高中数学 —直线的方程教学课件 新人教A版必修2.ppt

直线的方程 一 复习提问 1 什么叫直线的倾斜角和斜率 2 已知直线上两个不同的点 x1 y1 x2 y2 x1 x2 求此直线的斜率 3 什么是直线方程 什么是方程的直线 4 已知直线l的方程为y x 2 点p 1 1 在l上吗 q 2 2 呢 为什么 5 对于直线l 如图 和b在l中分别表示什么 0 b l 6 方程y kx b与直线l之间存在着什么样的关系 7 直线l过点q 1 1 点p x y 且斜率为1 则x y有何关系 问 上述关系 1 是过q 1 1 的直线方程吗 为什么 分析 直线l的方程首先是直线上任意一点所应满足的方程 也就是动点p x y 所要满足的等式 但由于 当x 1时 式子没有意义 所以 此式还不是直线l的方程 将上述方程整理得 y 1 1 x 1 2 问 此方程是不是直线l的方程 直线的方程 验证 直线l上包括q在内的每一点的坐标都是方程 2 的解 反之 以方程 2 的解为坐标的点都在直线l上 所以方程 2 就是经过点q 1 1 且斜率为1的直线l的方程 请同学们完成下面问题 已知直线l经过点p x1 y1 斜率为k 求直线l的方程 总结 过点p x1 y1 斜率为k的点斜式方程为y y1 k x x1 说明 1 此方程叫直线方程的点斜式 2 已知直线过一点及斜率可求直线方程 垂直于x轴的直线除外 此时直线的方程是 x x1 直线的倾斜角为00时 直线的倾斜角为900时 没有斜率 此时直线的方程是 例1求分别满足下列条件的直线方程并画图 1 经过点 2 1 斜率为 3 2 经过点 0 1 斜率为0 3 经过点 2 2 倾斜角为60 4 经过点 2 0 倾斜角为90 5 经过点 2 0 倾斜角为0 练习 求满足下列条件的直线方程 1 经过点a 0 2 倾斜角为 2 经过点b 0 3 斜率为2 3 经过点c 0 b 斜率为k 总结 直线方程的斜截式 y kx b称b为直线l在y轴上的截距 这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的 所以叫直线方程的斜截式 说明 1 已知直线斜率及在y轴上的截距 可用斜截式求直线方程 2 直线方程的斜截式是点斜式的特殊情况 练习 已知直线l的斜截式方程为 求直线l的斜率 倾斜角和直线在y轴上的截距 点评 1 斜截式与一次函数y kx b形式一样 但有区别 2 由斜截式可知x的系数 即为直线斜率 3 截距与距离不一样 截距可正 可零 可负 如 y 3x 1 y 3x y 3x 1 而距离不能为负 4 截距分横截距和纵截距 纵截距为直线与y轴交点的纵坐标 即令x 0 横截距为直线与x轴交点的横坐标 即令y 0 小结 1 直线方程的两种形式 点斜式 y y1 k x x1 斜截式 y kx b2 点斜式和斜截式都是在斜率存在时方可用 7 2直线的方程 1 注 在使用这两种形式求解直线方程时 若斜率存在与否难以确定 应分 斜率存在 和 斜率不存在 这两种情况分别考虑 以免丢解 练习 p39 40t1 2 作业布置 p44t1 2 3 4 5 解 由题意知直线l与两坐标轴不垂直 于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为 无解 例2 例3 已知直线l经过点p 3 2 并且与两坐标轴的正半轴分别交于a b两点 若 aob面积为16 求l的方程 变式题 求使 aob面积最小时的直线l的方程 直线的方程 直线的方程 直线的方程 二 1 1 直线方程的点斜式 2 直线方程的斜截式 已知直线上一点p x1 y1 与斜率k 直线方程为 已知直线斜率k与在y轴上的截距为b 直线方程为 y y1 k x x1 y kx b 复习回顾 直线的方程 直线l经过两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 并且x1 x2 所以它的斜率代入点斜式得 当时 方程可以写成 说明 1 这个方程是由直线上两点确定 叫两点式 2 当直线没斜率或斜率为0时 不能用两点式来表示 直线l经过p1 x1 y1 p2 x2 y2 x1 x2 两点 求直线l的方程 分析 二 直线方程的两点式和截距式 问题1 对直线的两点式方程公式的理解 2 直线的两点式方程中 要求x1 x2 y1 y2 倾斜角是0 或90 的直线不能用两点式公式表示 即这个方程不能表示平行于y轴 平行于x轴的直线 当x1 x2时 直线平行于y轴 直线的方程为x x1 x2 当y1 y2时 直线平行于x轴 直线的方程为y y1 y2 3 直线的两点式方程比较复杂 同学们要注意它的特征 对称和美观 体现了数学美 做好记忆 1 方程中的x y代表直线l上动点的坐标 x1 y1 x2 y2代表两个已知点的坐标 4 如果把两点式进行一下变形为 就可以表示为任意的直线了 已知直线l与x轴的交点为 a 0 与y轴的交点为 0 b 其中a 0 b 0 求直线l的方程 解 由两点式得 即 说明 1 这一直线方程是由直线的纵截距和横截距所确定 叫直线方程的截距式 2 截距式适用于纵 横截距都存在且都不为0的直线 问题2 2它不能表示a b不存在或为零的直线 即表示不了倾斜角及和过原点的直线 3对于a b来说 可能有一者不存在但不可能都不存在 可能都存在且a 0时b 0同时成立 1截距式 它是两点式的特殊形式 其中的两点为和 形式非常对称 美观 其中a是横截距 b是纵截距 4对于任意一条直线l的方程应设为或x a或y b或y kx 理解 1 求经过下列两点的直线的两点式方程 再化斜截式方程 1 p 2 1 q 0 3 2 a 0 5 b 5 0 3 c 4 5 d 0 0 答案 课堂练习 2 根据下列条件求直线方程 1 在x轴上的截距为2 在y轴上的截距是3 2 在x轴上的截距为 5 在y轴上的截距是6 答案 由截距式得 整理得 由截距式得 整理得 三 世间万物是相互联系的 我们已经学习了直线方程的应当把它们勾通起来 相互进行转换 例2 已经直线l过a 1 3 b 2 1 两点 求直线l的的两点式方程 并把它转化为直线的斜截式 截距式和点斜式 解l过a 1 3 b 2 1 两点 由两点式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 由4x y 7 0化为y 4x 7 即直线的斜截式 由4x y 7 0中 x 0y 7 即b 7 直线的点斜式方程为 y 1 4 x 2 点斜式方程唯一吗 三角形的顶点是a 5 0 b 3 3 c 0 2 求这个三角形三边所在的直线方程 解 c 0 2 b 3 3 5 0 a 直线ab经过a b两点 由两点式得 整理得3x 8y 15 0 这就是ab的直线方程 直线bc经过b c两点 由两点式得 整理得5x 3y 6 0 这就是bc的直线方程 同理可得 ac的直线方程为2x 5y 10 0 例题 点评 直线ac 截距式较好 直线bc 斜截式较好 直线ab 两点式较好 课堂小结 直线方程四种形式的特点 点斜式和斜截式表示直线时 斜率存在是关键 所以对于垂直于x轴的直线要另加说明 两点式表示直线时 前提条件是这两点的横坐标不能相等 纵坐标也不相等 所以它不能表示平行于坐标轴的直线 截距式表示直线时 直线在x轴 y轴上的截距可正 可负 但绝不能为零 所以它不能表示任何平行于坐标轴和过原点的直线 第一种 点斜式 第二种 斜截式 第三种 两点式 第四种 截距式 直线方程的几种形式 y y1 k x x1 1 这个方程是由直线上一点和斜率确定的 2 当直线l的倾斜角为0 时 直线方程为y y1 3 当直线倾斜角90 时 直线没有斜率 方程式不能用点斜式表示 直线方程为x x1 1 点斜式 y kx b 说明 1 上述方程是由直线l的斜率和它的纵截距确定的 叫做直线的方程的斜截式 2 纵截距可以大于0 也可以等于0或小于0 2 斜截式 说明 1 这个方程是由直线上两点确定 2 当直线没斜率或斜率为0时 不能用两点式来表示 3 两点式 说明 1 这一直线方程是由直线的纵截距和横截距所确定 2 截距式适用于纵 横截距都存在且都不为0的直线 4 截距式 解 例1 三角形的顶点是a 5 0 b 3 3 c 0 2 求这个三角形三边所在直线的方程 例2三角形的顶点是a 5 0 b 3 3 c 0 2 求这个三角形三边所在直线的方程 补充 1 求经过点 4 3 且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程 2 过点p 2 1 作直线l交x轴 y轴的正半轴于a b 当的值最小时直线l的方程 直线的方程 三 能否统一写成 7 2直线的方程 3 第一种 点斜式 第二种 斜截式 第三种 两点式 第四种 截距式 一 复习回顾 直线方程的四种形式 直线的方程一般式 1 直线与二元一次方程的关系 在平面直角坐标系中 对于任意一条直线都有一个表示这条直线的关于x y的二元一次方程 二 新课讲解 当 可以写成 当 可以写成 一 二 上两式都可看作关于x y的二元一次方程 其中 二 式中y前的系数是0 2 证明 任何关于x y的一次方程都表示一条直线 其中a b不同时为0 表示与y轴平行或重合的直线 一般式 例1 已知直线经过点a 6 4 斜率为求直线方程的点斜式和一般式方程 解 直接代入点斜式方程有 点斜式方程 评述 一般前的系数为正 系数及常数都不为分式 一般按常数排列 三 范例讲解 说明 1 直线的点斜式 两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点 因此是不唯一的 一般不作为最后结果保留 须进一步化简 2 直线方程的一般式也是不唯一的 因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解 一般方程可作为最终结果保留 但须化为各系数既无公约数也不是分数 3 直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的 如无特别要求 可作为最终结果保留 解 思考 直线方程ax by c 0的系数a b c满足什么关系时 这条直线有以下性质 与两条坐标轴都相交 只与x轴相交 只与y轴相交 是x轴所在直线 是y轴所在直线 答 ab 0 a 0 b 0 b 0 a 0 b 0 a c 0 a 0 b c 0 例2 已知直线的斜率为 且和坐标轴围成面积为3的三角形 求该直线的方程 由题意知所围成的三角形为直角三角形 而根据直角三角形的面积公式 直线方程应设为截距式较好 解 设直线方程为 直线的斜率 又s 解得或 所求直线的方程为 或 分析 四 课堂练习 p43 1 2 3 六 课外作业 p44 11 12 知道直线方程的一般式及由一般式化其它形式 及求斜率 截距等 五 课堂小结 例2 把直线的方程化成斜截式 求出直线的斜率及它在轴与轴上的截距 解 由 有 故的斜率 纵截距为3 令则 即横截距为 6 例3 设 是轴上的两点 点的横坐标为2 且若直线的方程为求直线的方程 解 由得 故 又两直线的倾斜角互补 故 即 例4 直线方程为若直线不过第二象限 求的取值范围 解 由 得 故直线过定点 则直线的斜率范围为 即 其倾斜角 直线的方程 四 目的要求 1 复习掌握直线方程的四种特殊形式 并能运用这四种形式熟练地求出直线的方程 2 会由直线的方程求出直线的斜率 倾角 截距等 并能根据方程画出方程表示的直线 重点难点分析 教学重点 直线方程的点斜式和斜截式方程及应用 教学难点 几种形式的正确理解和熟练运用 以及恰当选取 一 知识要点回顾 特别地 当直线的斜率不存在时 不能用点斜式表示 此时方程为 x x1 2 斜截式方程可看作是点斜式的特殊情况 表示过 0 b 点 斜率为k的直线 y b k x 0 即y kx b 其特征是方程等号的一端只是一个y 其系数是1 等式的另一端是x的一次式 而不是x的一次函数 如 y c是直线的斜截式方程 而2y 3x 4不是直线的斜截式方程 斜截式方程形式上的最大特点是 斜率k让人一目了然 4 直线的截距式是过点 a 0 0 b a 0 b 0 两点的两点式 用截距式最便于作图 要注意截距式是坐标而不是长度 当斜率不存在或为0时 直线不能用截距式表示 3 直线的两点式方程的条件为 x1 x2 y1 y2 1 直线方程的几种特殊形式都有其局限性 使用时要注意分类讨论的意识的培养 二 直线方程形式的灵活选取技巧 2 一般地 已知一点通常选择点斜式 已知斜率选择斜截式或点斜式 已知截距或两点选择截距式或两点式 另外 从所求的结论来看 若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长 则应选用截距式 3 待定系数法是求直线方程最基本 最常用的方法 但要注意选择形式 一般地 已知一个点就待定k 但应注意讨论k的存在性 若已知斜率k 一般选择斜截式 待定纵截距b 若已知直线与坐标轴围成三角形的问题就选择截距式 待定横纵截距 一般来说 几个待定系数就应列几个方程 几种均可用时 要优选 4 截距式中 周长 面积表达式 直线在坐标轴上的截距相等时k 1或直线过原点 截距相等与截距绝对值等是两个不同的概念 例题精讲 1 在y轴上的截距为 5 倾斜角的正弦为3 5 例题1 求适合下列条件的直线的方程 2 在x轴上的截距比在y轴上的截距大1 且过点a 6 2 3 经过点a 1 3 倾斜角等于直线y 3x的倾角的2倍 目的 要善于根据题目的条件 选取恰当