定积分概念与性质.pptVIP

第6章定积分 6 1定积分概念与性质 6 2微积分基本公式 6 3定积分的换元积分法和分部积分法 6 4定积分的应用 6 5反常积分初步 目录 6 1定积分概念与性质 一 定积分问题举例 1曲边梯形的面积 设 在区间 上非负 连续 由曲线 及直线 所围成的 图形称为曲边梯形 下面我们讨论如何求这个曲 边梯形的面积 图6 1 在区间 内任意插入 个分点 这样整个曲边梯形就相应地被直线 分成 个小曲边梯形 区间 被分成 个小区间的长 这时它的面积可以用小矩形的面积来近似 在每个小 上任取一点 用 作为第 形的高 图6 1 则第 个小曲边梯形面积的近似值为 第 小区间 度 对于第 个小曲边梯形来说 当其底边长 足够小时 其高度的变化也是非常小的 区间 个小矩 个小曲边梯形的面积相加 得到整个曲 边梯形面积的近似值 从直观上看 当分点越密时 小矩形的面积与小曲 边梯形的面积就会越接近 因而和式 与曲 边梯形的面积也会越接近 记 当 时 和式 的极限即为曲边梯形的面积 即 这样 将 2变速直线运动的路程 设某物体作直线运动 已知速度 是时间 间隔 的连续函数 且 上 计算在这 段时间内物体所经过的路程 对于匀速直线运动 有公式 路程 速度 时间 但是在我们的问题中 速度不是常量而是随时间变 化着的变量 因此所求路程 是连续变化的 在很短的时间内 速度的 变化很小 因此如果把时间间隔分小 在小段时间 不能直接按匀速直线 以匀速运动近似代替变速运动 那么就可算出各部 分路程的近似值 再求和得到整个路程的近值 最 后 通过对时间间隔无限细分的极限过程 求得物 体在时间间隔 描述可以类似于上述求曲边梯形面积的做法进行 具体描述为 在区间内任意插入个分点 把区间 分成 个小区间 内的路程 对于这一问题的数学 各小区间的长度依次为 在时间间隔 上的路程的近似值为 其中 为区间 上的任意一点 整个时间段 上路程 的近似值为 记 当 时 和式 的极限 即为物体在时间间隔 内所走过的路程 即 二 定积分的定义 上面的两个例子 面积 路程 抛开这些问题的具体意义 抓住它们在数量上共同的本 定义1设函数 在区间 上有界 在 中任意插 入 个分点 分成 把区间 个小区间 各小区间的长度依次为 质与特性加以概括 我们可以抽象出下述定积分的概念 在每个小区间 上任取一点 作乘积 再作和式 6 1 记 如果不论对 怎样分法 也不论在小区间 上点 怎样取法 只要当 时 和 总趋于确定的极限 这时我们称 这个极限 为函数 在区间 上的定积分 简 称积分 记作 即 6 2 其中 叫做被积函数 叫做被积表达式 叫做积分变量 叫做积分下限 叫做积分上限 叫做积分区间 注当和式 的极限存在时 其极限值仅与 被积函数 及积分区间 有关 而与积分变量 所用的字母无关 即 如果 在 上的定积分存在 我们就说 在 上可积 相应的和式 也称为积分和 对于定积分 有这样一个重要问题 函数 在 上满足怎样的条件 上一定可积 在 定理1设 在区间 上连续 则 上可积 在 定理2设 在区间 上有界 且只有有限个间断 点 则 在 上可积 利用定积分的定义 前面所讨论的实际问题可以分 别表述如下 曲线 与 轴及两条直线 所围成的曲边梯形的面积 等于函数 在区间 上的定积分 即 物体以变速 作直线运动 从时刻 到时刻 物体经过的路程 等于函数 在区 间 上的定积分 即 三 定积分的几何意义 在区间 上 时 我们已经知道 定积分 在几何上表示曲线 及两条直线 与 轴所围成的曲边梯形的面积 在 上 时 由曲线 及两条直线 与 轴所围成的曲边梯形位于 轴的下方 定积分 在几何上表示上述曲边 梯形面积的负值 在 上 既取得正值又取得 负值时 函数 的图形某些部分在 轴上方 而其 他部分在 轴的下方 图6 2 如果我们对面积赋以正 负号 在 轴上方的图形面积赋以正号 在 轴下方 的图形面积赋以负号 此时定积分 表示介于 轴 函数 的图形及两条直线 之间的 各部分面积的代数和 图 6 2 四 定积分的性质 为了以后计算及应用方便起见 先对定积分作以下两 点补充规定 1 当 时 2 当 时 在下面的讨论中 积分上下限的大小 如不特别指明 均不加限制 并假定各性质中所列出的定积分都是存 在的 性质1函数的和 差 的定积分等于它们的定积分的和 差 即 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 是常数 性质3如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的 定积分等于这两部分区间上定积分之和 即设 则 按定积分的补充规定 不论的相对位置如何 总有等式 成立 例如 当 时 由于 于是得 性质4如果在区间 上 则 性质5如果在区间 上 则 推论1如果在区间 上 则 推论2 证因为 所以由推论1及性质2可得 即 性质6设 及 分别是函数 在区间 上的 最大值及最小值 则 证因为 所以由性质5及推论1得 再由性质2及性质4 即得到所要证的不等式 例1估计定积分 的值 解因 在 连续 所以在 上可积 又因为 所以 上单调减少 从而有 在 于是由性质6有 性质7 定积分中值定理 如果函数 在闭区间 上连续 则在积分区间 上至少存 在一点 使下式成立 这个公式叫做积分中值公式 证由性质6得 这表明 确定的数值 介于函数 的最 小值 及最大值 之间 根据闭区间上连续函数的 介值定理 在 上至少存在一点 使得函数 在点 处的值与这个确定的数值相等 即应有 两端各乘以 即得所要证的等式 图6 3