第十一章BlackScholesMerton期权定价模型PPT课件.ppt

1 第十一章Black Scholes Merton期权定价模型 2 本章思想的来源 1 Black FischerandMyronScholes ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities J JournalofPoliticalEconomy 1973 Vol 81Issue3 pp 637 654 2 Merton Robert TheoryofRationalOptionPricing J TheBellJournalofEconomicsandManagementScience 1973 Spring Vol 4Issue1 pp 141 183 3 FisherBlack 1938年1月11日 1995年8月30日 美国经济学家 Black Scholes模型的提出者之一 他毕生坚持奋战在华尔街 在金融领域他是 搞实务的 而不是 做学术的 然而 他却创建了迄今为止最正确 最经典 应用最广 成就最高的模型 Black Scholes模型 在他因肺癌去世一年后 诺贝尔经济学奖颁给了参与创建模型的两位学者Scholes和Merton Black是位充满传奇色彩的人物 他从未受过正式的金融和经济学训练 但却在几年之内创立了现代金融学的基础 他在生活中处处规避风险 却在学术研究和商业实践中勇敢的挑战前册 他能轻易地获得芝加哥大学和MIT的终生教授头衔 也能自如地放弃 再次投身到金融衍生品革命的大潮 他频繁地在象牙塔和华尔街之间穿梭 游弋 给那些以为理论和实践是两个截然世界的人出了大大的难题 4 MyronScholes 1941 由于他给出了著名的Black Scholes期权定价公式 该法则已成为金融机构涉及金融新产品的思想方法 由此获得1997年的诺贝尔经济学奖 求学与供职简历 1941年出生于加拿大 1962年在Mc Master大学获学士学位 1964年获芝加哥MBA学位 1968年获芝加哥大学商学院金融学博士学位 1969年获芝加哥大学经济学博士学位 1972 1983执教芝加哥大学 1983年至今执教斯坦福大学 5 RobertMerton 1944 对Black Scholes公式所依赖的假设条件作了进一步减弱 在许多方面对其做了推广 1997年诺贝尔经济学奖获得者 1944年出生于美国纽约 小时候对数学特别感兴趣 1966年毕业于哥伦比亚大学工学院 并获工程数学学士学位 在哥伦比亚大学默顿曾经上过Chia kunChu教授的热传导课 从而教会了他偏微分的方程和其他高深的数学理论 也正是在这位教授的鼓舞和推荐下 默顿大学毕业后去了加州理工学院攻读硕士学位 在加州理工学院学习时 他仍然十分关注金融市场 他早上6 30就去一个经纪公司进行股票和场外期权的交易 直到8 30再去学院工作 在那里他形成了对金融市场交易过程的直觉 这种直觉对他今后从事的期权定价理论研究有莫大的帮助 6 第一节B S M期权定价模型的基本思路 7 本章涉及到随机过程等较为复杂的概念 为了便于理解 我们首先对B S M模型的整体思路做一个简要的归纳 以便大家更好的掌握期权定价的内容 由于最终目标是为股票期权定价 而期权是其标的资产 即股票 的衍生工具 在已知执行价格 期权有效期 无风险利率和标的资产收益的情况下 期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化 股票价格是影响期权价格的最根本因素 8 通过观察市场中的股票价格可知 股票价格的变化是一个随机过程 相应地 受其影响的期权价格的变化过程也必然是一个随机过程 事实上 人们发现 股票价格的变化可以用数学上的一种随机过程 几何布朗运动较好的加以描述 其具体形式如下 dS S dt dz 11 1 其中 dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因素 9 根据伊藤引理 It Lemma 1961 当股票价格符合几何布朗运动时 作为股票衍生品的期权价格f将服从 11 2 可以发现 影响期权价格的随机因素也体现在等式右边的第二项的dz上 所以 股票价格及其衍生产品 期权价格都只受到同一种不确定性的影响 其区别在于随机因素dz前面的系数不同 也就是随机因素变化的反应程度不同 10 将式 11 1 和 11 2 联立方程组 在数学上很自然地会在式 11 1 的两边同时乘上 并将两式相减 这可以消去dz项 得到B S M微分方程 解此微分方程可以得到期权定价的公式为 11 第二节股票价格的变化过程 12 一 几何布朗运动对于股票价格的变化过程来说 人们通常用如下公式来进行描述 这是B S M期权定价模型的基础性假设 也是金融中最重要最普遍的假设之一 13 几何布朗运动图示 14 二 伊藤过程与伊藤引理普通布朗运动假设漂移率和方差率为常数 如果变量x的漂移率和方差率均为变量x和时间t的函数 就说变量x服从伊藤过程 It process 其中 dz仍为标准布朗运动 a和b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a 方差为b2 在此基础上 伊藤进一步推导出 若变量x遵循伊藤过程 则变量x和t的函数G x t 将遵循如下过程 11 6 15 11 7 这里 dz是一个标准布朗运动 可以看到和都是x和t的函数 因此 函数G也遵循伊藤过程 漂移率为 方差率为 这就是著名的伊藤引理 2020 2 9 16 17 案例11 1运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程 假设变量S服从 其中 都为常数 则lnS遵循怎样的随机过程 由于 和 为常数 所以S服从a S t S b S t S的伊藤过程 可以运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程 令G lnS 则 代入式 11 7 就可得到G lnS所遵循的随机过程为 18 案例11 2运用伊藤引理推导期货价格F所遵循的随机过程 假设无收益标的资产价格S股从 其中 都为常数 则该标的资产的期货价格F遵循怎样的随机过程 由于 和 是常数 S显然服从a S t S b S t S的伊藤过程 可以运用伊藤引理推导F所遵循的随机过程 由于F Ser T t 则 代入式 11 7 就可得到F所遵循的随机过程为 19 第三节B S M期权定价公式 20 一 Black Scholes Merton微分方程 推导B S M微分方程的假设 1 股票价格遵循几何布朗运动 即 和 为常数 2 允许卖空股票 3 没有交易费用和税收 所有证券都是完全可分的 4 在衍生证券有效期内标的股票没有现金收益 5 不存在无风险套利机会 6 证券交易是连续的 价格变动也是连续的 7 在衍生证券有效期内 无风险连续复利率r为常数 21 一 Black Scholes Merton微分方程的推导假设股票价格S遵循几何布朗运动 因此有 其在一个小的时间间隔 t中 S的变化值 S为 假设f是依赖于S的衍生证券的价格 则f一定是S和t的函数 从式 11 11 可得f遵循 在一个小的时间间隔 t中 f的变化值 f满足 11 12 11 13 22 构造一个衍生证券空头和单位标的证券多头的组合 令 代表该投资组合的价值 则 在 t时间后 该投资组合的价值变化 为 将式 11 12 和 11 13 代入式 11 15 可得 由于式 11 16 中不含有不确定性 因此 11 14 11 15 11 16 23 将式 11 14 和 11 16 代入上式得 化简为 11 17 这就是著名的B S M微分方程 它是衍生证券价格f所满足的微分方程 24 案例11 4风险中性定价 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元 我们知道在3个月后 该股票价格要么是11元 要么是9元 现在我们要找出一份3个月期协议价格为10 5元的该股票欧式看涨期权的价值 由于欧式期权不会提前执行 其价值取决于3个月后股票的市价 若3个月后该股票价格等于11元 则该期权价值为0 5元 若3个月后该股票价格等于9元 则该期权价值为0 25 为了找出该期权的价值 我们可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合 若3个月后该股票价格等于11元时 该组合价值等于 11 0 5 元 若3个月后该股票价格等于9元时 该组合价值等于9 元 为了使该组合价值处于无风险状态 我们应选择适当的 值 使3个月后该组合的价值不变 这意味着 11 0 5 9 所以 0 25因此 一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0 25股标的股票 无论3个月后股票价格等于11元还是9元 该组合价值都将等于2 25元 26 假设现在的无风险年利率等于10 则该组合的现值应为 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0 25单位股票多头 而目前股票市场为10元 因此 这就是说 该看涨期权的价值应为0 31元 否则就会存在无风险套利机会 27 二 Black Scholes Merton期权定价公式 一 无收益资产欧式看涨期权的定价公式式 11 17 给出了期权价格f所满足的方程式 解此偏微分方程 其结果为 其中 N 为标准正态分布变量的累积概率分布函数 式 11 20 就是B S M期权定价公式 11 20 28 案例11 5无收益资产的欧式期权定价 假设某只不支付红利股票的市价为50元 无风险利率为12 该股票的年波动率为10 求该股票协议价格为50元 期限1年的欧式看涨期权和看跌期权的价格 相关参数表达如下 S 50 X 50 r 0 12 0 1 T 1 计算过程可以分为三步 第一步 先算出d1和d2 29