与E的夹角为a. 从A点经任意路径EABd图4.13a到B点的场强线积分= .R1图 4.14R29. 处于静电平衡下的导体 (填是或不是)等势体,导体表面 (填是或不是)等势面, 导体表面附近的电场线与导体表面相互 ,导体体内的电势 (填大于,等于或小于) 导体表面的电势.10. 分子中正负电荷的中心重合的分子称 分子,正负电荷的中心不重合的分子称 分子.三、计算题（每题十分，共四十分）1. 半径为R1的导体球带电Q ,球外一层半径为R2相对电容率为er的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气.如图4.14所示.求:(1)离球心距离为r1(r1R1), r2(R1r1R2)处的D和E；(2)离球心r1, r2, r3,处的U；(3)介质球壳内外表面的极化电荷.Oj图4.152. 如图4.15用绝缘细线弯成半径为R的半圆环, 电荷线密度为l=l0sinj, 式中l0为一常数, j为环上一点对环心引的半径R与半圆环端点连线所成的夹角, 试求环心O处的电场强度.AB-Q图4.163真空中有一厚为2a的无限大带电平板，取垂直平板为x轴，x轴与中心平面的交点为坐标原点,带电平板的体电荷分布为r=r0cospx/(2a),求带电平板内外电场强度的大小和方向.4如图4.16,一导体球壳A(内外半径分别为R2,R3),同心地罩在一接地导体球B(半径为R1)上,今给A球带负电-Q, 求B球所带电荷QB及的A球的电势UA.伍、静电场部分测试题解一、选择题C C D D B D C A B B二、填空题1. .2. 会, 矢量.3. -Q/(2S), -Q/(S) 4. 2qyj /4pe0 (a2+y2)3/2 , a/21/2.5. 1/er , 1/er.6. 5.14105.7. s/(2e0),向左;3s/(2e0),向左;s/(2e0),向右.8 .Edcosa.9. 是, 是, 垂直, 等于.10. 非极性, 极性.三、计算题1. (1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称,过场点作与金属球同心的球形高斯面,有4pr2D=q0i当r1R1, q0i=0得 D1=0, E1=0当R1r2R2 q0i=Q得 D3=Q/(4pr2) E3=Q/(4pe0r2)D和E的方向沿径向.(2) 当r1R1时 U1=Q/(4pe0erR)-Q/4pe0er(R+d)+Q/4pe0(R+d)= Q/(4pe0er)( 1/R1-1/R2+er/R2)当R1r2R2时 U3=Q/(4pe0r3)(3)在介质的内外表面存在极化电荷,Pe=e0cE=e0(er-1)E s= Pen r=R1处, 介质表面法线指向球心s=Pen =Pecosp=-e0(er-1)Eq=sS=-e0(er-1) Q/(4pe0erR2)4pR2=-(er-1)Q/err=R2处, 介质表面法线向外s=Pen =Pecos0=e0(er-1)Eq=s