平板开小圆孔应力集中的三维有限元分析.pdf

第 30 卷 第 3 期 2003 年 北 京 化 工 大 学 学 报 JOURNAL OF BEIJING UNIVERSITY OF CHEMICAL T ECHNOLOGY Vol 30 No 3 2003 平板开小圆孔应力集中的三维有限元分析 黄炳臣 冷纪桐 北京化工大学机电工程学院 北京 100029 摘 要 针对经典的弹性力学中平板开小圆孔问题 采用有限元方法 把平板开孔问题视为三维应力状态 考虑在 Z 向的应力变化 给出了平板开孔问题各应力在孔边应力集中区域沿厚度的变化情况 并且探讨了所开圆孔的大 小对应力集中的影响 关键词 平板开小圆孔 应力集中 有限元分析 中图分类号 O343 2 收稿日期 2002 07 19 第一作者 男 1974 年生 硕士生 E mail huangbingchen 163 com 引 言 平板开小圆孔的应力集中问题是实用工程领域 中一个较为常见的问题 也是弹性力学平面问题的 一个经典问题 在平面问题中 只考虑三个应力分 量 忽略其在厚度方向上的变化 推导出理论公式 从工程实用角度上说 这不失为一种化繁为简的好 方法 因此得到了广泛的应用 但是这种提法从三维 理论来看是近似的 本文应用三维有限元模型 分 析了开小圆孔的方平板受单向拉伸时孔边的应力情 况并与二维理论的计算结果对比 1 板开孔问题的数值分析 111 模型的描述 本算例中所采用的材料假设其杨氏弹性模量为 E 2 105MPa 泊松比为 L 013 模型的基本尺 寸为 板厚 d 为 01015m 板的大小为 014m 014 m 圆孔开在板的正中央 半径 R 取五种尺寸 分别 为 01012 0101 01007 01004 01003m 应用 ANSYS 计算程序 三维分析时采用 SOL ID186 号三维体单元 它由 20 个节点定义而成 在 进行二维分析时采用 4 节点的 PLANE42 号平面单 元 为了减少计算量 考虑到所分析的实体是一个 对称结构 故可以采用四分之一结构 在左侧面 A 限制其在X 轴方向 水平向右 上的位移 在底侧面 B 上限制其在 Y 轴方向 垂直向上 的位移 拉力 施加在右侧面 C 上 大小为 0105MPa 网格采用规则的六面体单元划分 由于在孔的 周围会出现应力集中 而且这里也是要重点研究的 地方 故在其周围设置单元的总体尺寸为 01005m 在沿开孔圆的边缘圆弧上划分成 14 份 其余部分的 单元总体尺寸设置为 01008 m 由于需要研究在板 厚方向上的应力分布情况 故在板的厚度方向上把 板分成 5 层单元 图 1 显示的是平板开小圆孔的有 限元模型 图 1 平板开圆孔的有限元模型 Fig 1 FEA model of the plat with a small circle hole 112 分析数值模拟的结果 对于 Rx 在考虑厚度方向应力的情况下 它沿 厚度方向的分布并不是均匀的 其最大值出现在 A 面与圆孔边的交接处 位于厚度的中间位置上 最小值出现在 B 面与圆孔边的交接处 也位于板厚 的中间位置 可以看出对于平板开孔问题 在考虑 厚度方向应力的影响后 沿板厚方向上应力 Rx的值 存在较大的差异 针对一个具体的算例 R 0101 m 厚为 01015m 的平板 在最大应力区域沿厚度 方向上 最大的 Rx值为 01142 974 MPa 最小的 Rx 值为 01127287MPa 后者是前者的 89 应力 Rx的集中效应随着开孔半径的变化而发 生变化 由图 2 所示 应力 Rx集中的效应随着开孔 图 2 在不同开孔半径条件下 Rx在其集中区域 沿板厚的分布情况 Fig 2 Distribution of the stress Rxin its concentration dis trict along the thickness of the flat for different ra diuses 半径的减小而呈减小的趋势 对于本文中的算例 当开 孔 半径 R 01012 m 时 Rx的 最大 值 为 01146280MPa 当 R 01003 m 时 最大应力值为 01111995MPa 后者是前者的 7516 依据经典的 弹性力学把平板开孔问题视为平面问题进行求解 求得最大 Rx结果应该是所施加的载荷 3倍 1 即为 0115MPa 跟理论解存在一定的差距 尤其是当开 孔半径进一步减小时 这种差距会更加明显 把平 板开小圆孔问题视为二维问题进行求解 对于半径 为 01012 0101 01007 01004 01003m 得到 Rx数值 解的最大值分别为01146861 01144463 01137454 01119068 01110731MPa 对于 Rx 在应力集中区域沿厚度方向上 两个 表面处的应力值要小于它在厚度中央位置处的应力 值 对于一个具体的例子 当开孔半径 R 01012m 时 表面处的应力值为 Rx 01132668Pa 而在中央 位置处的应力值为 Rx 01146280Pa 前者是后者的 90 左右 同时 随着开孔半径的变化 出现 Rx最 大值的位置是不同的 在算例中对于开孔半径大于 01004m 的平板 最大的应力发生的区域是在板厚 的正中间位置 当开孔半径小于或等于 01004m 时 产生应力最大值区域已经偏离了板厚的中间位置 图 2 显示了 5 种开孔半径平板在应力集中区域随厚 度的变化情况 以及用平面理论进行理论求解所得 结果的比较 通过分析 在 A 面与圆孔边缘的交接 处是各种应力较为集中的区域 应该重点加以考虑 表 1 给出了在该区域一点 Rx为最大值 处的应力 值 表 1 Rx为最大值一点处的应力 T able 1 Stress in the point where the stress Rxis max R m Rx PaRy PaRz PaRyz PaRyz PaRxz Pa 0101214628055107152 311707 1771034 01182343 010114297470469001 391246 1981546 01343991 01007136869943613425 53148 1471012 11234 010041225791258011557 63134 7751803 01773321 010031119951347018864 76169 133154 11947 对于 Ry 应力正值所出现的位置在 A 面与圆孔 的交界处 应力负值所出现的位置是在 B 面与孔 边的交界处 就其数值来说 负值应力比正值应力 要大 故主要考虑存在负值应力的区域 在考虑了 Z 向应力的影响后 它沿厚度方向的分布出现较大 变化 针对一个具体的算例 R 0101 m 厚为 01015m 的平板 在最大应力区域沿厚度方向上 最大应力值为 01046 171 MPa 最小应力值为 01030467MPa 前者是后者的 115 倍 若把平板开 小圆孔问题视为平面问题进行数值求解 对于半径 为 01012 0101 01007 01004 01003m 得到 Ry数值 解的最大 值分别 为 01044308 0101042134 01036245 01023991 01019656MPa 对于 Ry 应力值随着开孔半径减小而减小 算 例中 当开孔半径 R 01012 m 时的应力最大值为 01048369MPa 而 R 01003m 时的最大应力值 为 01026356MPa 前者几乎是后者的两倍 把该 值与不考虑厚度方向应力的影响 把平板开孔问题 视为平面问题的理论解 0105MPa 相比较 也存在 一定的差距 尤其是当开孔半径进一步减小时 这种 差距会更加明显 同时 在沿厚度方向上 Ry的值 在中央位置上仍然要比它在两个表面上的值大 并 且差别相当大 对于算例 R 01012m 中央位置的 应力值是表面处值的 7118 图 3 为 5 种开孔半 64 北 京 化 工 大 学 学 报 2003年 径的平板在应力集中区域 Ry随厚度变化的曲线 图 3 在不同开孔半径条件下 Ry在 其集中区域沿板厚的分布情况 Fig 3 Distribution of the stress Ryin its concentration dis trict along the thickness of the flat for different ra diuses 对于应力 Rz 它产生的应力集中效应主要是集 中在 A B 两个面与圆孔相交位置的附近区域 它 在前者处产生的为正值应力 而在后者处产生的为 负值应力 两者值的大小以及沿板厚方向上的分布 基本上相同 在板的其他位置处 它以负值应力的 形式存在 且应力很小 故可以只研究正值区域 图 4 在不同开孔半径条件下 Rz在 其集中区域沿板厚的分布情况 Fig 4 Distribution of the stress Rzin its concentration dis trict along the thickness of the flat for different ra diuses Rz在孔边的集中情况 跟平板上开圆孔直径的 大小是直接相关的 随着开孔半径的减小 应力集 中的程度在增大 例如对于本研究中采用的 R 01012m 和 R 01003m 的两个开孔平板 后者的最 大应力值 01018 864 MPa 是前者最大应力 01007 152MPa 的两倍多 同时可以看到处于板厚中央 位置的应力是表面处应力的数倍之多 图 4 显示了 Rz为正值时在集中区域上应力沿厚度方向上的分 布情况 对于应力 Rxy 在整个开孔平板上 应力 Rxy除了 在极小的区域以很小的正值应力存在外 其他都以 负值应力的形式存在 在应力集中区域 沿厚度方 向 Rxy仍然存在着变化 但是这种变化较 Rx Ry沿厚 度的变化要小的多 见图 5 图 5 在不同开孔半径条件下 Rxy在应力 的集中区域沿板厚的分布情况 Fig 5 Distribution of the stress Rxyin its concentration dis trict along the thickness of the flat for different ra diuses 对于在同一板厚的情况下 开孔半径的大小对 Rxy的集中效应也会产生较大的影响 开孔半径越 小 Rxy值越小 对于应力 Rxz 在平板上是以一个较小的负值应 力存在 在开孔的圆周边缘上出现了两个应力集中 的区域 这两个区域分别是负值应力和正值应力集 中区域 它们对称于平板的中面 分布在圆孔边缘 的中间位置 对于一定厚度的开圆孔平板 开孔半径的大小 对 Rxz应力集中情况也会产生一定的影响 随着开 孔半径的减小 应力 Rxz有进一步集中的趋势 图 6 显示了 Rxz在 5 种开孔半径下沿厚度方向的变化曲 线 对于应力 Ryz 其在平板上以一个较小的负值应 力存在 在开孔的圆周边缘上出现了两个应力集中 的区域 这两个区域分别是负值应力集中区域和正 值应力集中区域 这两个区域对称于平板的中面 应 力大小也对应相等 Ryz的分布与 Rxz的分布很类似 只是正负区域发生了颠倒 对于一定厚度的开圆孔平板 开孔半径的大小 会对 Ryz的应力集中情况产生一定的影响 随着开孔 半径的减小 应力 Ryz有进一步集中的趋势 图 7 显 示了 Ryz在 5 种开孔半径下在它的集中区域沿厚度 方向的变化曲线 65 第 3 期 黄炳臣等 平板开小圆孔应力集中的三维有限元分析 图 6 在不同开孔半径条件下 Rxz在其 中区域沿板厚的分布情况 Fig 6 Distribution of the stress Rxzin its concentration dis trict along the thickness of the flat for different ra diuses 图 7 在不同开孔半径条件下 Ryz在其 集中区域沿板厚的分布情况 Fig 7 Distribution of the stress Ryzin its concentration dis trict along the thickness of the flat for different ra diuses 第一主应力 R1的分布与 Rx有相同之处 基本 上是集中在圆孔的边缘处 最大值在 A 面与圆孔 边的交接处 最小值在 B 面与圆孔边的交接处 同 时在沿平板的厚度方向上第一主应力也存在一定的 变化 它沿厚度的中面对称分布 在应力集中区域 第一主应力在自由表面处的应力值要小于它在板厚 中央位置处的应力值 同时 随之开孔半径的减小 第一主应力呈减小的趋势 见图 8 对于 Mises RM应力 它沿板厚的分布也类似于 Rx的分布 见图 9 它沿板厚方向上的分布也是对 称的 其最大值位于 A 面与圆孔边缘的交接处 在 应力集中区域沿厚度方向上 两个表面处的值要小 于它在厚度中央位置处的值 对于一个具体的例 子 当开孔半径 R 01012m 时 表面处米赛斯应力 值 为 01130379MPa 而 在 中 央 位 置 处 的 值 为 0114628MPa 前者是后者的 93 左右 图 8 在不同开孔半径条件下 R1在其 集中区域沿板厚的分布情况 Fig 8 Distribution of the stress R1in its concentration dis trict along the thickness of the flat for different ra diuses 图 9 在不同开孔半径条件下 Mises应力 在其集中区域沿板厚的分布情况 Fig 9 Distribution of the stress Mises in its concentration district along the thickness of the flat for different radiuses 2 结 论 1 各个应力集中的趋势随着开孔半径的变化 会产生变化 Rx Ry Rz的集中程度随着开孔半径的 减小有进一步减小的趋势 Rz Rxz Ryz的集中则随着 开孔半径减小有进一步增大的趋势 2 在各应力集中区域上 平板表面处的应力 值要比其在板厚中央位置处的应力值小 3 从 Mises RM应力看来 若发生屈服 应该 从板的中央位置开始 参考文献 1 杨桂通 弹性力学 M 北京 高等教育出版社 1998 下转第 70 页 66 北 京 化 工 大 学 学 报 2003年 效的抑制高频颤动 且对模型的不确定性和外部扰 动具有较强的鲁棒性 此外 模糊控制的输出可以 用解析式表示 参考文献 1 傅 春 谢剑英 模糊滑模控制研究综述 J 信息与 控制 2001 30 5 434 455 2 Choi Seung Bok Kim Myoung Suk New discrete time fuzzy sliding modecontrol withapplicationtosmart structures J Journal of Guidance Control and Dy namics 1997 20 5 857 864 3 Slotine J E Adaptive sliding control synthesis for nonlin ear system J Int J Control 1986 43 6 1631 1651 Fuzzy sliding mode control for a class of nonlinear systems SUN Jing LI Hong guang College of Information Science and Technology Beijing University of Chemical Technology Beijing 100029 China Abstract A scheme of fuzzy logic based the continuous sliding mode control for a class of nonlinear systems in the presence of uncertainties was developed Since the proper fuzzy logic control was applied the chattering phe nomenon which is inherent to a sliding mode control was avoided by smoothing the switch signal Simulation re sults show that the control system exhibits strong robustness against uncertainties and external disturbances of the system model Key words fuzzy control sli