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例谈中学数学中的探究性问题丽水学院毕业论文例谈中学数学中的探究性问题摘要：随着课程改革和新课标的实施，探究性问题随之进入课堂，成为教师的一门必修课。求解此类问题具有一定的综合性。本文就中学阶段的四类探究性问题作一些具体的探求。关键词：中学数学 ； 探究 ； 探究性学习 ； 探究性问题 波利亚在他的著作中体现出的三个学习原则中的（1）如果“头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学习不到更多的东西”；（2）“学东西的最好途径是亲自去发现它”。探究性问题既可考查学生想象能力和探究能力，又能反映学生的创造性思维，具有一定的综合性。而探究性学习是培养学生主动学习，提高综合素质的一种行之有效的方法。所谓的探究性学习就是指主要以培养学生的数学创新精神和创造能力为目的的活动课程。本文抓住重点，从实际出发对探究性问题作一些具体的探求。列举了一些较典型的例子进行分析，求解。1、执因索果，直接探求 此类题目较简单，也是最基本的。它常常只需根据已知量及其它们之间的关系，综合运用所学知识，求出未知量。此类问题常用于基本的代数、几何题中。例1 据我国古代周髀算经记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。后人概括为“勾三、股四、弦五。”（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算，与，并根据你发现规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用（为奇数且3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合理猜想他们之间两种关系，并对你的猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过。运用类似上述探索的方法，直接用（为偶数且4）的代数式来表示他们的股和弦。解：（1），；，；7，24，25的股的算式为弦的算式为（2）当为奇数且3时，勾、股、弦的代数式分别，（2-1），（2+1）关系式1，弦-股=1；关系式2，勾2+股2=弦2证明关系式1：弦-股=（2+1）-（2-1）=（2+1）-（2-1）=1证明关系式2：勾2+股2=2+（2-1）2=（2+1）2=弦2猜想得证（3）探索得，当为偶数且4时，股、弦的代数分别为（）2-1，（）2+1。例2（2005年金华中考题）如图，在矩形ABCD中，AD=8，点E是AB边上的一点，AE=2。过D、E两点作直线PQ，与BC边所在直线MN相交于点F。（1）点G是线段AD上的一个动点（不运动至点A、D），GHDE，垂足为H。设DG为，四边形AEHG的面积为，请求出与之间的函数关系式。（2）如果AE=2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。问满足条件的O有几个？并求出它们的半径。 Q A D E H M F B C N P 图1解：（1）由矩形ABCD可得AED是直角三角形AE=2 ，AD=8 DE=6GHDE DHG也是直角三角形又HDG=ADE DHGDAE= =8=同理可得 而8-（2）有4个。若O在MB上且与PQ、AB相切，记为O1 ，半径为r1 。= = 而= 若O在BC上且与PQ、AB相切，记为O2 ，半径为r2 。 同可得 r2 =2若O在BC上且与PQ、CD相切，记为O3 ，半径为r3 。 可求得 r3 =3若O在BN上且与PQ、CD相切，记为O4 ，半径为r4 。 可求得 r4 =62、特例测探，由特殊到一般通过对特殊情况的观察、猜想、归纳、探索出一般的情况，从而使问题一般化，简单化。下面就数列中的规律性话题及代数中比较两个代数式大小的问题举两个代表性的例子进行分析，求解。例3.1 求数列9，99，999，9999，的前项和 解：仔细观察题目，因为它既不是等差也不是等比数列，所以不能用等差或等比数列的求和公式来解决。如果能适当转化一下也许就能解决了。9最接近10，99最接近100，999最接近1000，而10，100，1000是等比数列。 问题已经顺利解决，对于像这样一类既不是等差也不是等比数列的数列求和问题可以运用转化的方法把它化归为我们比较熟悉的等比数列或等差数列来进行求解。例3.2 如果把9改为3，即 求3，33，333，3333，的前项和解：9是3的倍数 则 9和3是特殊数字，若改为其他数字呢？例3.3 比如 求4，44，444，4444，的前项和解： 则 前面已经解决了关于数字9和3的问题，对于数字为3的问题可以乘3变为9的问题，而其他数字都可以变为数字9的问题来解决，比如4可以乘以，5可以乘以，这样任何数字问题就能解决了。以上解决的是一位数的情况，如果是两位数怎么办？例3.4 如 求数列12，1212，121212，的前项和 有了以上两题的求解做准备，此题也不难想到通过化归的数学思想，可以归结为同一类题，进而使该题简单化。解： - 如果是三位数又该怎么办？例3.5 如 求247，247247，247247247，的前项的和解： 根据上面的规律不难想到 =推论：如果重复数字是位数时，归纳出的表达式 =例4 试比较与的大小解：由=1-，=1-可知，比较与的大小，只需比较与的大小经计算得，时，；时，；时；时，；时，；时，；由此猜想 当时，证明：（1）当时，因为，而， 所以成立 （2）假设（5）时，成立。则当时，而所以成立即时，成立所以对一切，成立综上得：当=2或4时，=；当时，；当或时，。3、在探求中思疑，在思疑中启悟 求解最值问题有很多种方法，运用均值不等式求解是最基本的，也是最常用的。对于这类问题的求解要谨慎，一不留神就会出错。例5 已知，+=1 求证（+）（+） 思路1 直接用均值不等式 ， +2 ，+2 （+）（+）22=4思路1失败，于是再作新的尝试 思路2 展开后再用均值不等式（+）（+）=+， +2 +2 仍然只能证出（+）（+）4尝试再度失败 反思：观察发现中+2 ，当且仅当=1时取等号 同理=1时才有+2取等号 又+=1 ， 不可能 中 +2 ， 当且仅当=时，取等号 而+2 ，当且仅当=1时，取等号 所以矛盾经检查发现以上失败原因是不能同时取等号正解：（+）（+）=+2 ， 当且仅当=时 即 当且仅当=时 取等号+=+2+4=（+）（+）2+=4、数形结合的数学思想 科学家们把问题的数量关系转化为图形的性质问题，或者把图形的性质问题转化为数量关系问题，是数学活动中一种十分重要的思维策略，这种处理问题的思想方法就是数形结合的思想方法。数形结合是初等数学及高等数学中十分重要的思想方法，在数学问题解决中具有独特的策略指导与调节作用。而此思想常常用于综合题型的探求。例6 为赴韩国观看中国足球队参加世界杯比赛，8名球迷分别乘坐两辆小汽车一起赶往机场.其中一辆小汽车在距机场15千米的地方出了故障，此时，距规定到达机场的时间仅剩42分钟，但惟一可以使用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘坐5人.这辆汽车分两批送8人去机场，平均速度60千米/时，现拟两种方案，问是否能都使8名球迷在规定的时间内赶到机场？（1） 如图2，小汽车送走第一批人后，第二批人在原地等待汽车返回接送； 出故障点 相遇点 机场 图2（2） 如图3，小汽车送起第一批的同时，第二批人以5千米/时的平均速度往机场方向步行，待途中遇返回的汽车时上车前行. 故障点 相遇点 机场 图3解：（1）方法1：小汽车来回的路程为（千米），所需时间为（小时），即（分钟）（分钟） 所以这8名球迷不能在规定时间内赶到机场.方法2：设小汽车送这两批人到机场所用时间为小时，依题意，得 ，（小时）即（分钟）（分钟）所以这8名球迷不能在规定时间内赶到机场.（2）方法1：设小汽车从出故障地点到达机场所返回与第二批人相遇所需时间小时。依题意，得 ，（分钟） 全过程所需的时间是（小时） 即 （分钟）（分钟） 所以这8名球迷能在规定时间内赶到机场.方法2：设小汽车从机场返回与第二批人相遇所需时间小时 依题意，得 ，解得：（小时） 全过程所需的时间为（小时） 即 （分钟）（分钟）所以这8名球迷能在规定时间内赶到机场.总上所述：一个好的数学问题，应该具有较强的启发性、研究性、思考性和发展性，给学生一个充分自由探索和展现思维的空间，有利于创新能力的发挥。应运而生的数学探究性问题形式多样、内容新颖、思维开放、思想创新，它已成为课程改革后的一个新亮点。参考文献：1 孙红强.让学生在研究数学知识的“生长过程”中学习J.数学通报，2003，（9）2 周美玲.谈目前数学研究性学习中出现的问题及对策J.中学数学杂志，2003年第4期3 肖九河，肖漫楚.初中数学开放、探究性题M.龙门书局出版社4张富成,孙成娟.解探索性问题的若干策略J.中学数学研究,2001，（6）5李怀忠,一节意外的探究性习题课J.数学教学通讯,2006年2月上半月6余元希,田万海,毛宏德.初等代数研究下册M.高等教育出版社7汤文卿.中考数学猜想题的类型与功能J.中学数学月刊，2006，（2）Cases about the Probing Problem in the Middle School MathematicsQian Yangjun College of Science and MathematicsMathematics education 031 Supervisor: Lan ChunxiaAbstract: With the implementation of the curriculum reform , probing problem is applied to the classroom, which become a teachers compulsory course. Solving such issues need