高中数学 12《充分条件与必要条件》同步课件 新人教A版选修11.ppt

1 2充分条件与必要条件 1 知识与技能理解充分条件 必要条件 充要条件的概念 2 过程与方法会具体判断所给条件是哪一种条件 本节重点 充分条件 必要条件 充要条件的判定 本节难点 判定所给条件是充分条件 必要条件 还是充要条件 本节内容比较抽象 在学习中应注意以下几个方面 1 学习本节内容要多从分析实例入手理解概念 利用集合的观点加深理解 2 1 从不同角度 运用从特殊到一般的思维方法 归纳出条件与结论的推出关系 建立充分条件 必要条件的概念 2 要判断充分条件 必要条件 就是利用已有知识 借助代数推理的方法 判断p是否推出q q是否推出p 1 从逻辑关系上 关于充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件的判定 2 从集合的观点上 关于充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件的判定 首先建立与p q相应的集合 即p a x p x q b x q x 3 一般地 关于充要条件的判断主要有以下几种方法 1 定义法 直接利用定义进行判断 2 等价法 p q 表示p等价于q 等价命题可以进行转换 当我们要证明p成立时 就可以去证明q成立 这里要注意 原命题 逆否命题 否命题 逆命题 只是等价形式之一 对于条件或结论是不等式关系 否定式 的命题一般应用等价法 3 利用集合间的包含关系进行判断 如果条件p和结论q都是集合 那么若p q 则p是q的充分条件 若p q 则p是q的必要条件 若p q 则p是q的充要条件 4 充要条件的传递性若a b b c c d 则a d 即a是d的充分条件 利用这一结论可研究多个命题之间的充要关系 5 充要条件的证明证明p是q的充要条件 既要证明命题 p q 为真 又要证明命题 q p 为真 前者证明的是充分性 后者证明的是必要性 注意 1 在分析p与q的关系时 要考查 p q 和 q p 两个方面后 才能下结论 比如仅有 p q 成立时 则既可能p是q的充分不必要条件 也可能p是q的充要条件 2 在分析p与q的关系时 要分清p与q的前后顺序及判断对应的方向 1 当命题 如果p 则q 经过推理证明断定是真命题时 我们就说由p成立可推出q成立 记作 读作 2 如果p q 则p叫做q的条件 3 如果q p 则p叫做q的条件 4 如果既有p q成立 又有q p成立 记作 则p叫做q的条件 5 如果p q 那么p与q互为条件 p q p推出q 充分 必要 p q 充要 充要 答案 a 点评 1 判断p是q的什么条件其实质是判断 若p则q 及其逆命题 若q则p 是真是假 原命题为真而逆命题为假 则p是q的充分不必要条件 原命题为假而逆命题为真 则p是q的必要不充分条件 原命题 逆命题均为假 则p是q的既不充分也不必要条件 2 判断p是q的什么条件 应掌握几种常用的判断方法 1 定义法 2 集合法 3 等价转化法 4 传递法 有时借助数轴 韦恩图 集合等知识形象 直观的特点或举反例 赋特殊值对判断各条件之间的推断关系常常起到事半功倍的效果 2010 上海文 16 x 2k k z 是 tanx 1 成立的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 例2 设a b c为 abc的三边 求证 x2 2ax b2 0与x2 2cx b2 0有公共根的充要条件是 a 90 分析 由题目可获取以下主要信息 a b c为 abc的三边 求证两方程有公共根的充要条件是 a 90 解答本题可先证明充分性 再证明必要性 证明 充分性 a 90 a2 b2 c2 于是方程x2 2ax b2 0可化为x2 2ax a2 c2 0 即x2 2ax a c a c 0 x a c x a c 0 该方程有两个根x1 a c x2 a c 同样 另一方程x2 2cx b2 0也可化为x2 2cx a2 c2 0 即x2 2cx a c a c 0 x c a x c a 0 该方程有两个根x3 a c x4 c a 可以发现x1 x3 这两个方程有公共根 必要性 设 是两方程的公共根 由 得 a c 或 0 舍去 将 a c 代入 并整理可得 a2 b2 c2 a 90 点评 1 证明 p是q的充要条件 时 要分别从 p q 和 q p 两个方面验证 即要分别证明充分性和必要性两个方面 但是 在表述中要注意充分性与必要性对应的关系 2 要分清命题中的条件和结论 防止充分性和必要性弄颠倒 由条件 结论是证充分性 由结论 条件是证必要性 3 如证 p是q的充要条件 时 充分性是指 p q 成立 必要性是指 q p 成立 而证 p成立的充要条件是q 时 充分性是指 q p 成立 必要性是指 p q 成立 已知数列 an 的前n项和sn pn q p 0且p 1 求证数列 an 为等比数列的充要条件为q 1 分析 充分性 由q 1推出 an 是等比数列 必要性 由 an 是等比数列推出q 1 证明 充分性 当q 1时 a1 p 1 当n 2时 an sn sn 1 pn 1 p 1 当n 1时也成立 p 0且p 1 即数列 an 为等比数列 必要性 当n 1时 a1 s1 p q 当n 2时 an sn sn 1 pn 1 p 1 p 0且p 1 例3 设命题甲为 0 x 5 命题乙为 x 2 3 那么甲是乙的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 解析 解不等式 x 2 3得 1 x 5 0 x 5 1 x 5但 1 x 5 0 x 5 甲是乙的充分不必要条件 故选a 点评 一般情况下 若条件甲为x a 条件乙为x b 当且仅当a b时 甲为乙的充分条件 当且仅当b a时 甲为乙的必要条件 当且仅当a b时 甲为乙的充要条件 当且仅当a b时 甲为乙的充分不必要条件 当且仅当a b时 甲为乙的必要不充分条件 设集合m x x 2 p x x 3 那么 x m或x p 是 x m p 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 先分别写出适合条件的 x m或x p 和 x m p 的x的范围 再根据充要条件的有关概念进行判断 由已知可得x m或x p即x r x m p即2 x 3 2 x 3 x r 但x r 2 x 3 x m或x p 是 x m p 的必要不充分条件 故应选b 例4 已知p q都是r的必要条件 s是r的充分条件 q是s的充分条件 那么 1 s是q的什么条件 2 r是q的什么条件 3 p是q的什么条件 解析 根据题意得关系图 如图所示 1 由图知 q s s r q s是q的充要条件 2 r q q s r r是q的充要条件 3 q s r p p是q的必要条件 点评 将已知r p q s的关系作一个 图 如图所示 这在解决较多个条件的问题时经常用到 要细心体会 已知p是q的充分条件 q是r的必要条件 也是s的充分条件 r是s的必要条件 问 1 p是r的什么条件 2 s是q的什么条件 3 p q r s中哪几对互为充要条件 解析 作出 图 如图所示可知 p q r q q s s r 1 p q s r 且r q q能否推出p未知 p是r的充分条件 2 s r q q s s是q的充要条件 3 共有三对充要条件 q s s r r q 例5 已知方程x2 2 m 2 x m2 1 0有两个大于2的根 试求实数m的取值范围 例5 已知方程x2 2 m 2 x m2 1 0有两个大于2的根 试求实数m的取值范围 求关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一个负的实根的充要条件 解析 a 0时适合 当a 0时 显然方程没有零根 若方程有两异号的实根 则a 0 若方程有两个负的实根 综上可知 若方程至少有一个负的实根 则a 1 反之 若a 1 则方程至少有一个负的实根 因此 关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一个负的实根的充要条件是a 1 点评 a 0的情况不要忽视 若令f x ax2 2x 1 由于f 0 1 0 从而排除了方程有一个负根 另一个根为零的情况 一 选择题1 2010 广东理 5 m 是 一元二次方程x2 x m 0有实数解 的 a 充分非必要条件b 充分必要条件c 必要非充分条件d 非充分非必要条件 答案 a 2 已知集合m n 则m n n的充要条件是 a m nb m nc m nd m n 答案 d 解析 由n m m n n成立 由m n n n m成立 3 使不等式2x2 5x 3 0成立的一个充分非必要条件是 a x 0b x 0c x 1 3 5 d x 或x 3 答案 c 解析 x 1 3 5时 2x2 5x 3 0成立 而2x2 5x 3 0成立 x不一定等于 1 3 5 4 设x r 则x 2的一个必要不充分条件是 a x 1b x3d x2 x 1 但x 1 x 2 选a 二 填空题5 命题p x1 x2是方程x2 5x 6 0的两根 命题q x1 x2 5 那么命题p是命题q的 条件 答案 充分不必要条件 解析 x1 x2是方程x2 5x 6 0的两根 x1 x2 5 当x1 1 x2 4时 x1 x2 5 而 1 4不是方程x2 5x 6 0的两根 6 a 1 b 2 0