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重庆大学2005年数学分析第一部分 计算题 (共70分)一.(10分)设函数，试定义的值，使在连续.解 .二.(10分)设参数方程，其中函数可以求导足够次数，求一阶导数和二阶导数.解 ，.三.(10分)求不定积分.解 .四.(10分)求函数的极值与拐点，并球拐点处的切线方程.解 由，且时，时，所以是函数的极小值点，极小值为.由，且时，时，时，所以点都是函数的拐点.五.(10分)判断函数列在区间上的一致收敛性(说明理由).解 由，当时，当时，关于严减当时，关于严减且当时函数列在区间上一致收敛.六.(10分)设、有二阶连续导数，求.解 ，.，.故七.(10分)求由曲面(、)所围成空间区域的体积.解 令，则，即有，.所以体积 . 第二部分 证明题 (共80分)八.(12分)设函数在点附近有定义，证明：存在(有限)的充分必要条件是：对任意以为极限的数列，都有数列收敛；判断极限是否存在(说明理由).证 见华东师大数学分析课本归结原则和例.九.(12分)设函数在闭区间上连续，证明：在上一定有最大值和最小值(选最小值做)；进一步，假设在上处处不为零，试用定义证明函数在上连续.证 因为在闭区间上连续，所以在闭区间上必定有界，从而必有下确界，假设在闭区间上不能达到下确界，即对，都有，则因函数在闭区间上连续，从而在闭区间上有上界，即对，都有，即，于是，与为在闭区间上的下确界矛盾，故在上一定有最小值. 由于在上处处不为零，所以在上处处大于为零，设在上的最大值为最小值为，则，故有.对此用定义证明即可. 略. 十.(10分)设函数在开区间内存在二阶导数，且在内，证明：对于任意两点，恒有.证 因为在内，所以在开区间内是凸函数，故对于任意两点，恒有.又证 由泰勒公式，有，其中在与之间. 同理，两式相加并除以，立得.十一.(12分)设函数在闭区间上可微，且在内满足，证明：对于任意，有；.证 递增. 再结合条件；十二.(10分)设函数在连续、非负，且广义积分收敛，证明：.证 因收敛，非负，故，使当时，成立.因为在闭区间上连续，所以在闭区间上有界，设.当时，只要；由积分中值定理 ，. 所以. 故. 十三.(12分)证明含参量广义积分在连续，但非一致收敛.证 ，. 当时，收敛，所以在一致收敛，又二元连续，所以在连续，从而在连续. 而是任取的，所以在连续；，、(取即可)，有，由柯西准则，在非一致收敛. 十四.(12分) 设在连续，且，. 若级数、在上收敛，若级数发散，证明：级数在上收敛；级数在上非一致收敛. 证 因为、在上收敛，所以，使得当时，有，. 又因为所以. 故级数在上收敛. 因为级数发散，所以存在，无论多大，总存在，使得.由于在连续，所以
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