动态问题解题技巧.doc

一、动态问题的动中不变问题对于这类问题，我们需要认真审题，从题目已知条件从分析出，线段或者线段所在直线的夹角不变（长度或者角度），直线或者线段所在直线位置关系不变（平行、垂直、夹角），图形的相互关系不变（全等、相似）【例1】长度不变在直角坐标系中，经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。（1）如图，过点A作的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式；（2）若经过点M（2，2），设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。解答：第（1）问省略（2）如图【分析】从题目已知条件可知，有关长度不变的量只有OM的长，那么d+AB肯定是一个与OM有关的量1、根据题目已知条件，利用特殊情形（以OM为直径），求出d+AB的值2、从1可知，过M点作MNOM，交x轴于N点，连结BM、AM，设OAB的内切圆为O2，与三角形的三边切于P、Q、R三点，如图【例2】相似+角度不变已知：如图1，直线y=kx+3(k0)交x轴于点B，交y轴于点A，以A点为圆心，AB为半径作A交x轴于另一点D，交y轴于点E、F两点，交直线AB于C点，连结BE、CF，CBD的平分线交CE于点H.（1）求证：BE=HE；（2）若AHCE，Q为 上一点，连结DQ交y轴于T，连结BQ并延长交y轴于G，求ATAG的值；（3）如图2, P为线段AB上一动点(不与A、B两点重合)，连结PD交y轴于点M，过P、M、B三点作O1交y轴于另一点N，设O1的半径为R，当k=时，给出下列两个结论：MN的长度不变；的值不变.其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值. 解：（1）省略 （2）【分析】要求ATAG的值，就是与题目已知条件中的某线段长有关，而题目的已知条件只告诉我们OA的长，进一步分析可知，我们可以得到OB和AB的长，从ATAG这个表现形式来看，应该是利用相似来解答，把AT和AG放到某两个三角形里而且要与我们刚才分析的其中的线段联系起来，只有AB的长也就是圆的半径可以与AT、AG恰好构造成两个三角形 (3) 【分析】MN/R的值不变，从表现形式来看，有点像简单三角函数里的某个角的三角函数值，所以我们选择证明MN和某个半径（O1M）的夹角不变来证明，而从题目已知条件可知，OAB和OBA是不变的过O1点作O1RMN，连结BM、BN、O1M、AD易证BAM和DAM全等，有ABM=ADM，BAM=DAMDMO=PBN （圆内接四边形的一个外角等于内对角）MO1R=MBNMO1R=PBNABMMO1R=DMOABMDMO=DAM+ADM （三角形外角）BAM=DAMBAM=DMOADMABM=ADMMO1R=BAMMN/R的值不变【例3】位置关系不变：平行已知：如图11，PF是O的切线，PEPF，A是O上一点，直线AE、AP分别交O于B、D，直线DE交O于C，连结BC(1)求证：PEBC；(2)将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在O上另选一点A其他条件不变，此时，PE与BC是否仍然平行？证明你的结论（1）证明省略（2）【分析】如果PEBC,那么有BCE=PED（两直线平行，同位角相等），且BCE=PAE，因此我们只需要证明PEDPAE即可。如图：猜想：PEBC证明：PF是O的切线PF2=ODPA （切割线定理，可以连结DF、AF，利用相似来证明）PE=PFPE2=ODPAEPD=APEPEDPAEPED=PAEBCE=PAEBCE=PEDPEBC【例4】全等+位置关系不变：垂直如图，ABD与CDE中均为等腰直角三角形，B，D，C三点在一直线上.(1)试问BE与AC有何关系？并证明你的结论。(2)当CDE绕点D沿顺时针方向旋转时，BE与AC的关系分别怎样？第（1）问 BE=AC且BEAC 证明过程略(2)【分析】第1问是通过证明三角形全等而得出的结论，在旋转的过程中，让我们看看证明三角形全等的条件是否发生改变，比如线段的长度，角的大小以及他们之间的关系，观察可以发现线段的长度没有发生改变，角的大小发生了改变，可是这两个角之间的数量关系没有发生改变，还是相等的，那么我们还是可以利用第1问的思路来解答猜想：BE=AC，BEAC证明：BD=AD DE=DC 90+ADE=BDE=ADC=90+ADE BDEADC BE=AC DBE=DAC FBA+BAF=FBA+BAF+DAC =FBA+BAF+DBE =90BFA=180（FBA+BAF）=90BEAC二、动态问题中的最值问题这类问题有以下几种形式两点之间线段最短 垂线段最短三角形两边之和大于第三边二次函数的最值问题（需要考虑自变量的取值范围）：见后面的面积问题平移综合利用抛物线焦点和准线转化的问题不管是哪种形式，或者由多少条线段组成，其本质都是要利用对称或者平移或者等量转化来使这些线段首尾相接，从而使它们共线【例1】两点之间线段最短已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A。求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。解：第（1）（2）问省略（3）【分析】如下面的左图，我们先在x轴上任取一点E和抛物线对称轴上任取一点F，连结ME、EF、AF，要使这3条线段共线，我们首先作M关于x轴的对称点M和A关于抛物线对称轴的对称点A，连结EM和FA，有EM=EM，FA=FA，则ME、EF、AF的长转变成折线段MEEFFA的长，这条折线中，M和A是确定的点，只有E、F是动点，要使折线长最短，则连结AM，AM与x轴和抛物线对称轴的交点E、F为所求，如下面右图 【例2】垂线段最短抛物线y=ax2+bx+c经过两点A（2,0）、C（0,4），对称轴为x=1/2，抛物线与x轴的另一个交点为B（1） 求抛物线的解析式（2） 点M从C点沿y轴向下运动到某点P，在运动到A点，已知M点在PA上的运动速度是PC上运动速度的0.6倍，求M点到达A点时间最短时P点的坐标解（1）（2）分析：设M点在PC上的运动速度为V，那么在PA上的运动速度为0.6V，从C点运动到A点的时间为PC/V+PA/0.6V，变形为（5/3V）（PA+3PC/5），过P点作PQBC，垂足为Q，计算PQ=3PC/5，则原题变为求PA+PQ的最小值，过A点作AQ垂直BC，与y轴交于P点，则P点为所求，如图 【例3】三角形两边之和大于第三边已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（2,0）、B（4,0）、C（0，4）三点（1） 求抛物线解析式（2） P是抛物线对称轴上的动点，求|PBPC|的最大值，并求出此时P点的坐标解：（1）（2）分析：连结PB、PC、BC，根据三角形三边之间的关系有|PBPC|BC，当P、B、C三点共线，且P点在线段BC（或CB）延长线上时，取等号，显然这种情况不存在；这时我们应看到P在对称轴上，有PA=PB，把|PBPC|转化成|PAPC|，在PAC中，有|PAPC|AC，当P、A、C三点共线，且P在线段AC（CA）延长线上时取等号。故连结AC并延长交抛物线对称轴于点P，点P为所求，如图 【例4】平移综合已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3,0）、C（0，3）、D（7,4）三点，P、Q是x轴上的任意两点，且PQ=2（1） 求抛物线解析式（2） 求CP+PQ+QD的最小值，并求出对应的P、Q两点的坐标解（1）（2）分析：连结CP、QD，因为PQ是定值，要使CP+PQ+QD最小，也就是求CP+QD的最小值，我们想办法通过平移使CP、QD有公共端点，把QD沿x轴负方向平移2个单位，得到QD，则P、Q两点重合，CP+QD=CP+PD，连结DC与x轴交于点M，则M为CP+PD去最小值时P点的位置，如图【例5】利用抛物线焦点和准线转化的问题对于抛物线y=x2/4a，我们把点F（0, a）叫做抛物线的焦点，直线y=a叫做抛物线的准线，抛物线上任意一点到焦点和准线的距离相等。（1） 请你证明上述结论（2） 已知平面内有一点D(3,5)，F是抛物线y=x2/4的焦点，在抛物线上求作一点P，使PF+PD最小，求出P点的坐标 （1） 证明：设M（m，n）是抛物线y=x2/4a上任意一点，则有n=m2/4a，即m2=4an直线l的解析式是y=a F点的坐标为（0, a）MN= n+a所以FM=AM（2）如图所示三、动态问题中的面积问题求一个图形的面积常见的方法有：利用面积公式直接求解，对图形进行割补然后求面积。在平面直角坐标系中，对图形进行割补时，一般选取平行于坐标轴的线段作为图形的底或高，而这条线段可能是一个定值，为解题提供方便，尤其是有关二次函数里求面积最值的时候。【例1】 动态问题中的面积不变问题观察组成这个图形的线段及其相互关系是否发生改变如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由. 解：（1）【分析】分为E在OA上和AB上两种情况，如下图，当E在OA上时可以直接求出ODE的面积，此时OE=2b，DM=1；当E在AB上时，ODE的面积等于矩形面积减去其余3个三角形的面积，此时MDC=BDE=ANE，tanANE=1/2 （2）【分析】如图，重叠部分的面积是否发生改变取决于四边形DMEN的四边及夹角是否发生变化，易证四边形DMEN是菱形，且菱形的一条对角线DE及相邻两边的夹角没有改变，所以重叠部分的面积也不会发生改变解：过D点作DKOA,垂足为K，设DN=x直线经过D、E两点，可知tanDEO=1/2MDE=NDE MED=NED DE=DEMDENDEDM=DNDMNE MEDN四边形DMEN是平行四边形DM=DN平行四边形DMEN是菱形DK=1KE=2KN=2x在RtDKN中，利用勾股定理有DK2+KN2=DN2 12+(2x)2=x2 解得x=5/4S菱形DMEN=NEDK=5/4【例2】巧分割，利用二次函数求面积的最值如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.【分析】第1种方法也是最容易想到的方法，以AC为底，平移AC，当AC和抛物线相切的时候，PAC的面积最大，如上图，切线l的k值和AC相同，可以设l的解析式为y=kx+b和抛物线联立解方程，当=0时，l与抛物线相切，可以求出b的值，然后求出l与AC之间的距离，从而求出PAC的面积，这是最容易想到却是最麻烦的方法第2种方法是，可以看出C点到y轴的距离是一个定值6，过P点做x轴的垂线，交AC于M点，此时PAC的面积等于3PM(PMOC/2)，此时设P点的横坐标为a，那么纵坐标可以通过抛物线的解析式求出来，M点的纵坐标也可以通过AC所在直线解析式求出来，则PM的长度就是一个含有a的表达式，根据a的取值范围可以求出PM的最大值，此时PAC的面积也最大。四、动态问题中的存在性问题【例1】动态问题中的直角三角形首先以过其中一点作已知线段的垂线，找出交点位置，利用相似三角形求出交点坐标，其次以已知线段为直径作圆，找出交点位置，利用相似三角形求出交点坐标已知抛物线y=ax2+bx+c进过三点A（3,0）、C（0，4）、D（3，2），直线y=kx+b经过抛物线与x轴的另一交点B和点E（0,4）。（1） 求抛物线和直线解析式（2）是否在抛物线上存在一点P，使PAE是直角三角形，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由 解：（1） y=x+4（2）过A点作AP1AE，交抛物线与P1点，过P1点作P1Mx轴，垂足为M，设P1的坐标为（m，n），易证MP1AOAE，有OA:OE= P1M:AMAM=m+4 P1M=n OA=3 OE=43（m+4）=4nn=（m+3）（m4）/3 联立方程可求出m，n的值过E点作EP2AE，交抛物线于P2点，过P2作y轴垂线，垂足为N，则P2NEEOA，方法同上以AE为直径的圆与抛物线交于P3点，过P3分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为R、Q，则P3ARP3EQ，方法同上【例2】 动态问题中的等腰（边）三角形这类问题有2种方法可以解决第1种方法，利用等腰三角形的两条腰相等，这时候需要考虑三边中的任意两边相等的情况，也就是如果ABC是等腰三角形，那么有3种可能，即AB=AC、AB=BC和AC=BC第2种方法，利用等腰三角形底边的中线，底边上的高重合，也就是这条线是底边的中垂线。我们需要考虑三角形中的任何一边都有可能是底边的情况，然后利用中垂线上的点到线段两端点的距离相等来解决问题，利用中垂线的来解决问题，我们最好不要使用两直线垂直时，k值互为负倒数来解题，我们可以通过相似或者全等三角形来解决。如果非要用到两直线垂直，k值互为负倒数，因为中考中式不允许直接使用的，那么我们可以通过利用简单三角函数来解决这个问题已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（2，0）、B（4，0）、C（0，4）三点（1） 求抛物线的解析式（2） 在抛物线上是否存在点P，使PAC是等腰三角形，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由 解（1）抛物线解析式为y=x2/2x4（2）当AC是等腰三角形底边时，如上左图，取AC的中点D，过点D作AC的垂线，与抛物线交于P1、P2两点则D点的坐标为（1,2），AC所在直线斜率k=2，则过D点的垂线的斜率为1/2，则垂线的解析式为y=x/23/2，和抛物线联立解方程即可得出P点的坐标当AC是等腰三角形的腰时（此种情况一般不会考察），如上右图，分别过C和P4作x轴、y轴的平行线，交于点M，设P4的坐标为（m，n），P4M=4+n，CM=m，因为P4C=AC，故（4+n）2+m2=20，把P4代入抛物线解析式联立解方程组，利用因式分解法求出m，n的值【例3】 动态问题中的等腰梯形和直角梯形此类问题，一般利用简单三角函数或者相似三角形，先把等腰梯形或直角梯形构造出来，然后再检验看这个点是否符合条件，或者利用简单三角函数或相似三角形，把未知点的横坐标和纵坐标之间的函数关系找出来，然后再代入题目要求的直线或者抛物线中，求出点的坐标，再通过计算两点之间的距离来看是否是等腰梯形（直角梯形就不需要计算距离了）已知抛物线y=ax2+bx+c经过三点A（5/2，0）、C（0，5）、D（2，3/2）（1） 求抛物线解析式（2） 在抛物线上是否存在点P，使P、O、A、C四点组成的四边形是等腰梯形分析：过P点作PEOC，显然OACEPO设P点恒坐标为a，那么P点纵坐标就为2a第1种方法，把P点代入抛物线解析式，求出a的值，然后计算PC是否和OA相等第2种方法，PC=OA，在RtPEC中，利用勾股定理求出a的值，再检验P点是否在抛物线上【例4】 动态问题中的平行四边形依据：平行四边形的判定定理一般利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，利用两点的中点公式进行求解，当四边形只有1个顶点是动点时，我们可以利用已知的三点求出平行四边形的第4个顶点，然后看这个点的坐标是否符合题意；当有两个点是动点时，先设其中的一个动点的坐标为（a，b）在根据这3点的坐标求出第4点的坐标，再把这个点代入它所在直线或者抛物线的解析式中，求出a，b的值其次我们把图形进行分割，利用三角形全等来解决，方法见 动态问题中的正方形 再次我们可以一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这时候需要用到两点之间的距离公式（可以利用勾股定理计算），因为已知的两点所在的直线解析式可以求出，再利用平行线的k值相等，设平行于已知直线的解析式为y=kx+b，分别联立方程求出两个交点的坐标（用含有b的式子表示），再计算这两个交点之间的距离，使这个距离等于已知两点之间的距离需要注意的是，任意两点的连线可能是四边形的一条边或者对角线，我们需要分情况来讨论已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=3/2，与x轴的交点A的坐标为(1,0)，与y轴的交点为C（0，4）（1） 求抛物线的解析式（2） M在抛物线上，N在抛物线的对称轴上，是否存在点M、N，使A、C、M、N四点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出M、N的坐标；若不存在，请说明理由解（1）y=x23x4（2） 设N点的坐标为(3/2，a)当AN是四边形的边时，如左图，CN的中点坐标为3/4，（a4）/2，则M点的坐标为（5/2，a-4）a4=（5/2）23（5/2）4 a=5/4当AN是对角线时，如右图，AN的中点为（1/4，a/2），则M点的坐标为（1/2，a+4）a+4=（1/2）23（1/2）4 a=37/4 【例5】 动态问题中的正方形由于正方形是特殊的四边形，四边相等，四个角都是直角，对角巷互相垂直平分，已知条件已经告诉我们正方形的边长，那么我们通过构造全等三角形来求出另外的两个顶点的坐标，再验证是否符合题意已知抛物线y=ax2+bx+c与x交于A(2，0)、B（24/5，0）两点，与y轴交于C（0，4），直线y=kx+24/7经过点B。（1） 求抛物线和直线解析式（2） 问是否在直线y= y=kx+24/7存在一点E，在抛物线上存在一点D，是ACDE是正方形？若存在，求出D、E点的坐标；若不存在，请说明理由解（1）（2）先做出正方形ACDE，过E点作EFx轴，垂足为F，过D点作DGy轴，垂足为G易证AEFCAODCGEF=CG=OA AF=DG=OCEF=2 OF=2 DG=4 CG=2D点的坐标为（2，2） E点的坐标为（4，2）将D、E分别代入直线和抛物线解析式，经检验D、E分别在直线和抛物线上故D（2，2） E（4，2）为所求【例6】 动态问题中的全等三角形【分析】这类问题，从三角形全等的判定定理出发，一般使用A