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函数的奇偶性 自学提纲 1什么是奇函数 2什么是偶函数 3奇函数 偶函数的图像各有什么样的对称性质 设函数y f x 的定义域为D 对D内的任意一个x 都有 x D 且f x f x 那么f x 就叫做奇函数 设函数g x 的定义域为D 如果对D内的任意一个x 都有 x D 且g x g x 那么g x 就叫做偶函数 函数的奇偶性 g x x2 x x y 2 4 2 4 g 2 g 2 由于 X 2 X2 所以g x g x g 1 g 1 1 1 1 1 偶函数的图像关于y轴对称 f x x3 x y 1 1 1 1 f 1 f 1 由于 X 3 X3 所以f x f x 奇函数的图像关于原点对称 3 奇偶函数图象的性质 1 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么就称这个函数为奇函数 2 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么就称这个函数为偶函数 例 已知函数y f x 是偶函数 它在y轴右边的图象如下图 画出在y轴左边的图象 解 画法略 已知函数y f x 是奇函数 它在y轴右边的图象如下图 画出在y轴左边的图象 设函数y f x 的定义域为D 对D内的任意一个x 都有 x D 且f x f x 那么f x 就叫做奇函数 设函数y g x 的定义域为D 如果对D内的任意一个x 都有 x D 且g x g x 那么g x 就叫做偶函数 函数的奇偶性 奇偶函数的共同特点 定义域关于原点对称 判断函数奇偶性的先决条件 注意 定义域关于原点对称 反之亦然 若f x 为奇函数 则f x f x 有成立 若f x 为偶函数 则f x f x 有成立 本课小结 1 两个定义 当f x 定义域关于原点对称 如果f x f x f x 为奇函数如果f x f x f x 为偶函数 2 两个性质 一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称 小结 用定义判断函数奇偶性的步骤 先求定义域 看是否关于原点称 再判断f x f x 或f x f x 是否恒成立 课堂练习 判断下列函数的奇偶性 课堂练习 若f x 是定义在R上的奇函数 当x0时 x 0 因当x 0时f x x 1 x 则f x x 1 x 又f x 为奇函数有f x f x 所以 f x x 1 x 则f
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