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文档简介

一 一般欧氏空间中的正交变换 9 4正交变换 二 n维欧氏空间中的正交变换 一 一般欧氏空间中的正交变换 1 定义 即 欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变 则称为正交变换 注 欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广 2 欧氏空间中的正交变换的刻划 下述命题是等价的 定理4 设是欧氏空间V的一个线性变换 3 保持向量间的距离不变 即 2 保持向量长度不变 即 1 是正交变换 证明 首先证明1 与2 等价 即 两边开方得 若是正交变换 则 有 1 2 若保持向量长度不变 则对 把 3 展开得 再由 1 2 即得 3 是正交变换 再证明2 与3 等价 根据 故3 成立 若 则有 即 故2 成立 二 维欧氏空间中的正交变换 1 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基 不变的线性变换 是V的标准正交基 则也是V 的标准正交基 1 若是维欧氏空间V的正交变换 事实上 由正交变换的定义及标准正交基的性质 即有 2 若线性变换使V的标准正交基变成 变换 标准正交基 则为V的正交 证明 任取设 由为标准正交基 有 故是正交变换 又 由于为标准正交基 得 2 维欧氏空间V中的线性变换是正交变换 设为V的标准正交基 且 证明 的标准正交基 当是正交变换时 由1知 也是V 而由标准正交基到标准 正交基的过渡矩阵是正交矩阵 设为V的标准正交基 且 再由1即得为正交变换 由于当A是正交矩阵时 也是V的 即 标准正交基 所以 A是正交矩阵 1 正交变换的逆变换是正交变换 2 正交变换的乘积还是正交变换 3 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射 因而有 由同构的对称性可得之 由同构的传递性可得之 4 维欧氏空间中正交变换的分类 设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基 1 如果则称为第一类的 旋转 2 如果则称为第二类的 下的矩阵是正交矩阵A 则 例 在欧
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