（江苏专用）2020版高考数学总复习第十三章第四节空间向量的应用（一）——证明平行与垂直课时作业苏教版.docx

第四节空间向量的应用(一)证明平行与垂直课时作业练1.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)已知向量a为平面ABC的法向量,且|a|=3,求向量a的坐标;(2)设M(x,y,z)是平面ABC内任意一点,求x,y,z满足的关系式.解析(1)设向量a=(x,y,z),由题意知aAB=0,aAC=0.又AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),|a|=3,所以得方程组-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,x2+y2+z2=3.解得x=1,y=1,z=1或x=-1,y=-1,z=-1.所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).(2)由题意知AM=(x,y-2,z-3),由(1)知aAM=0,不妨取向量a=(1,1,1),则x+y-2+z-3=0,即x+y+z-5=0.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1,DD1的中点,试求平面ABEF的一个法向量.解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),E0,1,12,F0,0,12,所以AB=(0,1,0),AF=-1,0,12.设平面ABEF的法向量为n=(x,y,z),则nAB=(x,y,z)(0,1,0)=y=0,nAF=(x,y,z)-1,0,12=-x+12z=0.令z=2,则x=1,y=0.所以平面ABEF的一个法向量n=(1,0,2).3.如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC的中点,若四边形ABCD是平行四边形.求证:MN平面PAD.证明取DP的中点E,连接AE,EN,则EN=12DC=12AB=AM,又ENDCAB,所以四边形AMNE为平行四边形.所以MN=AE=12AP+12AD.所以MN,AD,AP共面.又MN不在平面PAD内,所以MN平面PAD.4.(2019江苏宿迁高三模拟)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,OAB,OAC,ODE,ODF都是正三角形.(1)证明:BCEF;(2)求四棱锥F-OBED的体积.解析(1)证明:过点F作FQAD,交AD于点Q,连接QE.由平面ABED平面ADFC,知FQ平面ABED,又易知QEAD,故以Q为坐标原点,QE、QD、QF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E(3,0,0),F(0,0,3),B32,-32,0,C0,-32,32,所以BC=-32,0,32,EF=(-3,0,3).所以EF=2BC.所以BCEF.(2)易得OB=1,OE=2,EOB=60,所以SEOB=32.因为OED是边长为2的正三角形,故SOED=3,所以S四边形OBED=SOBE+SOED=332.由(1)得FQ是四棱锥F-OBED的高,且FQ=3,所以V四棱锥F-OBED=13FQS四边形OBED=32.5.(2019江苏南京、盐城、连云港高三模拟)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,A1A=AB=2,ABC=3,E,F分别是BC,A1C的中点.(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;(2)点M在线段A1D上,且A1MA1D=.若CM平面AEF,求实数的值.解析因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以A1A平面ABCD.又AE平面ABCD,AD平面ABCD,所以A1AAE,A1AAD.在菱形ABCD中,ABC=3,连接AC,则ABC是等边三角形.因为E是BC的中点,所以BCAE.因为BCAD,所以AEAD.以AE,AD,AA1为正交基底建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(3,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),E(3,0,0),F32,12,1.(1)AD=(0,2,0),EF=-32,12,1,故cos=ADEF|AD|EF|=24.故异面直线EF,AD所成角的余弦值为24.(2)设M(x,y,z),因为点M在线段A1D上,且A1MA1D=,所以A1M=A1D,即(x,y,z-2)=(0,2,-2).则M(0,2,2-2),CM=(-3,2-1,2-2).设平面AEF的法向量为n=(x0,y0,z0).因为AE=(3,0,0),AF=32,12,1,由nAE=0,nAF=0,得x0=0,12y0+z0=0.取y0=2,则z0=-1,则平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1).若CM平面AEF,则nCM=0,即2(2-1)-(2-2)=0,解得=23.6.(2018江苏无锡普通高中高三调研)在四棱锥P-ABCD中,ABP是等边三角形,底面ABCD是直角梯形,DAB=90,ADBC,E是线段AB的中点,PE底面ABCD.已知DA=AB=2BC=2.(1)求二面角P-CD-A的正弦值;(2)试在平面PCD上找一点M,使得EM平面PCD.解析(1)因为底面ABCD是直角梯形,DAB=90,所以BCAD,ADAB,BCAB.过点E作ESBC,则ESAB.又PE底面ABCD,AB平面ABCD,ES平面ABCD,所以PEAB,PEES.以E为坐标原点,EB方向为x轴的正半轴,ES方向为y轴的正半轴,EP方向为z轴的正半轴建立空间直角坐标系,则E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0,3),CD=(-2,1,0),PC=(1,1,-3).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nCD=-2x+y=0,nPC=x+y-3z=0,取x=1,则y=2,z=3,故n=(1,2,3).又平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos=nm|n|m|=31+4+3=64.因为0,所以sin=104.(2)设M点的坐标为(x1,y1,z1),因为EM平面PCD,所以EMn,即x11=y12=z13,则y1=2x1,z1=3x1.又PM=(x1,y1,z1-3),PD=(-1,2,-3),PC=(1,1,-3),所以PM=PC+PD=(-,+2,-3-3).所以x1=-,y1=+2=2x1=2(-),解得=4,z1-3=-3-3,=12,所以=18.所以M点的坐标为38,34,338.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.已知集合A=xZx-2x+20,B=y|y=x2,xA,则集合B的子集的个数为.答案8解析集合A=xZ|-2x2=-1,0,1,2,B=0,1,4,则集合B的子集有23=8个.2.若复数z=(a2+a-6)+(a-2)i为纯虚数(i为虚数单位,aR),则|z|等于.答案5解析由复数z是纯虚数得a2+a-6=0,a-20,解得a=-3,所以z=-5i,|z|=5.3.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=23,且a+b与a垂直,则a与b的夹角为.答案56解析由a+b与a垂直可得(a+b)a=|a|2+ab=0,则ab=-|a|2=-9.则cos=ab|a|b|=-963=-32.又0,所以=56.4.(2019江苏盐城中学高三模拟)一支田径队有男运动员28人,女运动员21人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取14位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取人.答案8解析男运动员应抽取2828+2114=8人.5.(2018江苏启东中学高三月考)如图是一个算法流程图,则输出的n的值是.答案6解析该流程图运行3次,则输出的n=2+2+2=6.6.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.答案7解析V圆锥=13524=1003,V圆柱=228=32,则总体积V=1963.设新的圆锥与圆柱的底面半径为r,则它们的体积和为13r24+r28=283r2=1963,解得r=7.7.定义在R上的函数f(x)=x,-1x0,x2,0x1,且f(x+2)=f(x),g(x)=1x-2,则方程f(x)=g(x)在区间-5,9上的实根个数是.答案7解析由f(x+2)=f(x),得f(x)的周期为2,在同一坐标系中作出函数f(x)和g(x)在-5,9上的图象(图略),由图象可得,两个函数图象的交点个数为7.8.(2018苏锡常镇四市高三调研)已知直线l:x-y+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上,圆C:(x-2)2+y2=2上有且仅有一个点B满足ABBP,则点P的横坐标的取值集合为.答案13,5解析A(-2,0),设P(x0,x0+2),由ABBP得,点B的轨迹是以AP为直径的圆D,则圆心Dx0-22,x0+22,半径r=12AP=22|x0+2|.因为圆C上有且仅有一个点B满足ABBP,所以圆C和圆D相切.当两圆外切时,CD=12x02-2x0+10=22|x0+2|+2,所以x0=13.当两圆内切时,CD=12x02-2x0+10=22|x0+2|-2,所以x0=5.故点P的横坐标的取值集合是13,5.9. (2019江苏扬州中学高三月考)已知向量m=(2,-1),n=sinA2,cos(B+C),角A,B,C为ABC的内角,它们所对的边分别为a,b,c.(1)当mn取得最大值时,求角A的大小;(2)在(1)成立的条件下,当a=3时,求b2+c2的取值范围.解析(1)mn=2sinA2-cos(B+C)=2sinA2+cos A=-2sin2A2+2sinA2+1.令t=sinA2,t(0,1),原式=-2t2+2t+1,当t=12,即sinA2=12,A=3时,mn取得最大值.(2)当A=3时,B+C=23,B0,23.由正弦定理得asinA=332=2=2R(R为ABC的外接圆半径).于是b2+c2=(2Rsin B)2+(2Rsin C)2=(2