D84重积分的应用.ppt

第四节 8 4 1重积分在几何上的应用 重积分的应用 第八章 8 4 2重积分在物理上的应用 1 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发建立积分式 用微元分析法 元素法 分布在有界闭域上的整体量 3 解题要点 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 定出积分限 计算要简便 2 用重积分解决问题的方法 上页下页 8 4 1重积分在几何上的应用 一 平面图形的面积 上页下页 解曲线为一双纽线 图形关于极轴和极点都对称 D 因此曲线所围成图形的面积 二 立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为 上页下页 被圆柱面 所截得的 含在柱面内的 立体的体积 上页下页 例2 求球体 上页下页 解 由对称性可知 D 例2 求半径为a的球面与半顶角为 的内接 锥面所围成的立体 含在锥面内 的体积 解 如图 在球面坐标系下立体所占 则立体体积为 上页下页 区域为 上页下页 上页下页 解利用柱面坐标计算 三 空间曲面的面积 设光滑曲面 则面积A可看成曲面上各点 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为d 上页下页 称为面积元素 则 故有曲面面积公式 即 上页下页 若光滑曲面方程为 则有 上页下页 若光滑曲面方程为 则有 解由对称性 其面积为它在第一卦限部分面积 的8倍 它在 面上的投影区域为 由 在第一卦限 球面方程为 得 上页下页 例5 计算半径为a的球的表面积 因此 于是整个球面面积为 上页下页 注 上述二重积分是一个广义二重积分 解 设球面方程为 则球面面积元素为 方法2利用球面的球面坐标方程 上页下页 刚才是利用球面的直角坐标方程解决的 还可直接用 元素法 例6 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解 曲面在xoy面上投影为 则 出的面积A 上页下页 上页下页 解先求割下部分在 平面上的投影区域 故投影区域为 由 一物体的质心 设空间有n个质点 其质量分别 由力学知 该质点系的质心坐标 设物体占有空间域 有连续密度函数 则 公式 分别位于 为 为 即 采用 大化小 常代变 近似和 取极限 可导出其质心 上页下页 8 4 2重积分在物理上的应用 将 分成n小块 将第k块看作质量集中于点 例如 令各小区域的最大直径 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标 的质点 即得 此质点 在第k块上任取一点 上页下页 同理可得 则得形心坐标 上页下页 若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片 A为D的面积 得D的形心坐标 则它的质心坐标为 其面密度 对x轴的静矩 对y轴的静矩 上页下页 上页下页 解记所考虑的球体为 球面的方程为 由对称性 得 例7设有一半径为 的球体 是此球表面上的一 平方成正比 比例常数 求球体的 重心位置 上页下页 而 故 上页下页 例8 求位于两圆 和 的质心 解 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 上页下页 二物体的转动惯量 设物体占有空间区域 有连续分布的密度函数 该物体位于 x y z 处的微元 因此物体对z轴的转动惯量为 对z轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和 故 连续体的转动惯量可用积分计算 上页下页 类似可得 对x轴的转动惯量为 对y轴的转动惯量为 对原点的转动惯量为 上页下页 如果物体是平面薄片 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分 上页下页 的转动惯量 直角坐标系 圆锥体的方程为 设密度为 用柱面坐标 锥面方程为 则 上页下页 例10 求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量 解 建立坐标系如图 半圆薄片的质量 上页下页 作业 P2092 4 6 8 9 上页下页 备用题 上页下页 提示 记雪堆体积为V 侧面积为S 则 用极坐标 上页下页 由题意知 令 得 小时 因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为1