解析几何教学中平面向量的渗透.doc

一堂提高学生运用向量知识能力的常态课 平面向量它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体。在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，如果运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。但实际情况是很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题，学生应用向量的意识不强。所以作为教师，在平时的解析几何教学中，应抓住时机，有效地发挥向量的价值，充分使用向量的工具作用。本人在苏教版必修2第2章平面解析几何初步的教学中大力渗透利用平面向量证明解析几何中的重要公式和解决平面解析几何中的问题。一、运用平面向量进行概念教学在直线的斜率、直线的方程、直线的平行与垂直、平面两点间距离、点到直线的距离和圆的标准方程等概念教学中一直运用平面向量作为工具，学生经过一段时间的研究、应用，对使用平面向量作为工具解决平面解析几何中的问题有了一定的熟练于理解。其中在点到直线距离公式及其应用的教学中，学生对解决问题思路的多样化和运用平面向量自觉性上让我非常赞叹。现记录整理如下：多媒体显示：已知点P(x0，y0)，直线：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况学生解决板书：如何求？学生思考回答下列想法：学生甲（学生代表）：思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得教师评价：此方法思路自然教师继续提出问题：(1)求线段长度可以构造图形吗？(2)什么图形？如何构造？(3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中第三个顶点在什么位置？可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N，或过P点做x,y轴的平行线与直线的交点R、S教师根据学生提出的方案，收集思路学生代表乙：在直角PQM,或直角PQN中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值学生代表丙思路三：在直角PQR,或直角PQS中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值学生代表丁思路四：在直角PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长学生各自选择思路之一进行推理计算。选择两种供学生讨论。（思路一）解：直线：，即由，（思路四）解：设， ，；， 由， 而 说明：如果学生没有想到思路二、三，教师提示做课后思考作业题目教师提问：上式是由条件下得出，对成立吗？点P在直线上成立吗？公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？由此推导出点P(x0，y0)到直线：Ax+By+C=0距离公式：适用于任意点、任意直线教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？学生提出了用向量知识求解的办法（在前面学习的向量知识中，证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线的法向量的概念）思路五：已知直线的法向量，则，如何选取法向量？直线的方向向量，则法向量为，或，或其它由师生一起分析得出取教师板演：，由于点Q在直线上,所以满足直线方程,解得教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，充分体现了向量的工具性和优越性。二、例习题教学中的运用在直线与圆的教学过程中，学生对很多问题运用向量进行解决，在此仅选一例。课本第72页习题（思考运用）7：已知圆C的方程是，求证：经过圆C上一点M（）的切线方程是。 学生甲:对M点的位置进行分类，主要原因是 切线斜率的存在性需要讨论。（解题过程略）。 教师提示学生继续思考，能否避免讨论。 学生进行交流合作，发现用向量作为工具可以达到目的，学生乙提供解题思考过程：在切线上任取与M点不重合的一点P(x,y)，建立 M O , P=(),=问题得证。上述运用向量的方法比另外方法更简洁，且容易理解。运用向量解决的问题非常多，又如下面的问题。1、（江苏新课程卷）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，若点满足，其中，且，则求点的轨迹方程。2、已知，过作交轴于，自作交轴于，求中点的轨迹方程。教师反思：新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。那么如何树立应用向量的意识，通过平时的教学我认为：第一、在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手，让学生体会向量的工具性。第二、应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识。第三、如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向