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引言 一 什么是高等数学 初等数学 研究对象为常量 以静止观点研究问题 高等数学 研究对象为变量 运动和辩证法进入了数学 数学中的转折点是笛卡儿的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证法进入了数学 有了变数 微分和积分也就立刻成为必要的了 而它们也就立刻产生 恩格斯 1 分析基础 函数 极限 连续 2 微积分学 一元微积分 3 无穷级数 不要求 4 常微分方程 主要内容 多元微积分 5 差分方程 不要求 二 如何学习高等数学 1 认识高等数学的重要性 培养浓厚的学习兴趣 2 学数学最好的方式是做数学 聪明在于学习 天才在于积累 学而优则用 学而优则创 由薄到厚 由厚到薄 马克思 恩格斯 要辨证而又唯物地了解自然 就必须熟悉数学 一门科学 只有当它成功地运用数学时 才能达到真正完善的地步 华罗庚 第一章函数 1 1实数与实数集 1 实数与数轴 2 实数的绝对值及其性质 常用数集 自然数集 整数集 有理数集 R 实数集 正整数集 非零实数集 正实数集 称为开区间 称为闭区间 符号 表示 对每 任 一个 称为半开半闭区间 称为半开半闭区间 一般地 有限区间是指介于某两个实数之间的全体实数 这两个实数叫做区间的端点 无穷区间无限区间 两端点间的距离 线段的长度 称为区间的长度 1 2函数的概念 一 常量与变量 二 函数的概念 定义域 函数的概念 定义设非空实数集 则称对应法则 为定义在 D上的函数 记为 称为值域 函数图形 自变量 因变量 使得对每个 自变量 因变量 对应法则f 初速度为零的自由落体运动 物体下落的距离S与时间t的关系为 设落地时刻t T 则函数定义域为t 0 T P5例5例6 例设f x 的定义域为 0 1 求 1 f x a f x a a 0 的定义域 2 f lnx 的定义域 邮件的费用依赖于邮件的重量 邮局公布的费用表可根据邮件的重量W确定邮件的费用C 自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图 由图形可以找出在一天中的某个时刻t的温度值T 例 阶梯曲线 例 分段函数是在不同区间段用不同解析式表示的一个函数 而不是几个函数 例 1 3函数的几何特性 1 单调性 2 有界性 有界函数的图形是介于两条平行于x轴的直线之间的曲线 奇函数 偶函数 例 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 如果对任意 并称为 一 反函数 习惯上 的反函数记成 1 4反函数与复合函数 是同一条曲线 2 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 例如 对数函数 互为反函数 它们都单调递增 指数函数 性质 1 y f x 单调递增 减 其反函数 且也单调递增 减 例求 的反函数及其定义域 解 当 时 则 当 时 则 当 时 则 反函数 定义域为 36 37 二 复合函数 则 设有函数链 称为由 确定的复合函数 u称为中间变量 注意 构成复合函数的条件 不可少 例如 函数链 但可定义复合函数 时 虽不能在自然域R下构成复合函数 可定义复合函数 当改 P11例 思考题 思考题解答 1 5初等函数 一 基本初等函数 1 2 幂函数 3 指数函数 4 对数函数 5 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 6 反三角函数 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数 称为初等函数 例如 不是初等函数 为初等函数 不是初等函数 为初等函数 P14例1例2例3 设函数 x换为f x 例5 解 且 备用题 证明 证 令 则 由 消去 得