【中考攻略】中考数学 专题2 待定系数法应用探讨.doc

【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x2-3=（1-a）x2bxc，求a，b，c的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到a，b，c的值。这里的a，b，c就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知，求的值”，解答此题，只需设定，则，代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若是完全平方式，则=【 】a9 b9c9d3 【答案】a。【考点】待定系数法思想的应用。【分析】设，则，。故选a。练习题：1.（2012江苏南通3分）已知x216xk是完全平方式，则常数k等于【 】a64 b48 c32 d162.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2kx+9是一个完全平方式，则k的值是 。3.（2011江苏连云港3分）计算 (x2) 2的结果为x 2x4，则“”中的数为【 】a2 b2 c4 d44.（2011湖北荆州3分）将代数式化成的形式为【 】 a. b. c. d.二.待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。典型例题：例：（2012四川凉山4分）已知，则的值是【 】a b c d【答案】d。【考点】比例的性质。【分析】，设，则b=5k， a=13k，把a，b的值代入，得，。故选d。练习题：1.（2012北京市5分）已知，求代数式的值。2.（2011四川巴中3分）若，则= 。三.待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x36x2+11x6，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。典型例题：例1：（2012湖北黄石3分）分解因式： 。【答案】（x1）（x2）。【考点】因式分解。【分析】设， ，解得或， 。注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。例2：分解因式： 。【答案】。【考点】因式分解。【分析】， 可设。 ， 。 比较两边系数，得。 联立，得a=4，b=1。代入式适合。 。练习题：1. （2012四川南充3分）分解因式： = 。2. （2012山东潍坊3分）分解因式：x34x212x= 。3. （2011贵州黔东南4分）分解因式： 。四.待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b为待定系数，且k0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (xh) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (xx1)(xx2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点p(a1，2a3)都在直线l上，q(m，n)是直线l上的点，则(2mn3)2的值等于 【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】由于a不论为何值此点均在直线l上，令a=0，则p1（1，3）；再令a=1，则p2（0，1）。设直线l的解析式为y=kx+b（k0）， ，解得 。直线l的解析式为：y=2x1。q（m，n）是直线l上的点，2m1=n，即2mn=1。(2mn3)2=（1+3）2=16。例2：（2012山东聊城7分）如图，直线ab与x轴交于点a（1，0），与y轴交于点b（0，2）（1）求直线ab的解析式；（2）若直线ab上的点c在第一象限，且sboc=2，求点c的坐标【答案】解：（1）设直线ab的解析式为y=kx+b，直线ab过点a（1，0）、点b（0，2），解得。直线ab的解析式为y=2x2。（2）设点c的坐标为（x，y），sboc=2，2x=2，解得x=2。y=222=2。点c的坐标是（2，2）。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）设直线ab的解析式为y=kx+b，将点a（1，0）、点b（0，2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到ab的解析式。（2）设点c的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及sboc=2求出c的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水清洗灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，图象经过（0，1500），（25，1000），解得：。排水阶段解析式为：y=20t+1500。清洗阶段：y=0。灌水阶段：设解析式为：y=at+c，图象经过（195，1000），（95，0），解得：。灌水阶段解析式为：y=10t950。（2）排水阶段解析式为：y=20t+1500，令y=0，即0=20t+1500，解得：t=75。排水时间为75分钟。清洗时间为：9575=20（分钟），根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3，1500=10t950，解得：t=245。故灌水所用时间为：24595=150（分钟）。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的解析式是【 】a b c d 【答案】b。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设反比例函数图象设解析式为，将点（1，2）代入得，k=12=2。则函数解析式为。故选b。例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，点o为坐标原点，点d为抛物线的顶点，点e在抛物线上，点f在x轴上，四边形ocef为矩形，且of2，ef3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求abd的面积；(3)将aoc绕点c逆时针旋转90，点a对应点为点g，问点g是否在该抛物线上？请说明理由【答案】解：(1)四边形ocef为矩形，of2，ef3，点c的坐标为(0，3)，点e的坐标为(2，3)把x0，y3；x2，y3分别代入yx2bxc，得，解得。抛物线所对应的函数解析式为yx22x3。(2)yx22x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为d(1，4)。abd中ab边的高为4。令y0，得x22x30，解得x11，x23。ab3(1)4。abd的面积448。(3)如图，aoc绕点c逆时针旋转90，co落在ce所在的直线上，由（1）(2)可知oa1，oc=3，点a对应点g的坐标为(3，2)。当x3时，y3223302，点g不在该抛物线上。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。【分析】(1)在矩形ocef中，已知of、ef的长，先表示出c、e的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。(2)根据(1)的函数解析式求出a、b、d三点的坐标，以ab为底、d点纵坐标的绝对值为高，可求出abd的面积。(3)根据旋转条件求出点a对应点g的坐标，然后将点g的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是a（2，1），且经过点b（1，0），则抛物线的函数关系式为 【答案】y=x2+4x3。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点是a（2，1），可设抛物线的解析式为y=a（x2）2+1。 又抛物线y=a（x2）2+1经过点b（1，0），（1，0）满足y=a（x2）2+1。 将点b（1，0）代入y=a（x2）2得，0=a（12）2即a=1。 抛物线的函数关系式为y=（x2）2+1，即y=x2+4x3。例7：（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于a（1，0），b（2，0），交y轴于c（0，2），过a，c画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点p在x轴正半轴上，且pa=pc，求op的长；（3）点m在二次函数图象上，以m为圆心的圆与直线ac相切，切点为h若m在y轴右侧，且chmaoc（点c与点a对应），求点m的坐标；若m的半径为，求点m的坐标【答案】解：（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于a（1，0），b（2，0）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x2）， 将x=0，y=2代入，得2=a（0+1）（02），解得a=1。抛物线的解析式为y=（x+1）（x2），即y=x2x2。（2）设op=x，则pc=pa=x+1，在rtpoc中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即op=。（3）chmaoc，mch=cao。（i）如图1，当h在点c下方时，mch=cao，cmx轴，ym=2。x2x2=2，解得x1=0（舍去），x2=1。m（1，2）。（ii）如图2，当h在点c上方时，mch=cao，pa=pc。由（2）得，m为直线cp与抛物线的另一交点，设直线cm的解析式为y=kx2，把p（，0）的坐标代入，得k2=0，解得k=。y=x2。由x2=x2x2，解得x1=0（舍去），x2=。此时y=。m（）。在x轴上取一点d，如图3，过点d作deac于点e，使de=，在rtaoc中，ac=。coa=dea=90，oac=ead，aedaoc，即，解得ad=2。d（1，0）或d（3，0）。过点d作dmac，交抛物线于m，如图则直线dm的解析式为：y=2x+2或y=2x6。当2x6=x2x2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，当2x+2=x2x2时，即x2+x4=0，解得。 点m的坐标为（）或（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据与x轴的两个交点a、b的坐标，故设出交点式解析式，然后把点c的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。 （2）设op=x，然后表示出pc、pa的长度，在rtpoc中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（3）根据相似三角形对应角相等可得mch=cao，然后分（i）点h在点c下方时，利用同位角相等，两直线平行判定cmx轴，从而得到点m的纵坐标与点c的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点h在点c上方时，根据（2）的结论，点m为直线pc与抛物线的另一交点，求出直线pc的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点m的坐标。在x轴上取一点d，过点d作deac于点e，可以证明aed和aoc相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到ad的长度，然后分点d在点a的左边与右边两种情况求出od的长度，从而得到点d的坐标，再作直线dmac，然后求出直线dm的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点m的坐标。练习题：1. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量（注：总成本=每吨的成本生产数量）2. （2012山东菏泽7分）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点a、b，以线段ab为边在第一象限内作等腰rtabc，bac=90求过b、c两点直线的解析式3. （2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】a b c d4. （2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2bxc的解析式； y随x变化的部分数值规律如下表：x10123y03430 有序数对（1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2bxc； 已知函数y=ax2bxc的图象的一部分（如图） (2)直接写出二次函数y=ax2bxc的三个性质5. （2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，1)的抛物线yax2bxc(a0)与y轴交于点c(0，3)，与x轴交于a、b两点(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与直线bc交于点d，连接ac、ad，求acd的面积；(3)点e为直线bc上一动点，过点e作y轴的平行线ef，与抛物线交于点f问是否存在点e，使得以d、e、f为顶点的三角形与bco相似？若存在，求点e的坐标；若不存在，请说明理由6. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于a(2，o)、b(2，0)、c(0，l)三点，过坐标原点o的直线y=kx与抛物线交于m、n两点分别过点c、d(0，2)作平行于x轴的直线、 (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以on为直径的圆与直线相切； (3)求线段mn的长(用k表示)，并证明m、n两点到直线的距离之和等于线段mn的长五.待定系数法在求解规律性问题中的应用： 近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 (其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量， an看成函数，则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,an满足 (其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项是关于n的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。典型例题：例1：（2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份1896190019042012届数123n表中n的值等于 【答案】30。【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。【分析】寻找规律：设奥运会的届数为x，年份为y，二者之间的关系为。 将（1，1896），（2，1900）代入，得，解得。 。检验：（3，1904）符合。奥运会的届数与年份之间的关系为。 当y=2012时，解得x=30。 n=30。例2：（2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 【答案】4n2。【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形6个，第三个图案有阴影小三角形10个，即形成数对（1，2），（2，6），（3，10），。 设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为， 将（1，2），（2，6）代入，得，解得。 。检验：（3，10）符合。阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为。 当x= n时，。 第n个图案中阴影小三角形的个数是。例3：（2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列例如数列1，3，9，19，33，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，是一个二阶等差数列那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，的第五个数应是 【答案】21。【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。【分析】由已知，二阶等差数列1，3，7，13，与次序之间形成数对（1，1），（2，3），（3，7），（4，13）。 设二阶等差数列与次序之间的关系为， 将（1，1），（2，3），（3，7）代入，得，解得。 。检验：（4，13）符合。二阶等差数列与次序之间的关系为。 当x= 5时，。 二阶等差数列1，3，7，13，的第五个数应是21。练习题：1. （2012山东济宁6分）问题情境：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？建立模型：有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解解决问题：根据以上步骤，请你解答“问题情境”2.（2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 .3.（2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是 4.（2012青海省2分）观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 个5.（2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由六.待定系数法在几何问题中的应用： 在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。典型例题：例1：（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片abcd中，a=600，将纸片折叠，点a、d分别落在a、d处，且ad经过b，ef为折痕，当dfcd时，的值为【 】a. b. c. d. 【答案】a。【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】延长dc与ad，交于点m，在菱形纸片abcd中，a=60，dcb=a=60，abcd。d=180-a=120。根据折叠的性质，可得adf=d=120，fdm=180-adf=60。dfcd，dfm=90，m=90-fdm=30。bcm=180-bcd=120，cbm=180-bcm-m=30。cbm=m。bc=cm。设cf=x，df=df=y， 则bc=cm=cd=cf+df=x+y。fm=cm+cf=2x+y，在rtdfm中，tanm=tan30=，。故选a。例2：（2012江苏扬州3分）如图，将矩形abcd沿ce折叠，点b恰好落在边ad的f处，如果，那么tandcf的值是【答案】。【考点】翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】四边形abcd是矩形，abcd，d90，将矩形abcd沿ce折叠，点b恰好落在边ad的f处，cfbc，。设cd2x，cf3x，。tandcf。例3：（2012贵州铜仁10分）如图，定义：在直角三角形abc中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan，即ctan=，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30= ；（2）如图，已知tana=，其中a为锐角，试求ctana的值例4：（2012江苏镇江11分）等边abc的边长为2，p是bc边上的任一点（与b、c不重合），连接ap，以ap为边向两侧作等边apd和等边ape，分别与边ab、ac交于点m、n（如图1）。（1）求证：am=an；（2）设bp=x。若，bm=，求x的值；记四边形adpe与abc重叠部分的面积为s，求s与x之间的函数关系式以及s的最小值；连接de，分别与边ab、ac交于点g、h（如图2），当x取何值时，bad=150？并判断此时以dg、gh、he这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：（1）证明：abc、apd和ape都是等边三角形， ad=ap，dap=bac=600，adm=apn=600。dam=pan。 admapn（asa），am=an。（2）易证bpmcap， bn=，ac=2，cp=2x，即。 解得x=或x=。 四边形ampn的面积即为四边形adpe与abc重叠部分的面积。 admapn，。如图，过点p作psab于点s，过点d作dtap于点t，则点t是ap的中点。在rtbps中，p=600，bp=x，ps=bpsin600=x，bs=bpcos600=x。ab=2，as=abbc=2x。当x=1时，s的最小值为。连接pg，设de交ap于点o。若bad=150，dap =600，pag =450。apd和ape都是等边三角形，ad=dp=ap=pe=ea。四边形adpe是菱形。do垂直平分ap。gp=ag。apg =pag =450。pga =900。设bg=t，在rtbpg中，b=600，bp=2t，pg=。ag=pg=。，解得t=1。bp=2t=22。当bp=22时，bad=150。猜想：以dg、gh、he这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形adpe是菱形，aode，ado=aeh=300。bad=150，易得ago=450，hao=150，eah=450。设ao=a，则ad=ae=2 a，od=a。dg=dogo=（1）a。又bad=150，bac=600，ado=300，d