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第七章对冲 金融市场学 2020 2 9 1 风险对冲是指通过投资或购买与标的资产收益波动负相关的某种资产或衍生证券 来冲销标的资产潜在损失的一种策略 在进行风险对冲时经常用到定量参数有 Delt Gamma Vega Theta和Rho 这些参数一般是某些变量变化对另外一些变量变化的比率 反映了一些变量对另外一些变量的相对变化 根据这些参数的变化适时调整头寸 可在一定程度上达到风险对冲的目的 2020 2 9 2 7 1Delta对冲 下面用一种简单的方法来说明 对冲 假设你卖出了一个看涨期权 并预测当股价上涨1美元时 期权的价格上涨0 5美元 2 1 关系 那么你的投资组合账户的平衡方法应该是卖出100份看涨期权 买进50股股票 或者说卖出40份看涨期权与买进20股股票 这就是Delta定义为其他变量不变的条件下期权价格变化 C与标的资产价格变化 S的比率 即 Delta随着标的资产价格的变化和实践的推移而不断变化 因此在运用Delta对冲风险时 需要定期调整对冲头寸 否则就要承担头寸风险暴露的风险 2020 2 9 3 对冲 动态规划与理想条件下Black Scholes运作机制构造一个投资组合 其中股票数量为a 卖空一份期权 同时持有一定数量现金或者某一数量的债务 使净头寸为0 换句话说 投资组合的价值为 2020 2 9 4 通过选择我们得到Delta对冲的另外一种推导方法 若假设对冲计划的初始时刻资产为 通过对资产组合瞬时调整的实施以平衡股价S的变化 并保证每一瞬间都有 写成微分方程的另外一种形式即 早期的Delta对冲在连续交易中 对冲比率 7 2 回头看该式是离散情形下的对冲 但U D V 衍生产品的价格的差分 且因此 7 3 公式 7 3 是公式 7 2 的离散情形 2020 2 9 5 对冲法则 对冲就是卖出一份期权 同时买进 股股票 不支付红利的股票欧式看涨期权的Delta为 Delta N d1 7 4 根据该式 在对一个欧式看涨期权的空头进行Delta对冲时 在任何时候需要同时持有数量为N d1 的标的资产多头 类似的 对一个欧式看涨期权的多头进行Delta对冲时 在任何时候需要同时持有数量为N d1 的标的资产空头 不支付红利的股票看跌期权的Delta为 Delta N d1 1 7 5 由该式Delta为负值 这意味着看跌期权多头应该利用标的资产的多头头寸来对冲风险 看跌期权的空头因该利用标的资产的空头头寸来对冲风险 2020 2 9 6 7 2Theta对冲 Theta定义为在其他变量不变时期权价格的变化相对于权利期间变化的比率 即Theta一般是负值 它反映了期权价格随着权力期间的减少而衰减的程度 因此我们不可能用对冲的方法消除时间变化对期权价格的影响 不支付红利的股票欧式看涨期权的Theta为 不支付红利的股票欧式看跌期权的Theta为 2020 2 9 7 7 3Gamma对冲 Gamma反映了期权标的资产价格变动对期权Delta变动的影响程度 即 7 9 Gamma大小反映了为保持Delta中性而需要调整的头寸 Delta中性是指Delta等于零状态 由于标的资产和衍生证券可以是多头和空头 所以Delta可大于零也可小于零 如果组合内标的资产和衍生证券数量匹配适当 整个组合的Delta等于零 然而Delta并非固定不变 随着标的资产价格或者权利区间的变化 Delta也在变化 因此 进行风险对冲就必须不断随着Delta变化来调整头寸 以保持Delta中性 在这种调整中 Gamma就是一个有用的指标 因为Gamma的大小正好反映了为保持Delta中性而需要调整的头寸 不支付红利股票的欧式看涨和看跌期权的Gamma均为 2020 2 9 8 7 4Vega对冲 Vega定义为在其他变量保持不变的条件下期权价格C变化对标的资产波动率变化的比率 即 7 11 标的资产价格波动对期权价格有着重大影响 在其他条件一定的条件下 波动率越大 期权价格越高 波动率越小 期权价格越低 在对冲风险过程中 Vega是一个重要指标 Black Scholes期权定价公式假定标的资产价格波动率为已知常数 这一假定是不符合实际的 所以在实际交易过程中 投资者要面临着波动率变动的风险 为了规避这种风险 必须缩小期权的Vega 把波动率变化可能造成的损失降低到最小 不支付红利股票的欧式看涨和看跌期权的Vega为 2020 2 9 9 7 5Rho对冲 Rho定义为在其他变量不变时期权价格C辩护与利率r变化之间的比率 即 7 13 Rho反映了利率变化对期权价格的影响程度 因此在利率变动比较频繁的时期 Rho将是一个重要的敏感情况指标 利率变动对看涨期权的价格有正的影响 对看跌期权价格有负的影响 所以看涨期权的Rho一般大于零 而看跌期权的Rho一般小于零 不支付红利股票的欧式看涨期权的Rho为 不支付红利股票的欧式看涨期权的Rho为 2020 2 9 10 例 考虑一个不支付红利股票的欧式看涨期权 其标的资产价格是 50 行权价格为 50 无风险年利率为10 年波动率是30 权利期间还有6个月 失球其相应的对冲参数 解 计算 2020 2 9 11 7 6Delta对冲法则的推导 这里分析标的资产现价S对期权价格V的影响 令这表示在其他因素不变的前提下 标的资产价格变动与期权价格变化之间的关系 因为期权价格是标的资产价格的非线性函数 因此这一关系在当前价格水平S附近才能成立 2020 2 9 12 2020 2 9 13 2020 2 9 14 7 7隐含波动率 隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率 是通过Black Scholes期权定价公式计算出来的波动率 由于我们无法给出它的解析解 因此只能借助于数值计算给出近似解 几种计算隐含波动率的数值方法 二分法和牛顿迭代法 二分法的设计思想相当简单 如果某函数在一区间的符号有变化 则在此区间内该函数必有零点 根据这个思想 我们先计算该函数在给定区间内中点的值 并考察其符号变化 然后再用中点值替代与其有相同符号的端点 这样每经过一次迭代 包含零点的区间就缩小一半 假设经过n次迭代后 零点位于长度为的区间内 则在下一轮迭代结束后 这个零点将被划界在长度恰好是的区间内 经过n次这样的迭代后 包含零点的区间两端就会逼近真值 2020 2 9 15 注意 在使用二分法时 需要事先计算出达到给定精度的解所需要的迭代次数为迭代结束后所期望的精度 分析 根据上述二分法的基本思想 我们给出求隐含波动率的步骤 1 设定隐含波动率的上下限 2 计算隐含波动率上下限的平均值并带入Black Scholes期权定价公式 3 计算该期权价格之差 直到达到给定的精度为止 2020 2 9 16 例 假设当前观察到的期权是 3 5 标的资产价格是 20 X 17 5 r 10 权利期间还有3个月 试求隐含波动率 解 在本例中 Cmarket 3 5 S 20 X 17 5 r 0 1 T t 0 25根据二分法计算隐含波动率的步骤如下 1 给出一个波动率的上下限 并计算它的平均值 2 将计算出来的平均值代入Black Scholes期权定价公式计算期权的价格 3 如果计算出来的期权价格大于期权价格的观察值 缩小波动率的上下限重新计算 4 不断重复上述过程直至计算结果逼近期权价格的观察值 2020 2 9 17 Price 20 Strike 17 5 Rate 0 1 Time 0 25 Value 3 5 Volatility blsimpv Price Strike Rate Time Value 2020 2 9 18 牛顿迭代法牛顿迭代法 Newton smethod 又称为牛顿 拉夫逊方法 Newton Raphsonmethod 是牛顿在17世纪提出的一种在实数域上近似求解方程根的方法 步骤1 将函数f x 再点x0附近展开成泰勒级数步骤2 取泰勒级数的前两项作为设求解方程得到这样得到迭代公式经过n次迭代后可以求出f x 0的近似解 2020 2 9 19 根据牛顿迭代法 隐含波动率的计算步骤下 1 假设其他变量保持不变 认为函数是隐含波动率的一元函数 其中为市场上观察到的其时价格 2 求函数的导数 3 由迭代公式 计算波动率 直至 2020 2 9 20 例 以不支付股息的欧式看涨期权为例 设S 20元 X 17 5元 Cmar 3 5 r 0 1 T 0 25年 运用牛顿迭代法计算隐含波动率 假设一开始随意选择波动率为18 根据上式求出B S模型的欧式期权再将 2020 2 9 21 然后 用 重复以上的步骤 再次计算期权的模型价格及其如此循环往复 最终计算出一个最接近期权市场价格的模型价格 此时所试用的波动率就是隐含波动率 在此例子中 当试算的波动率为44 49 时 期权的模型价格为3 5001 与期权的市场价格3 5几乎一样 运用牛顿试算隐含波动率的过程 2020 2 9 22 运用科拉多 米勒公式计算隐含波动率从Black Scholes公式可知 人们不可能直接通过B S模型求得隐含波动率 为了计算出隐含波动率 经济学家和理财专家曾做过种种努力试图解决这个问题 如布雷纳 Brenner 和萨布拉曼亚 Subrahmanyam 于1988年 查恩斯 Chance 于1993年分别提出的计算隐含波动率的公式 虽然这些公式对于持有平价期权的波动率的计算还算准确