三垂线定理和逆定理.ppt

三垂线定理 江苏省海安县实验中学数学组吕素楠 复习 什么叫平面的斜线 垂线 射影 PO是平面 的斜线 O为斜足 PA是平面 的垂线 A为垂足 AO是PO在平面 内的射影 三垂线定理 性质 判定定理 性质 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理 直线a在一定要在平面内 如果a不在平面内 定理就不一定成立 例如 当b 时 b OA 如果将定理 在平面内 的条件去掉 结论仍然成立吗 但b不垂直于OP 思考 1 三垂线定理描述的是PO 斜线 AO 射影 a 直线 之间的垂直关系 2 a与PO可以相交 也可以异面 3 三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理 说明 三垂线定理 更多资源 例1直接利用三垂线定理证明下列各题 1 已知 PA 正方形ABCD所在平面 O为对角线BD的中点求证 PO BD PC BD 3 已知 在正方体AC1中 求证 A1C B1D1 A1C BC1 2 已知 PA 平面PBC PB PC M是BC的中点 求证 BC AM 1 2 3 1 PA 正方形ABCD所在平面 O为对角线BD的中点 求证 PO BD PC BD 证明 ABCD为正方形O为BD的中点 AO BD 2 已知 PA 平面PBC PB PC M是BC的中点 求证 BC AM 证明 3 在正方体AC1中 求证 A1C BC1 A1C B1D1 在正方体AC1中A1B1 面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 证明 同理可证 A1C B1D1 由三垂线定理知A1C BC1 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件 解题回顾 三垂线定理解题的关键 找三垂 怎么找 一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直 注意 由一垂 二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件 解题回顾 关于三垂线定理的应用 关键是找出平面 基准面 的垂线 至于射影则是由垂足 斜足来确定的 因而是第二位的 从三垂线定理的证明得到证明a b的一个程序 一垂 二射 三证 即 第一 找平面 基准面 及平面垂线 第二 找射影线 这时a b便成平面上的一条直线与一条斜线 三垂线定理 第三 证明射影线与直线a垂直 从而得出a与b垂直 三垂线定理包含几种垂直关系 线射垂直 线面垂直 线斜垂直 直线和平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 线射垂直 线斜垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 已知 PA PO分别是平面 的垂线和斜线 AO是PO在平面 的射影 a a PO求证 a AO 三垂线定理的逆定理 例2如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上 已知 BAC在平面 内 点P PE AB PF AC PO 垂足分别是E F O PE PF求证 BAO CAO 分析 要证 BAO CAO只须证OE OF OE AB OF AC P 证明 PO OE OF是PE PF在 内的射影 PE PF OE OF 由OE是PE的射影且PE AB得 OE AB 同理可得OF AC 结论成立 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 小结 三垂线定理 三垂线逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 3 操作程序分三个步骤