数列的通项公式和求和法.doc

专题一：数列通项公式的求法详解一、 观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）答案：（1） （2） （3） （4）.二 公式法1：特殊数列例2： 已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列，若函数f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，求数列 a n 和 b n 的通项公式；答案：an=a1+(n1)d = 2(n1)； bn=bqn1=4(2)n1例3. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ） (A) (B) (C) (D) 例4. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式简析：由题意，又是等比数列，公比为，故数列是等比数列，易得.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.公式法2： 知利用公式 .例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）. （2）答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.三 累加法(逐差相加法) 递推公式为 解法：把原递推公式转化为，利用累加法求解。简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例6：已知的首项，（）求通项公式。解： 例7. 若在数列中，求通项 .答案：=例8. 若在数列中，求通项 .例9已知数列满足，求此数列的通项公式 答案：四 累乘法(逐商相乘法) 递推公式为（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例10：在数列中， =1, (n+1)=n，求的表达式。解：由(n+1)=n得，= 所以点评：一般地，对于型如=(n)类的通项公式，当（相乘）的值可以求得时，宜采用此方法。由和确定的递推数列的通项可如下求得：练习：1 已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式. . 答案：2已知,求数列an的通项公式.分析：原式化为 令,则题转化为形式累积得解.五、构造特殊数列法（三个类型）类型1 递推公式为（其中p，q均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例11. 已知数列中，求数列的通项公式。解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型2 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：。引入辅助数列（其中），得：再应用 类型1的方法解决。例12. 已知数列中，,，求数列的通项公式。解：在两边乘以得：令，则,应用例11解法得： 所以类型3 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面 类型1的方法求解。例13. 已知数列中，,，求数列的通项公式。解：由可转化为即或，这里不妨选用（当然也可选用，），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用累加法，即 所以。类型4 倒数为特殊数列【形如】例14： 已知数列中且（），求数列的通项公式. 由已知得：，。为等差数列，公差为1， 所以 六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例15：数列满足,且,求数列an的通项公式.解析：由题得 时， 由、得.练习 数列满足,且,求数列an的通项公式七、待定系数法：例16：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、为常数），若数列为等比数列，则，。例17. 已知数列中，；数列中，。当时，, ，求数列、的通项公式。解：因所以 即（1） 又所以.即（2）由（1）、（2）得：， 专题二：数列求和方法详解（六种方法）一、公式法 很多求和问题可以利用(等差、等比)数列的前n项和公式解决,在具体问题中记住并熟练应用下列几个常用公式：; ; 例18: 已知数列的通项公式为,求其前n项和解: 二 倒序相加法 此法是在推导差数列的前n项和公式时所用的方法， 相加例19:已知，则 由原式练习 求的值 . 答案S44.5三、错位相减法方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例20 求和：()解析：由题可知，的通项是等差数列2n1与等比数列之积：设得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：. .练习：求数列前n项的和. 答案： 四、分组法求和方法简介：把一不能直接求和的数列的每一项分解成几个可以求和的新数列，分别求和.例21：已知数列的通项公式为,求其前n项和 解:+（）=此方法常用于解形如数列的前n项和(其中是等差数列,是等比数列).五、裂项相消法方法简介把数列的每一项拆为两项之差,求和时使大部分项能“正”、“负”相消, 变为求有限几项的和.常用裂项公式为：; ; 。;例22 （1） 求和=解:（2）已知数列的通项公式为，求其前n 项和解:分析 利