偏微分方程分类.pdf

1 目的 从数学上表示出二阶线性偏微分方程 的共性与差异 目的 从数学上表示出二阶线性偏微分方程 的共性与差异 一 二阶线性偏微分方程的分类一 二阶线性偏微分方程的分类一 二阶线性偏微分方程的分类一 二阶线性偏微分方程的分类 二 两个自变量的二阶方程的化简二 两个自变量的二阶方程的化简二 两个自变量的二阶方程的化简二 两个自变量的二阶方程的化简 三 两个自变量二阶常系数方程三 两个自变量二阶常系数方程三 两个自变量二阶常系数方程三 两个自变量二阶常系数方程 设为自变量 二阶线性偏微分方程的形状 设为自变量 二阶线性偏微分方程的形状 11122212 2 xxxyyyxy a ua ua ububucuf x y 其中是关于在区域其中是关于在区域 上 的实值函数 且连续可微 上 的实值函数 且连续可微 11122212 aaab b c f x y 12 2 11 22 0 aa a 若在区域若在区域 上某点上某点 00 xy 则称则称 11122212 2 xxxyyyxy a ua ua ububucuf 在点为双曲型的 在点为双曲型的 00 xy 12 2 11 22 0 aa a 若在区域若在区域 上某点上某点 00 xy 则称则称 11122212 2 xxxyyyxy a ua ua ububucuf 在点为抛物型的 在点为抛物型的 00 xy 12 2 11 22 0 aa a 时 方程称为双曲型 时 方程称为双曲型 0 时 方程称为抛物型 时 方程称为抛物型 0 方程 3 和 4 的右端是相异的实值 故积分曲线为 两族不同的实曲线 依次表示为 方程 3 和 4 的右端是相异的实值 故积分曲线为 两族不同的实曲线 依次表示为 11 x yc 及及 22 x yc 令令 1 x y 2 x y 则则 1122 0 0aa 5 5 12 0 a 1x 122 yxy 假设 及不同时为零 则变换 5 是可逆的 且 其中 假设 及不同时为零 则变换 5 是可逆的 且 其中 12 12 1 2 fb ub ucu a 方程 2 可以化为双曲型方程的第一标准形式方程 2 可以化为双曲型方程的第一标准形式 uu uu 6 6 在方程 6 中再作自变量变换在方程 6 中再作自变量变换 1 2 st 1 2 st 方程可以化为另一种标准形式方程可以化为另一种标准形式 1 ssttst uus t u u u 12 222 1122 0 0 0 aa ax yxy 将方程化为标准形式 将方程化为标准形式 22 0 xxyy y ux u 当当0 0 xy 时 方程为双曲型的 其特征方程为时 方程为双曲型的 其特征方程为 2 22 0 d d d d y yx x 从而有从而有 d d d d yx xy d d d d yx xy 积分得两族积分曲线积分得两族积分曲线 22 1 11 22 yxc 22 2 11 22 yxc 作变换作变换 22 11 22 yx 22 11 22 yx 代入方程化简得代入方程化简得 2222 2 2 uuu 抛物型偏微分方程的化简抛物型偏微分方程的化简 12 2 11 22 0 aa a 方程 3 和 4 重合 故得到方程 a 一个一般积分方程 3 和 4 重合 故得到方程 a 一个一般积分 1 x yc 令令 1 x y 2 x y 又又 1112 0 0aa 22 一般选取使得和是函数无关的 1 1 2 0 1111222 11221122 xxxyyxyy xyxy aaaa aaaa 12 2 1122 0 aa a 12 1122 aa a 这是因为这是因为 所以所以 则由则由 可得可得 2 0 22 11111222 1122 2 xxyy xy aaaa aa 得抛物型方程的标准形式得抛物型方程的标准形式 uu uu 其中其中 12 22 1 fb ub ucu a 12 22222 1122 0 aa ax yx y 将方程化为将方程化为 22 20 xxxyyy x uxyuy u 方程为抛物型的 其特征方程为方程为抛物型的 其特征方程为 d d d d yy xx 标准形式 积分得 标准形式 积分得 y c x 作变换作变换 y x x 代入方程化简得标准方程代入方程化简得标准方程 0 0 ux 椭圆型偏微分方程的化简椭圆型偏微分方程的化简 12 2 11 22 0 aa a 时 方程为椭圆型的 时 方程为双曲型的 当 时 方程为椭圆型的 时 方程为双曲型的 当0y 内 化为内 化为 0 diddidxy y 因此得因此得 3 2 2 3 i ixyc 作变换作变换 x 3 2 2 3 y 原方程化为原方程化为 1 3 uuu 作变换作变换 在双曲型区域在双曲型区域 0y 内 特征方程为内 特征方程为 0 ddddxy y 因此得因此得 3 2 2 3 xyc 3 2 2 3 xy 3 2 2 3 xy 原方程化为原方程化为 1 6 uuu 如果方程 的符号 通过变换 方程可以化为以下三种形式 的系数全部是常系数 按照 如果方程 的符号 通过变换 方程可以化为以下三种形式 的系数全部是常系数 按照 11122212 2 xxxyyyxy a ua ua ububucuf 12 2 11 22 aa a 双曲型 双曲型 1111 ua ub uc uf 或或 2222 uua ub uc uf 抛物型 抛物型 3333 ua ub uc uf 椭圆型 椭圆型 444 uua ub uc uf 三类方程中的系数均为常数 三类方程中的系数均为常数 弦振动方程弦振动方程 2 0 ttxx ua u 特征方程为特征方程为 222 0 ddddxa t 故特征直线为故特征直线为 1 xatc 2 xatc 作变换作变换 xat xat 弦振动方程化为弦振动方程化为0 u 判断方程的类型并化为标准形式的步骤 1 按判断方程的类型 判断方程的类型并化为