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19 1多边形的内角和 第19章四边形 生活中的平面图形 情景导入 在平面内 由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做三角形 在平面内 由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形 在平面内 由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做五边形 在平面内 由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做四边形 自主学习 顶点 内角 边 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 多边形的相关元素 外角 表示 五边形ABCDE A C B D E 如图1是凸多边形 图2不是凸多边形 今后如果不作说明 我们讲的多边形都是凸多边形 图2 如果把它任何一边双向延长 其他各边都在延长所得直线的同一旁 这样的多边形叫做凸多边形 图1 A C B D A C B D 如何求出任意五边形的内角和 你能想出几种办法 合作探究 活动1 探究多边形的内角和 2 3 4 n 2 360 540 720 n 2 180 从多边形的一个顶点出发 引出所有的对角线 从而把多边形分割为多个三角形 定理 n边形的内角和等于 n 2 180 n为不小于3的整数 说明 多边形的内角和仅与边数有关 与多边形的大小 形状无关 例 已知一个多边形 它的内角和等于900 求这个多边形的边数 解 设多边形的边数为n 因为它的内角和等于 n 2 180 所以 n 2 180 900 解得 n 7 这个多边形的边数为7 有一张长方形的桌面 现在锯掉它的一个角 有几种情况 剩下的残余桌面的内角和为多少 思考题 三角形的外角和是多少度 你是怎样探究出来的 A B C D E F 1 先把三角形的三个外角和三个内角这六个角的和求出来 刚好是三个平角 2 再用这六个角的和减去三个内角的和 剩下的就是三角形的外角和了 3 1800 3 2 1800 3600 活动2 探究多边形的外角和 那么你能研究出四边形的外角和吗 整体思路 1 先求4个外角 4个内角的和 2 再减去4个内角的和 容易看出 4个外角 4个内角 4个平角而4个内角的和是 4 2 180 那么四边形的外角和就是4 180 4 2 180 360 类比推理 五边形的外角和是多少度 六边形的外角和是多少度 n边形的外角和是多少度 5 1800 5 2 1800 3600 6 1800 6 2 1800 3600 n 1800 n 2 1800 3600 n边形的外角和等于360 证明 所以n个外角与n个内角的和是 n 1800 所以n边形外角和是 n 1800 n 2 1800 3600 而n边形的内角和是 n 2 1800 因为n边形的每个外角与它相邻的内角互补 n 3 知识要点 课堂小结 在平面内 由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形 n边形的内角和等于 n
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