初探“数的整除性”在数列中的应用.doc

初探“数的整除性”在数列中的应用 王军成江苏省淮阴中学摘要 本文主要以例题的形式探讨数的整除性在数列中的典型应用.关键词整除, 数列, 美列.数学是培养人类逻辑思维最好的一门学科, 数学的最基础概念就是针对数的一些认识. 整除是数学研究的一部分, 这一方面的研究延伸出“数论”这一分支学科. 由于一个人对数的认识与理解的深度也可以反应出他对数学的领悟能力与理解能力, 所以近年来在高校选拔考试中, 就有很多出题专家热衷于对“数的整除性”认识的初步考察. 下面作者用例题的形式初步探讨“数的整除性”的在数列中的典型应用. 1 数的同余问题例1 已知数列bn的通项公式为, 判断数列bn中是否存在三项成等差数列？若存在写出一组满足条件的三项, 若不存在说明理由. 分析: 首先我们要尝试, 假设存在三项（不妨设rst）成等差数列, 则有等式：即, 化为, （I）显然（I）等式的右端可以被3整除, 而等式的左端不能被3整除, 所以数列不存在三项成等差数列. 例2 已知数列an为等差数列, 首项为, 公差为, 数列为等比数列, 首项为, 公比为, 其中, 且, （1）求的值；（2）若存在满足, 试求的值. 解（1）由可得, 将不等式的每一部分同乘以可得, 显然由可知. (2) 由可得, 即, 因为且, 所以, 又因为, 所以不符合条件, 舍去. 因此, 此时. 点评：不难看出这两小题经整除性分析就可以得到结果, 属于较典型的“整除性问题”. 例3 数列满足：, , , 如果在2010项之前恰好出现666个0, 求的值. 解 由观察可知1, 1, 0在这个数列中必成周期出现. 设, 出现第一个1, 1, 0之前的项为项, 写出数列的前几项：, 由观察可得： 当为奇数时, 出现第一个1, 1, 0之前的两项必为3, 2, 且出现1的个数为, 于是；此时可以被3整除；当为偶数时, 出现第一个1, 1, 0之前的两项必为1, 2, 且出现1的个数为, , 此时可以被3整除. 由出现666个0并以1, 1, 0为周期的项数为666*3=1998项. 下面分情况讨论：如果第2010项恰为0, 则=2010-1998=12, 由12+1不可以被3整除, 而12可以被3整除可得, 于是是奇数, 满足条件. 如果第2010项为1, 2009项为0, 则t=2009-1998=11, 由11不可以被3整除, 而11+1可以被3整除可得, 于是是偶数, 满足条件. 如果第2010项为1, 2009项为1, 则=2008-1998=10, 由10不可以被3整除, 而10+1也不可以被3整除可知这种情况不可能出现. 综上可得满足条件的的值为8或9点评：本题关键在于找到的属性, 通过适当讨论解决问题, 过程虽然有点复杂, 但是体现了整除思想的重要应用. 2 利用式子的变形处理问题例 4 已知 是等差数列, 是公比为的等比数列, , 记为数列的前项和, 若是某一正整数, 求证：（1）是整数；（2）数列中每一项都是数列中的项. 解 （1）设的公差为, 由是公比为的等比数列, 可知且（）, . 因为, 所以 （II）且 （III）由（II）式和（III）式解得或, 注意到, 所以, 因为是正整数, 所以是整数, 即是整数. （2）我们用两种方法证明数列中每一项都是数列中的项. 方法一 设数列中任意一项为. 由（1）的证明可知我们可以设数列中的任意一项为=. 现在只要证明存在正整数, 使得, 即证明在的方程中, 有正整数解. 显然, 于是即, 因此. 若, 由（1）的证明知, 于是, 从而, . 当时, 由于, 我们只需考虑的情况. 因为, 所以, 由可知是正整数, 因此是正整数, 于是数列中的任意一项与数列的第项相等, 从而结论成立. 方法二 因为, 所以, 于是=. 当时, 取=, 于是=+1即数列中的第项为数列的第=+1项；当, 则, 那么. 综上中每一项都是数列中的项. 例5 已知数列的通项为, 若可以写成的形式, 则称为“美列”, 问数列中是否存在“美列”, 若存在求出所有的“美列”, 不存在说明理由. 分析：列举前几项易发现, 但再列举就很难发现满足要求的“美列”了. 怎么办？我们再从数的奇偶性方向考察一下, 发现为奇数, 则推出也为奇数, 则必为奇数, 再考虑, 对分奇数与偶数讨论一下. 当b为偶数时, 由和可知, 于是, 从而, 因此, 由整除可令 （IV）且, （V）由（IV）式减去（V）式可以得到, 于是 , （VII）观察（VII）式, 发现等式左边是偶数, 所以且, 从而, 则且. 当为奇数时, 由和可知, 于是, 因此. （VIII）于是整除（VIII）式的左边. 因为中的每一项都是奇数, 且总项数也是奇数, 所以为奇数, 因此整除, 于是, 矛盾于假设, 因此当b为奇数时不存在“美列”. 综上只有为“美列”. 点评：上面的解题过程都用到了分类思想, 特别是对式子的变形, 如在两题中都是重要变形步骤, 这正是解决此题的难点所在, 所以平时对于式子的变形要多加重视. 数的整除性应用是比较困难的一个考察点, 以前在数学竞赛中常常出现, 在一般考试当中较少出现, 属于比较“冷门”的知识点, 但近年来在一些高考试题和一些高校自主招生考试中有所体现, 所以有必要对此知识点进行,以期待对读者有所启发与启蒙. 作者简介：王军成, 1974年出生，性别：男，民族：汉族,籍贯：江苏淮安，专业职务