稀奇古怪的数学题目.ppt

怎样解题 清华中学康贵生 学会学解题 1 1数学解题 解题是找出数学问题答案的活动 例题讲解 习题求解 定理证明以及实际问题的建模解决等都是解题 解题是数学学习的一个核心内容和一种最基本的活动形式 数学解题又是掌握数学 学会 数学地思维 的基本途径 概念的掌握 技能的熟练 定理的理解 能力的培养 数学思想的领悟 数学态度的养成等都离不开解题实践 没有勤奋而得法的解题训练 谈不上掌握数学 数学解题还是评价学习的重要手段 2 3 1学解题的三步骤程式及其反思三步骤程式 第1步 简单模仿第2步 变式练习第3步 自发领悟第4步 自觉分析 前3步体现了 接受记忆知识 练习巩固知识 顿悟形成理解 这样一个逐步深化的认识过程 是传统教学所熟悉的 解题思维需要有 第二过程 的暴露 数学解题思维过程的暴露是一个不断分析解题过程 循环提升理解能力的探究活动 在过程上 既有 第一过程 的暴露又有 第二过程 的暴露 是解题思维的全过程暴露 在内容上 既包括数学家的思维 又包括教师的思维 学生的思维 教室里应是这三种思维的同时暴露 1 弗里德曼在 怎样学会解数学题 文 5 致读者 中 分析学生解了大量的题但还 不开窍 时指出 这些学生没有在应有的程度上分析所解的习题 不能从中分析出解题的一般方式和方法 解题常常只是为了得个答案 波利亚的 怎样解题 一书正是通过剖析典型例题的解题过程来展开 解题表 和 教会年轻人去思考 的 并且在解题表中专设了一个步骤 回顾 为每一道题的自觉分析都留下了时间和空间 他在书中指出 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法 没有任何问题是可以解决得十全十美的 总剩下些工作要做 经过充分的探讨与钻研 我们能够改进这个解答 而且在任何情况下 我们总能提高自己对这个解答的理解水平 这就又进一步说明 分析解题过程不仅能 改进 解答 而且总能提高 理解 水平 波利亚在 数学的发现 序言中还具体指出解题分析的最佳时机 可能是读者解出一道题的时候 或是阅读它的解法的时候 主要的解题理论 波利亚的 怎样解题 弗里德曼在 怎样学会解数学题 元认知理论认 数学学习论 分析典型的例题或自己的解题 也是一种 案例分析 它是 案例数学 在解题教学中的移植解题差异论认为 解题的过程就是消除已知 条件 与未知 结论 之间差异的过程 什么是数学问题解决呢 1 问题解决是心理活动 2 问题解决是一个过程 3 问题解决是一个目的 4 问题解决是一种能力 数学解题在数学教育中的重要性 波利亚在 数学的发现 中认为 中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练 参见文 5 序言 解题在数学学习中有不容置疑的重要性 1 数学解题是数学学习中不可或缺的核心内容 数学解题的思维实质是发生数学 2 数学解题是数学学习中不可替代的实质活动 解题活动的核心价值是掌握数学 3 数学解题是评价数学能力时不可削弱的主体构成 解题测试的基本理念是呈现数学 数学解题就是解题者在数学思想方法指导下 运用数学基础知识和数学基本技能分析 解决问题的过程 波利亚的怎样解题表 弄清问题拟定计划实现计划回顾 解题化归论解题化归论认为 解数学题的过程 就是将未知的数学问题转化为已经解决问题的过程 这是一种关于解题的很流行的观点 笛卡儿 公元1596 1650 在 指导思维的法则 一书提出的 通用方法 有化归思想的明确表达 将所论的问题化归为数学问题 数学化 将数学问题化归为代数问题 代数化 将代数问题化归为方程的求解 计算化 虽然这种方法不是万能的 但所体现的化归思想确实是非常有价值的 1波利亚的 怎样解题表 乔治 波利亚 GeorgePolya1887 1985 是美籍匈牙利数学家 数学教育家 在解题方面 是数学启发法 指关于发现和发明的方法和规律 亦译为探索法 现代研究的先躯 波利亚 公元1889 1985 的 怎样解题 一书体现了解题化归论 波利亚的著作运用化归思想十分熟练 实施化归途径非常丰富 当然波利亚的解题思想不仅仅是化归 数学解题美国数学家哈尔莫斯 P R Halmos 认为 问题是数学的心脏 他说 数学究竟是由什么组成的 定理吗 证明吗 概念 定义 理论 公式 诚然 没有这些组成部分 数学就不在 这些都是数学的必要组成部分 但是 它们中的任何一个都不是数学的心脏 这个观点是站得住脚的 数学家存在的主要理由就是解问题 因此 数学的真正的组成部分是问题和解 引例 经验和知识的积累 例2 1已知 求证 经测试 学生普遍都能找到多种解法 但对哪种解法更反映问题的本质或深层结构 认识是不一致的 证明 从结论出发 用配方法 证明 从结论出发 用基本不等式 证明 用柯西不等式 证明4 两次用基本不等式 相乘 在同学们各抒己见的基础上 我们不表态 请大家继续思考下题 例2 2已知 求证 这时 不同解法的难度 长度和技巧表现出差异 证明 配方法 证明2 柯西不等式法 证明3 三次用基本不等式法 相乘 同学们体会到 当字母增加时 三次用基本不等式法更反映题目的结构 并立即推广得例2 3已知 是 个正数 满足 求证 原题目 在椭圆上求一点 使它与俩焦点的连线互相垂直 随着新课程改革的深入 处理好教材上的习题 挖掘它的潜在教育价值功能 注意题目的引伸 变式 推广等 落实学生的 三维 目标和创新意识的培养 例如高中 数学第二册 上 第132页第6题来进行剖析说明 原题目 在椭圆 上求一点 使它与俩焦点的连线互相垂直 04湖南 已知 是椭圆C 的两个焦点 在C上满足 的点P的个数为 2000年天津 江西 椭圆 的焦点为 点P为其上的动点 当 为钝角时 点P的横坐标的取值范围是 2004年福州 已知P点是椭圆 上的一点 是两个焦点 且 则 的面积 已知椭圆 的两个焦点分别为 点P是椭圆上的任意点 它的横坐标为x 一般地有 双关图 这种画有不止一种效果 如果你按通常的方式去看它 它是一个图像 可是如果你转到另一个位置再换一种特殊方式去看它 那么另一个图像就会突然闪现在你面前 并对第一个图像发表某些诙谐的评论 我们也许会一下子看出隐藏在塞满了的画面里的真正图形 也可能是逐渐地把它认了出来 我们可能是在努力解题的过程中 也可能是在一些次要的 非实质性的机会中达到了它 波利亚强调了审题步骤的必要性和优先地位 审题工作