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数学有效学法 王桂花 1 笛卡尔 最有价值的知识是关于方法的知识 学会生存 一书中指出 未来的文盲不再是不识字的人 而是没有学会怎样学习的人 爱因斯坦 成功 艰苦的劳动 正确的方法 少说空话 2 一 整体掌握融会贯通 鲍林 二 借力学习 杨振宁 三 循序渐进 巴浦洛夫 四 发展求异思维 理查德费曼 五 趣味性学习 伊伦居里 六 灵感源于生活 海明威 七 创造性学习 爱因斯坦 八 深入学习善于思考 霍夫特 3 一 整体掌握融会贯通 鲍林 1迷恋化学2善于融会贯通把知识点连成线 铺成面 结成网是掌握知识的系统方法 4 把所有的知识和技能都看作一个统一的整体 学习时从整体上去掌握 解决任何问题 都应该从整个知识体系里去寻找思路 方法和工具 要做到这一点 就需要做好这样两件事 一是整体梳理 二是集中记忆 3发挥 杂交 优势 5 用整体思维解决问题 例1 李林喝了一杯牛奶的然后加满水又喝了一杯牛奶的 再倒满水后又喝了半杯 又加满水 最后把一杯都喝了 李林喝的牛奶多 还是水多 分析 李林前后喝了4次 牛奶正好喝了1杯 与此同时 将三次所加的水 共也全部喝完 结论一样多 6 例2 设有四个数 其中每三个数之和分别为22 20 17 25 求此四个数 解 设这四数之和为 则这四数为 7 例3 用两条直线把钟面上的12个数分割成三个部分 且每部分的数之和相等 如何分割 8 例4 有五个数的平均数是7 若把其中的一个数改为9后 这五个数的平均数则为8 改动的那个数原来是多少 分析 改动后的五个数的总和比原来增加 8x5 7x5 5什么数 增加5 之后变为9呢 9 例5 有甲 乙 丙三人 甲乙二人体重之和是98千克 乙丙二人体重之和是112千克 甲丙二人体重之和是110千克 求三个人体重各多少 分析 2 甲 乙 丙 98 112 110 10 二 借力学习 杨振宁 好风凭借力追随名师 扬长避短学习的 三妙法门 1 反复朗读 不怕丢丑 2 多看多听 坚持渗透性学习 3 取 箱子 之长 补 木板 之短 11 借力思维问题甲与问题乙很类似 借用解决问题乙的办法 来解决问题甲 这种思考方法叫借力思维或迁移思维 12 例1 甲 乙两袋大米共重88千克 已知甲袋大 大米个重多少千克 米的 与乙袋大米的 一样多 求甲 乙两袋 甲袋大米 等于 乙袋大的 说明甲乙的关系是甲 乙 6 5再用比例分配得 13 例2 李老师为学校购买音乐器材 他带去的钱可以买10台手风琴或50把提琴 如果他买了6台手风琴后 把剩下的钱全部买提琴 可以买多少把提琴 分析 如果把李老师一共带的钱看作1 则每台手风琴的单价是 每把提琴的单价是 买6台手风琴剩下的钱是 14 例3 2点到3点之间 时针与分针在什么时候重合 分析 分针是时针转速的12倍 时针是分针转速的 两针速度之差是分针速度的 解 2点整时 分针在时针后10小格 分针与时针速度之差是分针速度的 两针重合的时刻就是分针追上时针的时刻 15 例4 在4点到5点之间 时针与分针何时成直角 分析 4点时 分针在时针后20小格 两针成直角时 分针与时针之间相差15小格 这是有两种情况 由此得到如下解法 解 1 分针在时针后15小格 这种情况分针要比时针多走 20 15 小格 2 分针在时针前15小格 这种情况分针要比时针多走 20 15 小格 16 例5 小红晚8点多钟开始做家庭作业 当时时针和分针正好在一条直线上 成180度 小红做完作业又看了看钟表 此时时针和分针正好第一次重合 小红做完作业共用了多少时间 分析 时针和分针正好在一条直线上 此时分针与时针之间的差距必定是30个分格 分针 追上 时针的时间就是小红做完作业的时间 17 三 循序渐进 巴浦洛夫 1学习一定要有耐心要想学习有所成效就必须做到 开始学习时要有决心 碰到困难时要有信心 研究问题时要有钻心 反复学习时要有耐心 深入学习时要有恒心 2每天都要进步3观察观察再观察 18 通过观察 对知识有了表象的认识 使动手实践自主探索的前提 同时又是循序渐进掌握知识的前提和基础 观察的方法 1 有序观察法2 数形结合观察法3 抽样观察法4 实验观察法 19 观察时注意 1 要明确观察的目的 例如 观察下面各组图形 哪些组中的两条路线互相垂直 可用什么方法进行检验 4 3 1 2 20 2 学会用 整体 部分 整体 的方法观察事物 3 引导学生抓住观察对象的特点 找到思考问题的着眼点 21 4 多角度进行观察 8 5 12 12 22 观察不是目的 观察是一种求知的过程 因此不要为了观察而观察 要善于动脑 善于总结 善于联想 案例 牛顿 观察联想的途径 1从概念上联想 例1 在 中 填入适当的整数 使下列等式成立 23 例2 如果A B 140 AxB 4875 那么A B A B 分析 24 2从特殊与一般的关系上联想 例3 大圆半径与小圆直径相等 小圆面积与大圆面积之比是多少 分析 设小圆的半径为1 则大圆的半径为2 25 例4 将1 9这九个自然数填入九宫图内 使每行 每列 每条对角线上三个数字之和都相等 每个数字用一次 26 例5 将19 24 29 95 100 105 171 176 181这九个数填入九宫图内 使每行 每列 每条对角线上三个数之和都相等 每个数用一次 解 27 3联想常见的解题方法 例6 有一个挂钟 每一小时敲一次钟 几点钟就敲几下 钟敲三下要两秒钟 问钟敲9下需要几秒钟 解 把钟点指数看成一棵棵的树 把敲的时间看成树的株距 28 例7 一个两位数 十位数与个位数的和是9 把十位数字与个位数字交换位置后所成的新数与原数的比是5 6 求原数 解 29 4 从数与形的结合上联想 例8 某人从甲地经乙地去丙地 当走了半个小时之后 停下来休息10分钟 休息时 人们对他说 从甲地到这儿正好是这儿到乙地的路程的一半 休息之后 他加快步伐走12千米 当他停下来问路时 才知道他已到了乙 丙两地之间且离丙地的路程只有到乙地的路程的一半 问甲丙两地相距多远的路程 30 例9 早晨8点多钟 有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去 两辆汽车的速度都是每小时60千米 8点32分的时候 第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车离开化肥厂的距离3倍 到了8点39分时 第一辆汽车离开化肥厂的距离第二辆汽车离开化肥厂的距离2倍 那么 第一辆汽车8点几分离开化肥厂的 31 四 发展求异思维 理查德费曼 求异思维是创新的源泉 简而言之 就是要 见人之未见 思人之未思 行人之未行 标新立异是一种创新 它蕴藏着灵性和创造1别在乎别人怎么想2思考要独辟蹊径 发散思维 克服思维定势 3学习讲究理解 32 思考问题时要独辟蹊径 不墨守成规 追求标新立异例 比较分析 最小公分母 11x15x29x89 425865最小公分子为96 33 34 35 发散思维 例1 小芳期中考试语文得82分 数学比语文多得5分 那么外语考试多少分 三科平均成绩才能达到89分 思路1 要使三科平均成绩才能达到89分 三科总分为89分的3倍 把三科总分减去数学和语文成绩 就是外语应考成绩 36 例1 小芳期中考试语文得82分 数学比语文多得5分 那么外语考试多少分 三科平均成绩才能达到89分 思路2 要使数学和语文平均成绩达到89分 必须从外语中拿出7分给语文 从外语中拿出2分给数学 那么外语成绩一定要比平均成绩多 7 2 9分 37 例1 小芳期中考试语文得82分 数学比语文多得5分 那么外语考试多少分 三科平均成绩才能达到89分 思路3 把 总数量 三科成绩之和 除以总份数 3门功课 等于平均成绩89分 作为等量关系 列方程解答 38 例2 一列火车6小时行360千米 照这样的速度 火车12小时行多少千米 思路分析一 用归一法解 先求火车1小时行多少千米 再求12小时行多少千米思路分析二 用倍比法解 先求12小时是6小时的几倍 360千米乘以求得的倍数就是行12小时的路程 39 思路分析三 用比例解 因速度一定 所以路程和时间成正比 思路分析四 按 6小时的速度与行12小时的速度相等 为等量关系 列方程解 40 思路分析五 用分数解 6小时是12小时的一半 360千米相当于火车12小时所行路程的一半 用除法可以求出火车12小时所行的路程 41 克服思维定势思维定势是由人们长期思维形成的一种思维的定向预备状态或思维习惯 例如 一班种树40棵 二班种树48棵 二班种树的棵数占一班的百分之几 由于思维定势 学生易把求一个数是另一个数的百分之几就是用较小的数除以较大的数 而不去思考题里的数量关系 写成40 48 其实应该是48 40 要掌握这种解题方法 提高学生的分析能力 42 例1 已知 问a与b哪个数大 较大的数大多少 43 例2 计算 44 例3 由15x8个边长为1的正方形组成的长方形 求三角形ABC的面积 45 例3 由15x8个边长为1的正方形组成的长方形 求三角形ABC的面积 46 例4 ABCD是边长为4的正方形 EFGD是长边DG 5的长方形 G点在正方形的一边上 A点在长方形的一边EF上 试求长方形的短边DE的长 47 例5 甲 乙两人卖菜 甲每天卖60千克 每千克0 8元 乙每天卖40千克 每千克0 6元 一天甲有事 把菜交给乙代卖 乙把两种菜混合卖 以每千克0 7元全部卖掉 得70元 分钱时 发现钱少了两元 因为甲应得48元 乙得24元 那么为什么少2元 菜混合后的单价是多少 分析 每千克0 7元是两种菜单价的平均数 而不是菜混合以后的单价 解 48 变更思维把问题进行适当的变更来解决问题的方法例1计算1990 x198 9 1989x198 8 199x1989 1989x198 8 1989x 199 198 8 1989x0 2 397 8 49 2020 2 8 50 例2一个小组六位同学30秒钟里跳绳分别是78次 76次 72次 73次 71次 74次 你能很快说出它们的平均数吗 解 51 例3妈妈让海燕去商店买4袋酱油和5袋醋 供需8 6元 结果海燕买成5袋酱油和4袋醋 于是余下0 1元钱 问酱油和醋每袋各多少钱 52 例4某校有学生465人 其中女生比男生的少20人 那么男生比女生少多少人 53 54 逆向思维例1在一次乒乓球比赛中 64名运动员争夺单打冠军 比赛采用淘汰制 胜者进入下一轮比赛 问一共要进行多少场比赛才能决出冠军 一共有 32 16 8 4 2 1 63 一般解法 解 因比赛采用淘汰制 每场比赛要淘汰一名运动员 要淘汰一名运动员就得进行一场比赛 而且最后只产生一名冠军 所以一共要淘汰64 1 63 人 而要淘汰63人 就要进行63场比赛 55 例2 一个数是5个2 3个3 2个5 1个7的连乘积 这些两位数的约数中 最大的是几 解 从最大的两位数99开始考虑99 3x3x11 其中11不是原数的约数 所以99不是原数的最大约数98 2x7x7原数的约数只有一个7 所以98也不是原数的最大约数 97不能被2 3 5 7 整除 与原数互质 96 3x2x2x2x2x2 96是原数的最大约数 56 例3 甲 乙 丙三人共有糖192块 第一次甲把自己的糖分给乙 丙二人 谁有多少就分给谁多少块 第二次乙把自己的糖分给甲 丙二人 也是谁有多少就分给谁多少块 第三次丙用同样的方法把糖分给甲 乙二人 最后三人的糖块数正好相等 问他们原有各有多少糖块 解 57 58 例4 红星小学的一次数学竞赛 共有10道题 每做对一道题得8分 每做错一道题倒扣5分 小明得41分 他做对了几道题 解 假若小明10道题都答对了 应得10 x8 80 分 但他实际得了41分 一共失了80 41 39 分 又知每做错一道题不仅不给分 还要倒扣5分 即每做错一道就失掉5 8 13 分 由此就能求出他答错了3道题 10 3 7 道题 答 小明答对了7道题 59 例5 小猴子采来一批桃子 它吃掉一半 觉得不够 又吃了一只 第二天吃掉了差一只就是剩下的一半 第三天把剩下的一半吃了又多吃了一只 结果最后剩下一只桃子 问猴子采了多少只桃子 第三天原有 1 1 x2 2只第二天原有 4 1 x2 6只第一天原有 6 1 x2 14只 60 五 趣味性学习 伊伦居里 1培养学习的兴趣2在游戏中学习先来做游戏 两人坐在一张长方形桌旁 相继轮流在桌上放同样大小的硬币 硬币一定要平放桌面上 后放的硬币不能压在先放的硬币上 这样继续下去 最后桌面上只剩下一个位置时 谁放下最后一枚 谁就获胜 61 进退思维的方法 例1 育红小学为了保障学生的安全 在靠校门一侧的公路旁建造栏杆 已知每隔2米竖一根水泥柱 共竖25根水泥柱 问栏杆有多长 栏杆长 两根水泥柱间距离 x 水泥柱数 1 62 例2 一只青蛙在一个30米深的井底 他沿井壁每跳一次能跳3米高 但当休息时 又沿井壁滑下2米 如果每次都跳一下 休息一会儿 为跳几次能跳到井口 解 井深4米时 跳2次就到井口井深5米时 跳3次就到井口 井深6米时 跳4次就到井口 井深30米时 跳28次就到井口 63 例3 有1000个1组成的千位数除以3 余数是几 64 解 作周期表 再由算式找到第一千位数的余数在周期表的位置 即在第334个周期的第一个数上 所以一千个1组成的数除以3 余数是1 65 例4 解奇数字个数1x9 9111x99 1089211x999 11088931111x9999 11108889411111x99999 111108888951111111111x999999999910 66 例5 盒中原有7个球 一位魔术师从中任取几个小球 把每一小球都变成7个小球 将其放回盒中 他又从盒中任取一些小球 把每一小球都变成7个小球后放回盒中 如此进行 到某一时刻魔术师停止取球时 盒中球的总数可能是 A1990个 B1991个 C1992个 D1993分析 设每次都只从盒中拿一个小球变魔术 第一次变魔术后盒中就应有 7 6 个球 第二次变魔术后盒中就应有 7 6 6 个球 第三次变魔术后盒中就应有 7 6x3 个球 第n次变魔术后盒中就应有 7 6n 个球 67 例6 在操场上 画50条直线 它们最多会有多少个交点 分析 68 六 灵感源于生活 海明威 平凡而不平凡 平静而又瞬息万变的生活 至善至美的大自然 初升的太阳 绚丽的晚霞 雨后的彩虹 雾中的塔影屋宇 家乡的青山秀水 甚至那砸向屋顶庄家的冰雹 席卷大地的狂风 无不让激动 震惊 现实生活是源头活水 生活中的一切时间和空间都能成为学习的课堂 关注生活 认清事物的本质 就能从生活中之水中激起灵感的浪花 69 极端思维 例1 下面九个分数算式中 哪一个值最小 值是多少 70 例2 有一块菜地长37米 宽25米 菜地中间留了1米的路 路把菜地分成四块 菜地的实用面积是多少 71 例3 个位上的数字是4 且能被3整除的六位数共有多少个 分析 先写出其中最小的几个 100014 100044 100074 在写出它们中最大的几个 999984 999954 999924 可看出它们相邻的两个数之间都相差30 72 例4 青年路小学六年级某班45名共给 山里娃 捐书210册 已知捐书最少的同学捐出3册 又知最多有11名同学捐书相同 试问捐书最多的同学可能捐书多少册 分析 要使捐书最多的同学尽可能多捐 就必须把其他同学推到捐书尽可能少的那个 极端 上去 根据题目所说 捐书最少的同学捐出3册 又知最多有11名同学捐的书相同 我们就让11个人3册 11个人4册 11个人5册 11个人6册 一共是44人 剩下的当然就是捐书最多的了 解 210 3 4 5 6 x11 12 册 答 捐书最多的同学可能捐书12册 73 例5 已知 求S的整数部分 74 灵感顿悟 例6 以任意三角形的三个顶点为圆心 作半径为1厘米的圆 求三角形阴影部分的面积 75 例7 龟兔进行10000米赛跑 兔子的速度是龟的速度的5倍 当他们从起点一同出发后 龟不停地跑 兔子跑到某一地点开始睡觉 兔子醒来时 龟已经领先它5000米 兔子奋起直追 但龟到达终点时 兔子仍落后100米 那么兔子睡觉时间龟跑了多少米 解法一 假设兔子不睡觉 当龟跑完全程10000米时 兔子应跑50000米 但实际上只跑10000 100 9900 米 少跑50000 9900 40100 米 这40100米正是兔子睡觉所耽误的路程 因此兔子睡觉期间龟跑了40100 5 8020 米 76 解法二 假设兔子一次性跑到离终点100米处再睡觉 此时兔子跑了10000 100 9900 米 龟跑了9900 5 1980 米 剩下10000 1980 8020 米 这应是在兔子睡觉期间龟跑的路程 灵感思维 77 收缩思维运用所学过的数学知识 通过推理分析 逐步收缩所求答案的可能范围 从而解决问题的思维方法例1在54这个三位数的内填入一个数字 使这个数既能被2整除 又能被3整除 78 例2小马虎计算13个自然数的和的平均数的近似值答案是12 43 老师指出百分位上的有效数字错了 小马错在哪里 正确答案是多少 分析 有错的近似值12 43知这个平均值介于12 40与12 49之间 79 例35kg大米的价钱相当于0 8kg食油的价钱 如果2元钱可买2 5kg的大米 那么8元钱可买多少千克的食油 解 把2元钱买2 5kg的大米这一条件放大4倍 可知8元钱可买10千克大米 因为5kg大米的价钱相当于0 8kg食油的价钱 所以10kg大米的价钱可买食油0 8x2 1 6 千克 答 8元钱可买食油1 6千克 80 例4鸡兔同笼 共头48个 共足114只 问鸡兔各多少只 81 分类思维依某种规律 把一个较复杂的问题分解成若干类 从而使原问题获得解决的方法例某人从甲地到乙地 可以乘飞机有2趟班机 可以乘火车有3趟列车 可以乘汽车有5趟班车 那么从甲地到乙地可以有多少种不同的走法 82 七 创造性学习 爱因斯坦 1凡事用脑去思考用大脑的思维能力和智慧去解决问题通过思索将知识化为方法和智慧 这才是真正的学习能力2想象力比知识更重要知识是有限的 而想象力概括着世界上的一切 推动着进步 并且是知识进化的源泉培养自己的业余爱好 使自己成为一个全面的人 同时业余爱好也可以丰富人生 83 3追随好奇心好奇心是探索的源头 是对新事物的敏感和探求 任何人不要约束和打击好奇心 科学的发展就是好奇心的产生 摆脱 再产生再摆脱的过程 善于好奇又善于转为不足为奇 善于提问题又善于解决问题这是科学应具备的 84 案例一个小学生的偶然发现 4 5 6的和能被3整除 6 7 8 9 10的和能被5整除 即奇数个连续正整数的和必能被该奇数整除 85 又如 1 3 2 1 3 5 3 1 3 5 7 4 其几何模型是 86 4主动探究 自主学习自主学习是指学习者在学习活动中表现出来的强烈求知欲 会合理安排自己的学习活动 善于运用科学的方法独立学习 有刻苦钻研的精神 并能由自我评价的能力或说自主学习是指学生学习过程中的内在品质 即自我导向 自我激励 自我监控的学习 87 案例 有余数的除法 妈妈买回了8个苹果 现在把这些苹果装进盘子里 每一盘4个 算一算可装几盘 1 添加一个苹果 问现在可装几盘 还剩几个 请你摆一摆 2 再添加一个苹果 问现在可装几盘 还剩几个 请你摆一摆 3 把苹果的个数变成11 12 13 14 15个 问现在可装几盘 还剩几个 会出现什么情况 88 89 1 发挥主观能动性查尔斯 汤斯给中国学生提出的最大忠告 少背诵 多思考 除了学习扎实的知识 更重要的是用自己的眼睛学习问题 用自己的手去寻找 由被动学习向主动学习的转变需做到 养成遵守约定的习惯 学会自我管理 养成专注敏捷的习惯 学会高效思维 养成独立思考的习惯 学会理性判断 养成主动求