与圆有关的位置关系 (12).doc

24.2与圆有关的位置关系 教学设计教学目标：1知识与技能探索点、直线与圆的三种位置关系及这三种位置关系对应的圆的半径r与点到圆心的距离d之间的数量关系；知道圆与圆的位置关系；叙述切线的判定和性质。2过程与方法经历探索点、直线与圆的三种位置关系的过程，体会数学分类讨论思考问题的方法；通过探究与实践，学习切线的性质；通过实例操作体会如何数量关系来判断圆与圆的位置关系。3情感、态度与价值观通过本节课的学习，渗透数形结合的思想和运动变化的观点的教育；从运动的观点及量变到质变的观点来理解直线与圆的三种位置关系相离相切、相交的概念；通过本节知识的学习，学会类比思想方法的运用，发展空间观念和推理能力。教学重点：点、直线和圆与圆之间的位置关系；掌握切线的判定定理、性质定理、切线长定理。教学难点：理解切线的性质定理和判定定理。教学方法：引导式教学、反证法教学。教学准备：投影仪、电脑，直尺。教学安排：5课时。教学过程：第一课时：教学设计思想：本课从问题情景：要学生解难入手，建立模型，设下悬念，然后让学生探究二个问题，将探究的结论应用解决实际问题。本课的一个关键点就是围绕着学生活动来展开，由学生身边的事所引出的数学问题使学生体会到数学与生活的紧密和谐的关系。朴素的问题情景（射击）自然对学生产生了一种情感上的亲和力和感召力，增强了学生自主参与性；通过观察、操作、思考、解释、合作等教学活动过程，使学生体会到了创造的乐趣和成功的喜悦，还能感受到数学与自我生存的关系。.创设问题情境，引入新知我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉。下图就是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？学生积极发言。学生甲：射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示。学生乙：射击成绩用弹着点位置对应的环数表示，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩就好。教师提问，学生思考：在这个图中有哪些图形？（圆、点）这个图形体现了平面上的点与圆的位置关系，我们今天这节课就来研究这个问题，板书课题：点与圆的位置关系。.合作探索交流，探索新知活动一：教师：我们知道，圆上所有的点到圆心的距离都等于半径。看下图，设O的半径为r，点A、B、C在圆的什么位置上？学生回答：点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外。教师活动：很明显，OAr。教师提问：那同学们请想一想，怎样判断点和圆的位置关系呢？学生回答：我们反过来考虑，如果已知点到圆心的距离和圆的半径，那样，就可以直接判断点和圆的位置关系。教师活动：设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：（1）点P在圆内dr。教法：教师采用反证法的教学方法，使学生们学会判断点和圆的位置关系。对学生掌握此点可能有一定的难度，教师应该注意。活动二：（1）如图（1），作经过已知点A的圆，这样的圆你能作出多少个？（2）如图（2），作经过已知点A、B的圆，这样的圆你能作出多少个？它们的圆心分布有什么特点？学生甲回答：经过已知点A的圆，我们能画出无数个。学生乙回答：经过已知点A、B的圆，也能画出无数个。它们的圆心都分布在一条直线上。教师提问：那经过不在同一条直线上的三个点能确定一个圆吗？如果能，如何确定圆心呢？学生小组思考，讨论，得出结论。学生回答：经过实验，经过不在同一条直线上的三个点能确定一个圆。教师活动：三点A、B、C不在同一条直线上，因为所求的圆要经过A、B、C三点，所以圆心到这三点的距离要相等。因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上。我们分别作出线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线，设它们的交点为O，则OA=OB=OC。于是以点O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆，便可作出经过A、B、C三点的圆。由于过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只有一个，即：不在同一直线上的三个点确定一个圆。由上图我们可以看出，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆（circumcircle），外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心（circumcenter）。教师提问：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？学生思考，然后师生共同完成证明的过程。证法：如上图，假设过同一直线l上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上，即点P为与的交点，而l，l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。所以，过同一直线上的三点不能作圆。教师：同学们，是不是觉得今天我们所采取的证明方法与以前的有所不同呢？教师解释：上面的证明“过同一直线上的三点不能作圆”的方法与我们所学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所做的假设不正确，从而得出原命题成立。这种方法叫做反证法。.练习1画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形。2体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？3如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？4过任意四个点是不是一定可以画一个圆？请举例说明。板书设计：点和圆的位置关系一、创设情境 活动二、二、探究新知活动一： 三、练习第二课时：教学设计思想：本节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上，进行的为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课。本节课的教学目标是知道直线和圆相交、相切、相割的定义，会根据定义来判断直线和圆的位置关系；会根据直线与圆相切的定义，画出已知圆的切线；会根据圆心到直线的距离与圆半径之间的数量关系，揭示直线和圆的位置关系；此外，通过直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的位置关系，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点；通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和化归思想的认识。一、创设情境，导入新课1如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？师：能不能结合我们学过的知识，把它们抽象出几何图形，再表示出来呢？教法：让学生尝试，日出情境画出了几种情况？理由是什么？（看圆与直线交点的个数）。引导学生把太阳看作一个圆，把地平线看作是一条直线，由此得出直线和圆的位置关系。2如下图，在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现钥匙环移动的过程中，它与直线l的公共点个数的变化情况吗？教法：让学生感受到实际生活中存在的直线与圆的三种位置关系。便于学生用运动的观点观察圆与直线的位置关系，有利于学生把实际问题抽象成数学模型，也便于学生观察直线与圆的公共点个数的变化。二、新授通过观察，知道直线和圆的位置关系有哪几种吗？分别怎样定义？教法：让学生自己作出判断并说出直线与圆相离、相切、相交的定义，尽可能地有学生来概括和叙述，这样有利于提高学生的语言表达能力。教师要强化切线的定义，要让学生理解“唯一”即“有一个且只有一个”的意思。另外，要说明只有当直线与圆相切时，才能把直线叫做圆的切线。它们的公共点叫做切点。当直线与圆有两个公共点时，我们说直线与圆相交；这条直线叫做圆的割线。当直线与圆有唯一公共点时，我们说直线与圆相切，这个公共点叫做切点；直线叫做圆的切线；当直线与圆没有公共点时，我们说直线与圆相离。直线与圆的位置关系除了用公共点来判定以外有没有其它方法呢？学生尝试，如果讲不出来，就引导学生复习点和圆的位置，除了直接观察，还可以通过圆心到点的距离d与圆的半径r的数量关系来判定。教师活动：演示课件“直级与圆的位置关系”。用r表示圆的半径，用d表示圆心到直线的距离。1如下图，对应于直线与圆的三种位置关系，r与d之间的数量关系分别是怎样的？2填表：语言描述图形表示公共点个数r与d的数量关系直线与圆的相交直线与圆的相切直线与圆的相离3如果r与d的关系分别是rd，那么直线与圆的位置关系分别是怎样的？教法：说明点到直线的距离，强调d是圆心到直线l的距离。在这个过程中，为了归纳出直线与圆的位置关系，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神。经过类比，学生归纳出结论：如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有（1）直线l与O相交 dr从右端可以推出左端。上述三个关系式中“”是直线与圆的位置关系的性质，“”是直线与圆的位置关系的判定。三、练习1根据直线和圆相切的定义，过点A用直尺近似地画出O的切线。2圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是（1）4.5cm；（2）6.5cm；（3）8cm。那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？四、总结直线与圆的位置关系，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。本节课主要采用了归纳、演绎、类比的思想方法，从现实生活中抽象出数学模型，体现了数学产生于生活的思想，并且将新旧知识进行了类比、转化，充分发挥了学生的主观能动性，体现了学生是学习的主体，真正成为学习的主人，转变了角色。板书设计：直线和圆的位置关系（一）一、情境导入 直线和圆的位置关系：（1） 三、练习（2） 四、总结二、新知第三课时：一、复习回顾教师：上节课我们学习了直线与圆的三种位置关系，回忆一下，都有哪三种？学生回答。教法：让学生加深对上节课知识的巩固。二、新授教师：我们先来思考这个问题：如下图，在O中，经过半径OA的外端点A作直线lOA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和O有什么位置关系？学生思考。学生：圆心O到直线l的距离就是O的半径，由相切的定义可知，直线l是O的切线。教师：回答的都很正确。教师总结：这样，我哦额每年得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。教师：同学们想一想，现实生活中有没有体现圆的切线的例子呢？学生们相互讨论，纷纷作答。举例：下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠；在砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线的方向飞出的。教法：让学生重归现实生活中，把知识应用于生活，同时也提高学习的积极性。教师提问：将上面的问题反过来，如图，如果直线l是O的切线，切点是A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？学生思考，并作答。（采用反证法）教法：可以让学生自行解决，教师留给学生作答的时间，学生作答时巡视，适当给学生一定的提示。教师总结：实际上，我们有切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。三、典型例题例1：如下图，直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，求证直线AB是O的切线。证明：连接OC。OA=OB，CA=CB，ABC是等腰三角形，OC是底边AB上的中线。OCAB。AB是O的切线。四、练习1如图，AB是O的直径，ABT=45，AT=AB，求证：AT是O的切线。2如图，AB是O的直径，直线、是O的切线，A、B是切点，、有怎样的位置关系？证明你的结论。板书设计：直线和圆的位置关系（二）一、复习 例1：二、新授 问题一： 性质定理：切线的判定定理：一、复习回顾1直线与圆的位置关系2切线的判定定理和性质定理教师提问，学生作答。二、新授探究一：如下图，纸上有一O，PA为O的一条切线，沿着直线PO将纸对折,设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是O的一条半径吗？PB是O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明图中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？教师：首先我们来介绍个概念切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。学生思考问题，师生共同解决问题。证明：上图中，PA、PB是O的两条切线，OAAP，OBBP。又OA=OB，OP=OP，RtAOPRtBOP。PA=PB，OPA=OPB。教师总结：由此我们得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。探究二：下图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？教师分析：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离等于半径。那如何找圆心呢？师生共同探讨：我们以前学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等。因此，如上图，分别作出B、C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，那么点I到AB、BC、CA的距离都相等。以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆。则I与ABC的三条边都相切。教师总结：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle），内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）。三、典型例题例2：如下图，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。解：设AF=x（cm），则AE=x，CD=CE=ACAE=13x，BD=BF=ABAF=9x。由BD+CD=BC可得（13x）+（9x）=14。解得x=4因此，AF=4（cm）BD=5（cm）CE=9（cm）四、练习1如下图，ABC中，ABC=50，ACB=75，点O是内心，求BOC的度数。2ABC的内切圆半径为r，ABC的周长为l，求ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC）板书设计：直线和圆的位置关系（三）一、复习回顾 研究二：二、新授 三、例题探究一： 例2：切线长定理：第五课时教学设计思想：“圆与圆的位置关系”这一课题，以全新的自主的学习方式让学生接受问题挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一种宽松、愉快、和谐、民主的科研氛围，让学生感受“两圆位置关系”的探究发现过程，体验成功的快乐，为终身学习与发展打下基础。教学过程：.复习提问1如何确定点与圆的位置关系？2确定直线与圆的位置关系的方法是什么？学生回答。教法：为学生探索“圆与圆位置关系”的识别方法作铺垫。.创设情境教师：下面的图形反映圆和圆的位置关系的一些生活中的实例：你还能再举出其他的一些例子吗？学生相互讨论。举例：用微机制作出有“日食”现象的动画。（参看课件“日食”或视频）教师提问这种现象是怎么产生的呢？学生说明这种现象的成因。“日食”：月亮在太阳与地球之间绕地球旋转，当月亮遮住太阳射向地面的光线时便形成了“日食”教法：导入数学课寓趣味于其中，既体现了与地理学科的整合，又能激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲。.探索新知如果把月亮与太阳看成两个圆，那么两个圆在作相对运动的过程中有几种位置关系产生呢？请同学们在练习本中画出并将其命名。让学生发挥想象，在练习本中画两圆位置关系，并将其命名。教法：丰富学生对现实空间及图形的认识，建立空间观念，发展形象思维。同时也是对学生想象力的一种发散。探究：分别在两张透明的纸上画两个半径不同的和，把两张纸叠合在一起，固定其中一张而移动另一张，你能发现和有几种不同的位置关系？每种关系中两圆有多少个公共点？教师演示课件（“圆与圆的位置关系演示”中的演示2）我们观察出圆与圆的五种位置关系：师：在现实生活中，你们见过圆与圆的五种位置关系得例子吗？生：见过，自行车的前后两个车轮给我们两圆相离的形象；奥运会五环旗上的图形给我们两圆相交的形象。滚珠轴承中，滚珠与外圆的关系就是两圆内切的关系；滚珠与内圆的关系就是两圆内切的关系；外圆与内圆的关系就是两圆内含的关系。利用投影仪，让学生观看图片（自行车、奥运会五环、硬币）师：大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑。两圆无公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做两圆内含。两圆只有一个公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做两圆内切。这个公共点叫做切点。两圆有两个公共点，叫做两圆相交。两圆只有一个公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做两圆外切。这个公共点叫做切点。两圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做两圆外离。师：总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗？生：外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点。师：因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种。师：再考虑下面的问题（1）当两圆外切时，两圆圆心之间的距离（简称圆心距）d与R和r具有怎样的关系?反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?（2）当两圆内切时（Rr），圆心距d与R和r具有怎样的关系?反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？师：如图，请大家互相交流生：在图（1）中，两圆相外切，切点是A因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2O1A+O2AR+r，即d=R+r：反之，当dR+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以O1与O2只有一个交点A，即O1与O2外切。在图（2）中，O1与O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2O1BO2B，即dRr：反之，当dRr时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1BO2B，说明O1、O