基于压缩感知的信号采样研究.doc

第III页 东北大学秦皇岛分校毕业设计（论文） 毕业论文基于压缩感知的信号采样研究系 别计算机与通信工程学院专业名称通信工程班级学号学生姓名指导教师2014年6月9日基于压缩感知算法的信号采样研究摘 要 信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist采样定理，它要求采样频率不低于信号带宽的2倍，其产生的大量数据造成了存储空间的浪费。随着信息科学的发展，系统要求的采样率越来越高。采样率的逐步提高，不仅对于模数转换器件的要求越来越高，对于后续的数字信号处理及存储器等周边设备也是一个很大的挑战。近年来，压缩感知理论的出现，可以有效地缓解人们所面临的困难。压缩感知（Compressed Sensing）提出一种新的采样理论，它能够以远低于Nyquist采样速率采样信号。本文详述了压缩感知的基本理论的三个主要的方面。一是信号的稀疏变换，信号的可压缩性或稀疏性是运用压缩感知原理的前提，在我们现实生活中，只有一部分的信号是稀疏的，所以我们需要对绝大多数的信号进行稀疏变换；二是观测矩阵的设计，在选择观测矩阵的时候，我们遵循一个条件，就是观测矩阵和稀疏矩阵的要不相关，且观测矩阵的性能越好，对信号的重构就越有利；三是重构算法的设计，这是压缩感知中一个重要环节，其对重构信号的质量有至关重要的作用。本文着重分析观测矩阵的设计这一环节，并进行了仿真实验，通过实验研究了不同的采样率和不同的观测矩阵对重构性能产生的影响，知道了实际中我们需要根据信号特征选择相应的采样率和测量矩阵。关键词：压缩感知，稀疏性，采样Study of the signal samping based on Compressed SensingAuthor：Deng YunguiTutor：Ma XuelianAbstractThe signal sampling is a way which leads the analog physical world to the digital information world. The theoretic principle instructing the signal sampling is always the famous Nyquist Principle for the past few years. It says that the sampling rate not be less than the signal width. But the large number of data it produced cause the waste of storage space. With the development of information science, the sampling rate of the system is becoming higher and higher. The gradual increase of the sampling rate, not only for the ADC device, but also for the following digital signal processing device and other peripheral equipments, is a big challenge. In recent years, the theory of compressed sensing attracts many peoples attention and it can effectively solve the above problems.Compressed sensing (CS) uses a new sampling theory, and it can sample signal by using sampling rate far below the Nyquist rate. This thesis describes the three main aspects of the basic theory of compressed sensing. One is the sparsity transform of the signal as compressibility or sparseness signal is the principle premise of compressed sensing. In our real life, only a part of signals are sparse, so we need to transform the vast majority of the signal into sparse signal. The second point is the design of the observation matrix. When we choose an observation matrix, we must follow a standard that the observation matrix and sparse matrices are not related. Furthermore the better the performance of the observation matrix we choose, the better the signal can be reconstructed. The third point is the design of reconstruction algorithm, which is one of the most important aspects of compressed sensing, which has a crucial effect on the quality of the reconstructed signal.In the thesis, the observation matrix is analyzed and the simulation is performed on it. And we do some experiment about influence of recovering accuracy which caused by different observation matrix and sampling rate. So I know that we should choose right observation and sampling rate according to signals features.Key words: Compressed sensing, sparsity, sampling 目 录1 绪论11.1课题背景及研究意义11.2 压缩感知的发展及应用领域21.3 本文研究方法及工作安排32 压缩感知的基本理论42.1压缩感知理论框架42.2压缩感知理论核心52.2.1 信号的稀疏性62.2.2 信号的观测矩阵的选择72.3 恢复算法82.4 小结103 压缩感知中的测量矩阵123.1 测量矩阵的分类123.1.1 随机测量矩阵123.1.2 确定性测量矩阵133.1.3 部分随机测量矩阵153.2 本章小结164 实验及仿真分析174.1 基于压缩感知的采样机信号重构仿真174.2基于不同的测量矩阵的压缩感知仿真194.3本章总结22结 论23参考文献24致 谢25附 录26附录A26附录B36东北大学秦皇岛分校毕业设计（论文） 第38页1 绪论1.1课题背景及研究意义过去的几十年里，通信技术取得了巨大的发展。而伴同着的成长，稀缺的频谱资源和供给之间的不平衡，使得频谱资源变得很宝贵，这引起了科学家们的关注。研究发现，在有许可证的频段内，高频部分，尤其3GHZ以上的频段内，频谱的利用率相当低。的频谱使用率为，而的频谱使用率仅为1。所以若我们能够将高频段内的频谱资源充分利用，就能够有效的解决频谱稀缺性的问题。通讯体系和侦测体系中，高频信号的应用在当中已经占据了主导地位，它们所带来的问题也困扰着人们。首先，高采样频率的信号给ADC（模数转换）器件带来了巨大压力，甚至就做不到。我们都知道在我们生活中的信号都是模拟信号，而我们处理的信号都是数字信号。因此模数转换过程，是大部分的通讯系统中必不可少的。在转变模拟信息到数字信息时我们遵循经典的Nyquist采样定理2。由于各种因素，市面上的多种ADC器件的采样速率不会跟着需求变化，所以高频信号的使用就被转变模块限制住了。尽管能够应用先将高频信号降到中频，接着再进行采样的方式，然而此种解决方案也会给模数转换模块前带来相当程度上的的信号失真。甚至在一些特殊的情况下，这种方案都不能解决问题。另外，后续的数字处理系统不能承受高速采样所带来的压力。信号的一般处理过程是先采样，再存储，接着处理，传输，接收，还原。在信号处理的过程中，硬件的局限性，如存储器的存储速度等，已然变成了系统设计中的难点3。从上述分析可得到，降低模数转换器件的采样速率，己经迫在眉睫。Nyquist采样定理是我们进行采样所需遵循的。但是，实际中的信号大多是几个窄带信号在宽频谱的分布。从频率的方面上理解，我们认为现实中的大多数信号是稀疏的。在某种特定的情况下，近似的信号我们可以对其带通采样。而带通采样的是在我们已经知道载波频率的情况下才能进行。如果信号的载波频率未知，我们就不能对其进行带通采样。因此就自然而然的引出一个设想：我们是否可以用另外的变换空间表示信号，研究出新的信号描述理论，使在不丢失信息的前提下，使用远小于奈奎斯特采样速率采样信号，同时又能够不损失的恢复信号。稀疏性和信号带宽作比较，可以知道它可以直接地完全地描述信号的信息。实际上，稀疏性在如今的信号处理中占有重要的地位。最近几年，提出了一种新的采样定理压缩感知理论（compressed sensing，简称为CS），它是基于信号的稀疏性提出的，并且能够同一时间完成信号的压缩和采样4。既解决了存储空间的浪费情况，又降低了采样速率的要求。单一的看，压缩感知原理提出：只须信号是稀疏或者是能够压缩的，我们就能够用一个与稀疏基不相关的矩阵与信号相乘，将其投影到低维空间，紧接着经过解范数下的优化问题就能够从少许的投影值中以高概率还原出原信号，已经证实，这些少量的投影值包含了足够的原信号信息，使得原信号能无损地恢复5。此原理指出，信号的采样速率不再由Nyquist定理所决定，而是由信号的稀疏性和非相干性决定。1.2 压缩感知的发展及应用领域过去，信号处理系统通常为采样，压缩，处理，传输，解压缩这几步4。如果我们假设信号具有稀疏性，能不能把信号的采集和压缩合在一块完成？2006年Donoho、Candes和Tao等人的研究构成了现如今压缩传感理论的基石 6,7，Candes已经证明，具有稀疏性的信号能够从部分投影值中精确的还原，所以信号的采样和压缩式可以合并成同一个过程。随后Candes和Donoho等人就提出了大家所知道的压缩传感原理。压缩感知在初次提出，就吸引了人们的关注。从文字上我们就可以猜测只是一种压缩手段。我们以前都是根据信号本身的特性，当信号被采集后，丢掉信号的多余部分，从而进行压缩的。但是，CS理论是采集压缩之后的数据。相比于传统的理论，压缩传感所带来的优势更加的明显。CS原理指出，若信号是稀疏的，我们就可以先对信号进行稀疏化，再测量，最后重构出原信号，并且能够将信号重构的很好8。毋庸置疑，CS技术具有的广阔的应用前景。到如今，CS理论已经席卷了科学界，在许多方面都得到了运用。(1)压缩成像。Rice大学已经在CS理论的基础上做出了一个“单像素”的照相机5。相机直接采集的是多次随机线性测量值，这使得我们能够拍摄高清晰度图片。此外，压缩成像也应用在了雷达成像领域。(2)信道编码。由于不易被误差影响，而能够CS理论用设计快速误差校正编码。(3)模拟到数字信息转换。传统的信息采集是基于Nyquist定理，即我们是根据Nyquist定理来实现ADC器件的功能。但是由于传统方法的诸多限制，传统方法已经不能满足人们的需要。对此，ktioios制作出了基于CS理论的ADC器件。另外CS理论在光学，通信等科学理论中也得到了广泛的应用。1.3 本文研究方法及工作安排本论文主要研究了压缩感知理论的基本原理及其信号采样过程，首先介绍了压缩感知的基本过程，然后详细地分析了CS的三个主要内容：信号的稀疏性、测量矩阵的选择和重构算法的设计。再针对信号采样部分，研究了多种不同的测量矩阵，并针对不同的参数进行仿真分析。在仿真分析中，进行不同的采样率下的重构的仿真实验，并对不同测量矩阵下的信号重构进行仿真，通过对比的方法分析出了其中的优劣，给出建议。本论文主要分为五部分：第一章是绪论，介绍了压缩感知提出的背景，及研究现状；第二章是介绍压缩感知的原理；第三章是系统的分析了各种测量矩阵；第四章是进行仿真分析；第五章是总结。2 压缩感知的基本理论2.1压缩感知理论框架传统的信号处理过程如图2.1所示。信号先进过采样，再压缩；而解码端则进行相反的过程，解码端将收集到的信号进行解压缩和反变换，最终恢复成原来的信号。采样传统的信号采样和压缩方式，虽然能够完整的表示和恢复原信号，但是传统方式采样所得到的数据存在着较大的冗余，造成的存储空间的浪费。另外由于Nyquist定理要求采样速率不低于信号带宽的2倍，所以硬件系统的采样速度会有较大压力。Y编码端信号X采样变换、压缩解码解码端接收数据Y解压缩、反变换恢复信号X图2.1 基于Nyquist频率的传统编解码框图压缩感知理论指出可以对稀疏性的信号在一个有特点的矩阵下进行投影，我们只需要感知这些投影值，而这些投影值相对于原信号来说要小的多，但也包含了原来信号的所有信息，即压缩感知理论得到的是采样压缩以后的信号8，即直接感知压缩了的信号，此时可以认为采样和压缩是在同一个步骤进行的。这样我们就能以一个较低的频率对信号进行采样，能够为我们采样高分辨率信息减轻了压力。基于压缩感知理论的信号处理过程如图2.2所示。压缩感知以低于Nyquist频率对信号进行非自适应性的测量和编码9。解码过程不是类似于传统理论的一个简单逆过程，它是利用信号稀疏性在范数下求最优解，它实现的是带有一定误差的重构。基于CS理论的解码过程所需要的采样值于奈奎斯特所需的采样值。Y编码端稀疏信号X测量编码解码端接收数据Y解码重构恢复信号X图2.2 基于压缩感知理论的信号处理过程2.2压缩感知理论核心假设有一信号，长度为N，基向量为，对信号进行变换有： (2.1)其中，是信号在时域上的表示，是信号在上的表示。只有当信号时稀疏的情况下，我们才能用CS理论，如果(2.1)式中的只有个非零值，我们就可以认为信号是稀疏的，或者中的分量经过降序排序后呈指数型衰减，我们也可以认为它是稀疏的。如果信号是稀疏的，CS处理过程为：一是用一个与稀疏基矩阵不相关维的测量矩阵测量信号，得到维测量值；二是由维观测值重构信号。按照上面的思想，考虑一个维测量矩阵,定义为： (2.2)此矩阵共有个列向量，任意一个列向量， =1.N，且MN。定义向量y为： (2.3)将带入得： (2.4)其中；信号的重构就是解决下述最优化问题； (2.5)即0范数最优化问题，实际中采用的是可实现的1范数最优化问题。2.2.1 信号的稀疏性CS是基于稀疏信号理论提出的，即可以压缩感知的信号都是稀疏的，换句话说，只有稀疏信号才能进行压缩感知，且我们生活中的大多数信号都具有这种能够被压缩的特性，只不过是它们并没有直接表现出这种稀疏形式8。在研究中，我们就需要找到信号的稀疏形式。一长度为的离散实信号，可以看作是空间的一个维列向量，其中，若信号有K个非零分量，且，则我们认为信号是稀疏的。现实生活中，大部分的信号本身不是稀疏的，但是我们可以让信号通过某种变换后变成稀疏的，即信号通过该变换仅有K个非零分量（KN），或者是把信号的分量按降序排列，若成指数型衰减并趋于零，这两种信号我们也认为其是稀疏的。信号的稀疏变换就是要找到一个合适的变换，使得经过变换后的原信号具有稀疏性。在过去的研究中，我们发现大部分的信号在正交基下的线性变换就具有稀疏性10。对于不具有稀疏性的任意信号，我们来找寻它的稀疏基。首先我们给定一组空间的标准正交基：，其中为维向量，所以空间的任意向量都可以用线性表示，故信号可表示为(2.1)式所示。 其中，向量是维变换系数。而矩阵是由作为列向量的的变换矩阵，因此向量为信号在变换基下的等价表示，若向量仅有K个非零信号，我们就称信号在域下是稀疏的。图2.3给出了信号稀疏表示的实现图。图2.3 信号的稀疏表示信号的稀疏表示就是要寻求一个合适的稀疏基矩阵，使得自然信号在该矩阵下的变换稀疏进可能的稀疏。好的稀疏基能降低采集难度，提高了采样速率，也对后续的存储，传输具有重要作用，也能提高最后的重构精度。就目前研究的现状而言，叫常见的稀疏基有：离散小波变化基，离散余弦变换基，傅里叶变换基以及冗余字典。信号在冗余字典下的稀疏分解是现阶段的一个研究热门，他是用冗余函数库代替稀疏基。构成冗余字典的元素并没有任何要求，一般情况下我们尽量选取符合被测量的信号的原子，所以我们就可以从中选取到一组最优的线性组合逼近原信号10。2.2.2 信号的观测矩阵的选择 压缩感知中的测量是实现信号压缩采样的手段,它是用的测量矩阵和信号相乘，得到压缩感知后的测量值。其数学描述为(2.2)所示。根据2.2节中所介绍的压缩感知理论，其过程如图2.4所示。图2.4 压缩感知的线性测量过程在此过程中，矩阵为非自适应测量矩阵，即矩阵不会根据需求而变化，一经确定就无法改变。这样我们就得到了测量值y。在此变换过程中，信号x已经变成了y，那我们怎样才能保证我们可以从y中恢复出原始信号x，这要求我们信号在测量过程中不会有信息的丢失，那么一个什么样的观测矩阵能保证这点呢？ Tao和Candes等人提出了有限等距约束特性(Restricted Isometry Principle，简称为RIP) 14, 指出，若当感知矩阵A满足RIP性质是，就可以认为信号在基于此矩阵的测量中不就会有信息的丢失。RIP的定义为：对于任意N维的K-稀疏信号x，其稀疏表示形式为，若果存在常数，使得感知矩阵满足下式11：(2.10)则我们就认为矩阵A满足性质，其中称为常数。由于这是一个问题，所以我们不可以直接判断出矩阵是否具有性质，因此提出了一种替代方法，即当变换矩阵和观测矩阵不相关时，其感知矩阵A在很大程度上就满足RIP性质11。2.3 恢复算法关于，矩阵的每一个行向量都提取了信号的少许信息11。由M个测量值和矩阵，我们就能够精确恢复出原信号。经过上述的研究可知，原Nl维向量变换为了Ml维向量y。公式中，方程数个数M小于未知数个数。这是一个欠定方程组，我们无法求出一个确切的数值解。但是，若信号为K稀疏，这样求解出K个未知的解即可。因K1时的情况。上述的内积处理之后，定义余量为： (2.12)由于K1，所以至少有两个元素是非零的。此时继续做内积处理，找出余量与中所有列向量内积绝对值最大的那列即可。此处比较时，不与第一次的内积值比较，因为它己经被保存了下来。经过这两次的操作之后，找到了两个列向量，分别记为和。其中，其中为第一次找到的列值，为第二次找到的列值。此时，记。此时按照式(2.12)继续更新余量，然后需要继续重复上面的操作，直至找出变换域中所有的K个非零分量。由此可以看出，正交匹配追踪算法循环的次数mK。算法总结如下：(1)定义一个向量P，对其初始化，有:P=y。(2)令中的每一列均与P做内积运算，找出内积绝对值最大时中对应的列，记为，将此列值保存在矩阵V中，此时。(3)定义矩阵。(4)更新向量p，。(5)用更新过的向量P重复过程(2)，即令中的每一列均与P做内积运算。但是需要注意，此时不再对记录在矩阵V中的列向量做内积运算。记录此时最大内积绝对值对应的中的列，记为，并记V = V。(6)重复(3) , (4)中的更新，并重复(5) , (6)的运算，直至达到自己需要的迭代次数。在此仅详细介绍了贪婪算法下的OMP算法，此外贪婪算法还有匹配追踪法(简称MP算法)。重构算法还有另外一大类凸优化算法，它将0范数放宽到1范数进行线性规范求解。相对于贪婪算法，此类算法更为精确，但是较为复杂。但是一般情况下贪婪算法的精确性已能满足需求。至此，本文已经简单介绍了压缩感知理论的基本原理及基本算法。从中可以看出，压缩感知能够采用较少的测量值恢复出原信号。虽然它的理论是这样地具有突破性，然而在实际工程中，除了美国工程师设计出了简单的实际产品外，压缩感知依然停留在理论的层面，在实际中并未取得广泛地应用。这是因为，压缩感知也有它自己需要改进的一些缺点。首先，y的长度应该是重要分量长度的4倍，才能够完美地恢复原始信号。在数学上，有更严格的定义: 或者。其次，恢复算法很复杂，需要大量的计算。 2.4 小结本章主要介绍了压缩感知的基本理论。在本章中，首先介绍了压缩感知的理论框架其主要内容包括信号的稀疏表示，测量矩阵的选取及其恢复算法。接着对三个主要内容进行了详细的介绍。在此算法中，有两个参数影响其性能，一个是观测得到的数据长度，还有一个是恢复算法的迭代次数。3 压缩感知中的测量矩阵压缩传感测量矩阵是实现信号的采样和压缩工具，设计合理的测量矩阵不仅可以降低频率测量，而且还可以提高重建精度。3.1 测量矩阵的分类我们应该找到一个有什么特性的感知矩阵，使得它具有RIP特性，这是一个至关重要的问题。Donoho提出了这样三个特性：（1）测量矩阵的列向量组满足一定的线性独立性；（2）测量矩阵的列向量具有独立随机性；（3）满足稀疏度的解是满足范数的最小向量6。当矩阵具有这三个特性时，我们就可以认为该矩阵具有特性。Donoho证明了具有以上三个特征的矩阵都可以作为压缩传感中的测量矩阵，目前线性测量矩阵的设计主要有三类：随机矩阵，确定性矩阵和部分随机矩阵。3.1.1 随机测量矩阵Donoho和Candes在提出CS理论的最初，就指出随机矩阵有着天然的优势的测量矩阵，后面也有研究证明了高斯随机矩阵和贝努利随机矩阵都满足RIP性质。随机矩阵作为测量矩阵，它能够保证原信号的信息不丢失，也保证了恢复精度，我们可以用较少的采样值来重构信号。（1）Gauss随机矩阵：这是我们最常用的观测矩阵，高斯矩阵中的每个原子都独立的服从正态分布。即：(3.1)其中，为阶测量矩阵，N为原始信号长度，M为测量值长度。Gauss随机矩阵和大部分的变换矩阵不相关，由其构成的感知矩阵A满足RIP性质，对于K-稀疏度的信号，仅需测次11，就能还原信号，其中c是一个很小的正数。（2）贝努利随机矩阵：该矩阵中的每个原子服从对称的贝努利分布，观测矩阵等概率的取：(3.2)其中，。贝努利随机测量矩阵以及高斯随机矩阵都是随机性强的矩阵，类似于高斯随机矩阵的性质，在实际应用中这两种矩阵都是常用的观测矩阵，尽管其性能好，但是由于它的随机性，硬件实现是较为困难的，用于存储整个矩阵和实验有不确定性，需要大量实验求平均消除不确定性。3.1.2 确定性测量矩阵此类矩阵主要有多项式测量矩阵，分块多项式测量矩阵等。多项式测量矩阵的中心思想是在一个元素个数为p的有限域F中，其中元素由整数对p的模值组成，即为：，利用最高次幂不高于的多项式来求出观测矩阵中的非零元素的位置及个数。和随机测量矩阵不同，确定性的测量矩阵可以节约存储空间，方便于硬件实现，更容易设计快速算法，但是其重构精确度较差，且测量次数比较多5。（1）多项式测量矩阵的构造：在一个元素个数为p的有限域F中对于自然数，用来表示最高次幂不高于r的多项式集合，即：(3.3)其中，当系数取完所有可能的取值后，一共有个这样的系数组合，对应可得到个多项式。矩阵记为一下形式：(3.4)接下来将矩阵E的每一列的某一位置的0置为1，具体的位置有多项式来确定。插入的方法是将看做的一个投影，即和的取值都是在有限域中。为讨论方便，我们首先可以将都，将位置上的0置换为1，当所有列对应的元素都置换完后，将矩阵的每一列首尾相接转换为一个维的列向量，显然此处。如此转化后的列向量中前面个元素中有个1，之后的每个元素中也都有一个1，一共有个15。将列向量作为一个多项式测量矩阵的第一个列向量。接着更改系数的值，重复上面的过程，当系数按顺序取完所有个组合后，就可以得到一个维的矩阵记为，其中，。对进行归一化后就可以得到一个符合压缩传感测量矩阵，该矩阵经过研究证明可得其满足RIP特性但其局限性为要求测量次数，信号长度。（2）分块多项式测量矩阵的构造是对多项式测量矩阵的改进，这里引入矩阵分块的思想，将维数较高的测量矩阵分块为多个小的矩阵块，其构造过程是：第一步构造较小的多项式测量矩阵，就是取较小的值，按多项式测量矩阵的构造方法构造出一个小的测量矩阵，然后构成如下的矩阵形式： （3.5）上式中一共有个，所以能够得出测量数，可以测量的信号维度。按照这种方法构造的分块多项式矩阵满足以为RIP特性。分块多项式测量矩阵相比于原来的多项式测量矩阵，构造测量矩阵的时间大大降低了，而且将对测量信号的维度要求扩展为的整数倍，被测量信号的维度扩展为倍，即，。3.1.3 部分随机测量矩阵此类矩阵有部分哈达玛矩阵，部分正交矩阵，托普利兹和轮换矩阵等。这里的部分正交矩阵和哈达玛矩阵是从维的正交矩阵中随机选择行，再对列向量进行归一化得到。而托普利兹和轮换矩阵首先生成一个的行向量，并以此作为测量矩阵的第一行；紧接着对的行向量进行轮换，生成一个维的测量矩阵；最后随机地从轮换后维的测量矩阵中选取行组成维测量矩阵13。从部分随机矩阵的构造过程中，我们可以看出，部分随机矩阵的随机性比随机性矩阵弱，又比确定性矩阵强，所以用其作为测量矩阵有较好的性能，且又较好实现。（1）部分哈达玛矩阵：哈达玛矩阵是矩阵元素为的正交矩阵。部分哈达玛矩阵的构造方法是先构造一个维哈达玛矩阵，然后从维哈达玛矩阵中随机选取行，构成一个维的矩阵，再对矩阵进行归一化后就得到最终的测量矩阵12。相比较而言，部分哈达玛矩阵因为其正交性，所以重构性能较好。但是部分哈达玛矩阵也有其缺陷，就是该矩阵的阶数只能取或，所以这很大的程度上就限制了部分哈达玛矩阵的应用范围。（2）托普利兹测量矩阵(toeplitz)：对于测量信号维数为，原始信号维数为的压缩感知过程，该测量矩阵的构造过程是先生成一个维的行向量，向量的元素取值都为，每个元素都独立的服从对称的贝努利分布。利用生成的行向量u，采用向后循环的方式构造托普利兹测量矩阵12，形式如下所示：(3.6)相比于随机矩阵需要个独立随机元而言，托普利兹矩阵需要的独立随机元要少的多，仅需个，所以当我们处理复杂的信号时，采用该测量矩阵能够帮助我们节省大量的存储空间。且相比于随机矩阵相乘需要次运算，托普利兹矩阵的相乘运算可以运用快速傅里叶变换进行快速运算13，仅需要次运算就能实现。（3）轮换矩阵：比托普利兹矩阵的形式更加的简单，是该矩阵的一种特殊形式。该矩阵的构造方法同样是先生成一个行向量，但是其长度不需要，而是一个长度为的行向量。生成的方式是采用作为构造向量的原子，等概的取生成长度为的行向量，将行向量u作为测量矩阵的第一行，接着按照依次循环的方式得到剩余行13，其表现形式如下：(3.7)然后从维的轮换矩阵中随机选择行构成维的，经过归一化满足特性。由于轮换矩阵是托普利兹矩阵的特殊形式，其性质也和托普利兹矩阵类似，硬件系统容易实现循环移位的方式，轮换矩阵生成的向量也较短，但是也有一些不足之处13：（1）它所有的元素都是，使得构造出的列向量线性相关性较高；（2）矩阵构造过程中采样单一的循环、移位方式，不能够体现出列向量之间的独立随机性，相比于贝努利等随机矩阵，轮换矩阵和托普利兹矩阵的性能不够凸显。3.2 本章小结 本章从数学上详细地介绍了各种测量矩阵，如高斯随机矩阵，贝努利矩阵，哈达玛矩阵，轮换矩阵等，指出了其中的优缺点。在实际应用中应根据不同的需求选择不同的测量矩阵。4 实验及仿真分析4.1 基于压缩感知的采样机信号重构仿真采用压缩感知对信号进行压缩采样并重构信号的基本过程:(1)选取合适的基向量矩阵，测量矩阵；(2)对信号s进行稀疏变换，即：；(2)将稀疏后的信号x与测量矩阵相乘，即: ；(3)获得矩阵，将测量值y与感知矩阵A带入重构算法，这里采样正交匹配追踪算法；(4)重构原始信号。在压缩感知算法中，有两个参数影响恢复算法的性能。第一个是y的长度M。只有M4K或者M Klog2(N/K)，才能完美恢复出原始信息。第二个是正交匹配追踪算法中迭代次数m。只有mK，才能够找出所有的非零元素。经过以上的分析之后，生成由若干个正弦信号叠加的信号作为原始信号x，测量矩阵选用高斯分布白噪声矩阵，基向量矩阵选用傅立叶正变换矩阵，并运用这些参数做仿真分析14。(1) M，m均符合算法要求时的仿真分析原始信号的稀疏度K=7，原始信号长度N=256 , y的长度M=40，正交匹配追踪算法迭代次数m=K。仿真结果如图4.1所示。图4.1 M，m符合时的仿真图从图4.1中可以看出，y的长度M，迭代次数m均选取合适参数时，信号可以完美地恢复。(2) M符合，m不符合算法时的仿真分析原始信号的稀疏度K=7，原始信号长度N=256，y的长度M=40 ,正交匹配追踪算法迭代次数，mK。仿真结果如图4.2所示。图4.2 M符合，m不符合时的仿真图从图4.2中可以看出，M符合，m不符合算法时,信号不可以完美地恢复。(3) M不符合，m符合算法时的仿真分析原始信号的稀疏度K=7，原始信号长度N=256，y的长度M=20 ,正交匹配追踪算法迭代次数，m=K。仿真结果如图4.3所示。图4.3 M不符合，m符合时的仿真图从图4.3中可以看出，M不符合，m符合算法时,信号不可以完美地恢复。从上面3仿真个实验中我们可以得出，只有当测量数MKlog2(N/K)且迭代次数时，才可以完美的恢复信号，且从实验中可看出测量次数对信号的恢复精度影响比迭代次数要大。4.2基于不同的测量矩阵的压缩感知仿真（1）基于随机高斯矩阵的压缩感知仿真原始信号的稀疏度K=7，原始信号长度N=256 , y的长度M=40，正交匹配追踪算法迭代次数m=4K。测量矩阵采用随机高斯矩阵，重构算法采用正交匹配追踪算法，仿真结果如图4.4所示。图4.4 基于随机高斯矩阵的压缩感知仿真从图4.4中，可看出当用随机高斯矩阵做测量矩阵时，信号可以完美的恢复。（2）基于贝努利矩阵的压缩感知仿真原始信号的稀疏度K=7，原始信号长度N=256 ,y的长度M=40，正交匹配追踪算法迭代次数m=4K。测量矩阵采用贝努利矩阵，重构算法采用正交匹配追踪算法，仿真结果如图4.5所示。图4.5 基于贝努利矩阵的压缩感知仿真图从图4.5可看出用贝努利矩阵作为测量矩阵时，对于简单信号，其恢复精度和随机高斯矩阵一样好，都能够完美的重构信号。（3）基于分块多项式矩阵的压缩感知仿真原始信号的稀疏度K=7，原始信号长度N=256 ,y的长度M=40，正交匹配追踪算法迭代次数m=4K。测量矩阵采用分块多项式矩阵，重构算法采用正交匹配追踪算法，仿真结果如图4.6所示。图4.6 基于分块多项式的测量矩阵的仿真图从图4.6中，可看出用分块多项式做测量矩阵时，也可以比较好的重构信号，只是精度没有随机信号那么好，当对恢复精度的要求不是很高时，可以采用此种方法。（4）基于托普利兹矩阵的压缩感知仿真原始信号的稀疏度K=7，原始信号长度N=256 ,y的长度M=40，正交匹配追踪算法迭代次数m=4K。测量矩阵采用托普利兹矩阵，重构算法采用正交匹配追踪算法，仿真结果如图4.7所示。图4.7 基于托普利兹矩阵的仿真图图4.7为用托普利兹矩阵作为测量矩阵的仿真图，从图中可以看出用这种方法也能够较为精确的重构信号，精确度比确定性矩阵好，又比随机性矩阵差。但是也能满足一般需求。从上面4个实验中可知用随机信号作测量矩阵时，其恢复精度最好，其次是部分随机信号，最后是确定性信号。而硬件实现难易程度则刚好相反，最容易的是确定性信号，其次是部分随机信号，最后才是随机信号。所以我们需要根据实际需要来选择合适的测量矩阵，当我们需要测量的信号较简单时，如一维信号，我们就可以选择确定性矩阵或者部分随机矩阵，以降低成本；当需要测量的信号较复杂，对重构的精度要求高时，就可以选择随机性矩阵，所以我们需要根据实际需要来选择合适的测量矩阵，确保其性能确保其性能和实用性。4.3本章总结本章首先对压缩感知的一个整体过程进行了仿真，并分析了不同的测量次数M和迭代次数m对信号重构精度的影响。紧接着对不同测量矩阵下的压缩感知进行了仿真，这里从三类测量矩阵中各选了一种进行了仿真实验，通过仿真比较了其优劣，并给出了选择测量矩阵的建议。结 论 本文首先分析了压缩感知的原理，重点介绍了三个方面，信号的稀疏性、观测矩阵的选择即重构算法的设计。生活中的大部分的信号我们都可以通过矩阵变换使其变成稀疏的。由于信号的稀疏性，我们就可以只需要采集一小部分信息就能够完全的表示信号，而测量矩阵就是采集信号所需要的矩阵。并不是每一个矩阵都可以充当测量矩阵这一角色。所以文中对于测量矩阵所需要满足的条件都有指出。再接着，文章中分析了重构算法的设计，重点描述了正交匹配追踪算法，并用数学的方法推理了一遍，后面的各种仿真也是基于该算法重构信号。在第三章中，详细地分析了各种不同的测量矩阵，包括矩阵的构成，数学特征，实现难度，还有其作为测量矩阵的优劣，并根据不同的测量矩阵作出了仿真分析，且从仿真的结果上比较了随机矩阵，确定性矩阵和部分随机性矩阵的优点和缺点，得出了随机性强的矩阵其重构精度高，但是硬件较难实现，相反，随机性低的矩阵，易于实现，但重构精度没有随机性强的矩阵好。在现实情况中，我们需根据需要来选择测量矩阵。从全文来看压缩感知理论能够很好的重构信号，这给我们提出了另外一种信号处理的思路，这种思路让我们能够取得和基于Nyquist处理系统中一样的效果，并且其工作量更少，更节约资源，这在以后的发展中将逐渐成为主流。参考文献1夏金祥，范志平.无线电频谱利用面临的问题、机遇与对策J.中国无线电报. 2006，30(5):4-10.2王建英，尹忠科.信号与图像的稀疏分解及初步应用M.成都:西南交通大学出版社.2006：26-30.3 Sami Kirolos, Jason Laska. Analog-to-Information Conversion via Random DemodulationJ. Design Applications, Integration and Software. 2006，15(10):71-74.4Moshe Mishali, Yonina C.Eldar.Xampling: Analog Data CompressionJ. Data Compression Conference. 2010，11(24):366-375.5李树涛，魏丹.压缩传感综述J.自动化学报.2009，21(35):1369-1375.6 David Donoho. Compressed sensingJ. IEEE Trans. on Information Theory. 2006，3(4):1289-1306.7E Candes and J Romberg.Quantitative robust uncentainty principles and optimally sparse decompositionsJ. Foundations of Comput Math, 2006, 6(2): 227-2548石光明，刘丹华，高大化.压缩感知理论及其研究进展J.电子学报. 2009, 8(37): 1070-1078.9Moshe Mishali, Yonina C.Eldar. From Theory to Practice: Sub-Nyquist Sampling of Sparse Wideband Analog SignalsJ. 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DSP includes subfields like audio and speech signal processing, sonar and radar signal processing, sensor array processing, spectral estimation, statistical signal processing, digital image processing, signal processing for communications, biomedical signal processing, seismic data processing, etc.Since the goal of DSP is usually to measure or filter continuous real-world analog signals, the first step is usually to convert the signal from an analog to a digital form, by using an analog to digital converter. Often, the required