高中数学 332利用导数研究函数的极值课件 新人教B版选修1.ppt

1 知识与技能了解函数在某点取得极值的条件 会用导数求多项式函数的极大值 极小值 以及闭区间上多项式函数的最大值 最小值 2 过程与方法通过本节课的学习 掌握用导数求函数极大值 极小值和闭区间上的最大值 最小值的方法 3 情感 态度与价值观通过本节课的学习 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性 通过对函数的极值与最值的类比 体验知识间的联系 逐步提高科学地分析 解决问题的能力 本节重点 利用导数的知识求函数的极值 本节难点 函数的极值与导数的关系 利用函数的导数求极值时 首先要确定函数的定义域 其次 为了清楚起见 可用导数为零的点 将函数的定义域分成若干小开区间 并列成表格 判断导函数在各个小开区间的符号 求函数的最大值和最小值 需要先确定函数的极大值和极小值 极值是一个局部概念并且不唯一 极大值与极小值之间无确定的大小关系 极大值可能比极小值大 也可能比极小值小 f x0 0只是函数f x 在x0取得极值的必要条件 不是充分条件 例如 函数f x x3 f 0 0 但x 0不是f x x3的极值点 1 已知函数y f x 及其定义域内一点x 对于包含x0在内的开区间内的所有点x 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为 f x f x0 极大值 极大值点 f x f x0 极小值 极小值点 极值 极值点 2 假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条 该函数在 a b 上一定能够取得与 该函数在 a b 内是 该函数的最值必在取得 连续不断的曲线 最大值 最小值 可导的 极值点或区间端点 3 当函数f x 在点x0处连续时 判断f x0 是否存在极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极值 3 如果f x 在点x0的左右两侧符号不变 则f x0 函数f x 的极值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 小 不是 例1 求函数y x3 12x 6的极值 解析 1 y 3x2 12 3 x 2 令y 0 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y y的变化情况如下表 当x 2时 y有极小值 并且y极小值 f 2 10 而当x 2时 y有极大值 并且y极大值 f 2 22 规律方法 一般地 求函数y f x 的极值的步骤是 1 求函数y f x 的导数f x 2 解方程f x 0 得方程的根x0 可能不止一个 3 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 求函数f x x3 3x2 9x 5的极值 解析 f x 3x2 6x 9 解方程3x2 6x 9 0 得x1 1 x2 3 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 因为 当x 1时函数取得极大值 且极大值为f 1 10 当x 3时函数取得极小值 且极小值为f 3 22 例2 已知f x ax5 bx3 c在x 1处有极大值为4 极小值为0 试确定a b c值 分析 对参数的分类讨论是本题的难点 解析 f x 5ax4 3bx2 x2 5ax2 3b 由题意 f x 0应有根x 1 故5a 3b 于是f x 5ax2 x2 1 1 当a 0时 2 当a 0时 说明 本题从逆向思维的角度出发根据题设条件进行逆向联想 合理地实现了问题的转化 使抽象问题具体化 例3 求函数f x x4 2x2 3 x 3 2 的最大值和最小值 解析 f x 4x3 4x 4x x 1 x 1 由f x 0得x 0或x 1或x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 当x 3时 f x 取得最小值 60 当x 1或x 1时 函数f x 取得最大值4 规律方法 函数最值的求法求函数f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤如下 1 求函数f x 的导数f x 2 解方程f x 0 求出使得f x 0的所有点 3 求函数y f x 在 a b 内的极值 4 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的是函数的最大值 最小的是函数的最小值 求函数f x x3 3x2 6x 10在区间 1 1 上的最值 解析 f x 3x2 6x 6 3 x 1 2 3 所以f x 0在区间 1 1 上恒成立 即函数f x 在区间 1 1 上是单调递增函数 故当x 1时 函数取得最小值f 1 20 当x 1时 函数取得最大值f 1 6 例4 设函数f x 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值 1 求a b的值 2 若对于任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 当x 2 3 时 f x 0 所以当x 1时 f x 取得极大值f 1 5 8c 又f 0 8c f 3 9 8c 则当x 0 3 时 f x 的最大值为f 3 9 8c 因为对于任意的x 0 3 有f x 9 因此c的取值范围为 1 9 规律方法 1 不等式恒成立问题与函数最值有密切的关系 解决有关不等式恒成立问题 通常转化为最值问题来解 c f x 恒成立 c f x max c f x 恒成立 c f x min 2 高次函数或非基本初等函数的最值问题 通常采用导数法解决 上例改为 若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 如何解答 解析 由例题可知f x 2x3 9x2 12x 8c 若对于任意的x 0 3 都有f x c2成立 只需f x 在x 0 3 上的最小值大于c2即可 又当x 1或x 2时 f x 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 可见函数f x 在 0 3 上的最小值为8c f x c2恒成立 等价于8c c2 解得0 c 8 例5 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值为0 求常数a b的值 误解 因为f x 在x 1时有极值为0 且f x 3x2 6ax b 所以即解得或因此常数a 1时 b 3 a 2时 b 9 辨析 根据极值的定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 此题未验证x 1两侧函数的单调性 正解 由错解得当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1处取得极小值 因此a 2 b 9 一 选择题1 若函数y f x 是定义在r上的可导函数 则f x 0是x0为函数y f x 的极值点的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 如y x3 y 3x2 y x 0 0 但x 0不是函数y x3的极值点 答案 a 答案 b 二 填空题4 函数f x x x m 2在x 2处有极大值 则常数m的值为 答案 6 解析 f x x x m 2 x3 2mx2 m2x f x 3x2 4mx m2 由题意得 f 2 0 m 6或2 当m 2时 函数f x 在x 2处取极小值 故m 6 答案 0 1 三 解答题6 已知函数f x x3 3x2 9x 11 1 写出函数的递减区间 2