江苏省高三一轮数学复习专题材料专题12_几何证明选讲.doc

专题12几何证明选讲（加试内容选修4-1）昆山震川高级中学蒋国强【课标要求】1课程目标本专题的内容包括：相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识、圆锥截线通过本专题的教学，使学生能证明一些反映圆与直线关系的重要定理，有助于培养学生的逻辑推理能力；使学生不仅理解逻辑演绎的程序，而且体验大量的观察、探索、发现的创造性过程；通过对圆锥曲线性质的进一步探索，使学生提高空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力2复习要求（1）相似三角形的进一步认识：了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理教学中，可以使用如下定理作为推理的依据：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（2）圆的进一步认识：理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形性质定理与判定定理教学中，可以使用如下定理作为推理的依据：从圆外一点引圆的两条切线长相等若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆特别的，对定线段张角为直角的点共圆（3）圆锥截线（本节内容不作要求，可以选择部分内容教学）：了解平行投影的含义；了解平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）了解平面截圆锥面的定理（简称圆锥截线定理）3课标教学建议（1）本专题的部分内容，学生在初中已经初步了解其内容，并且在学习中侧重于观察、实验和操作，而本专题不仅是初中所学知识的深化，而且侧重于逻辑推理与抽象思维教学中应使学生逐步适应这一思维层次的提升（2）本专题的教学，应按照从简到繁、从具体到抽象、从实验到论证的过程进行，要使学生在学习具体的平面几何内容中体会数学的思想方法，从而进一步培养创新思维的意识和能力（3）几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过程中，相似三角形（或全等三角形）的使用不宜超过2次，添置的辅助线不超过3条（4）圆锥截线定理的证明，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力对这部分内容可以选择开设相关讲座或指导学生阅读【典型例题】例1 如图，设的外接圆的切线与的延长线交于点的平分线与交于点求证： 证明：如图， 是圆的切线， ,又是的平分线， BCEDA 从而 , ,故 是圆的切线，由切割线定理知, , 而,PEODCBAF例2 如图所示，已知与O相切，为切点，为割线，弦，相交于点，为上一点，且.(1)求证：；(2)求证：；(3)若，求的长.解 （1），是公共角， =， = = （2）=， =， :=:即=弦相交于点， （3）， =9， =6 ，96=4解得：= ，由切割线定理得：， ABCDEFO1O2G例3如图，已知为的边上一点，经过点，交于另一点，经过点，交于另一点，与交于点(1)求证：=；(2)若的半径为5，圆心到直线AC的距离为3，=l0，切于，求线段的长解：（1）连接，四边形分别内接于圆圆，又，即四点共圆，（2）圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，由垂径定理知，又，切圆于，例4如图，中，将三等分，是边上的中线，与分别交于，求的值 解如图，过点作交于，交于，则 设， ， 解得 故【专题训练】1已知是圆O的切线，切点为，=2是圆O的直径，与圆O交于点，=1，则圆O的半径R = _2如图，是半圆的直径，点在半圆上， 于点，且，设， 则 3如图，在四边形中，/， /，则 OABCD4如图，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，=2，=3 求以及的长 5如图，若是以为直径的半圆O上一点，于点，直线与过点的切线相交于点为中点，连接并延长交于点，直线交直线于点（）求证：是的中点；（）求证：是O的切线6从外一点向圆引两条切线、（、为切点）和割线与交于、两点从点作弦平行于，连结交于,连结,求证：()；()BACDOPEF7已知：如图，O与P相交于两点，点在O上，O的弦切P于点及其延长线交P于两点，过点作交延长线于点若，求的长8如图，O1与O2交于两点，直线与这两个圆及依次交于求证： 9如图，在中，点O是外心，两条高 交于点，点分别在线段上，且满足求的值几何证明选讲专项训练参考答案答案：1 2 31 4由切割线定理得:， ， ，分 ， ， ，得5 证明:（）， 是中点（）是直径，90=90= =90，是O的切线6证明：()、与分别切于点、， , ， 又， ， () 由()知四点共圆； 即，