ch5迭代法总结.ppt

第五章解线性方程组的迭代解法 迭代发的一般理论 迭代法的收敛条件 Jacobi迭代法 G S迭代法 松弛迭代法 迭代法收敛的其它判定方法 解线性方程组的迭代法 AX b 直接法 迭代法 列主元消去法 Gauss消去法 全主元消去法 LU分解法 追赶法 A对称且正定 平方根法 改进平方根法 一般理论 Jabobi迭代 G S迭代 松弛迭代 误差估计收敛分析 请重点掌握 基本内容 知识结构框图 Jacobi迭代法的计算公式 Jacobi迭代法 Jacobi迭代法的特点 Jacobi迭代法的特点 Ganss Seidel迭代法 Ganss Seidel迭代法 不如前一种形式好记 Ganss Seidel迭代法 Ganss Seidel迭代法 即 Ganss Seidel迭代法 Ganss Seidel迭代法 Gauss迭代法的特点 Gauss迭代法的特点 Gauss Seidel迭代法一般程序 A 8 3 2 4 11 1 6 3 12 MatrixForm b 20 33 36 I1 IdentityMatrix 3 DD DiagonalMatrix A 1 1 A 2 2 A 3 3 L 0 0 0 A 2 1 0 0 A 3 1 A 3 2 0 DDLN Inverse DD L G I1 DDLN A MatrixForm R Max Abs Eigenvalues N G 1f DDLN b xa 0 0 0 Do xb G xa f N z Max Abs xb xa N Print k xb z xa xb k 1 12 LinearSolve A b Ganss Seidel迭代法 Jacobi与Gauss迭代法的比较 如果收敛的话 Gauss迭代法比Jacobi迭代法收敛的速度快 Jacobi与Gauss迭代法的比较 松弛法 松弛迭代法的基本思想 松弛迭代法的矩阵格式 松弛迭代法的收敛性分析 松弛法 一 松弛法的基本思想 为Gauss Seidel迭代法加速 Gauss Seidel迭代公式得到 于是有 松弛法的基本思想 可以把看作Gauss Seidel迭代的修正项 即第k次 近似解以此项修正后得到新的近似解 得到新的近似解 具体公式为 松弛法是将乘上一个参数因子作为修正项而 松弛法的基本思想 松弛法 称为松弛因子 当时称为低松弛 时称为超松弛法 松弛法的基本思想 SOR方法的计算公式 SOR方法 结论 松弛法收敛的必要条件是 前面的判定定理虽然给出了判别迭代收敛的充要条件 但要求逆矩阵和特征值 而 也只是松弛法收敛的必要条件 应用不方便 下面对一些特殊的矩阵给出几个常用的判别收敛的条件 迭代法收敛性的其它判定方法 若n阶方阵满足 定义1 定义2 如果矩阵A不能通过行的互换和相应的列互换成 为形式 其中为方阵 则称A为 不可约 且至少有一个i值 使得上式中不等号严格成立 则称A 为弱对角占优阵 若对所有i 上式不等号均严格成立 则称A为严格对角占优阵 定义 定理 定理 设有线性方程组 下列结论成立 1 若A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵 则 Jacobi迭代法和Gass Seidel迭代法均收敛 2 若A为严格对角占优阵 则松弛法收敛 3 若A为对称正定阵 则松弛法收敛的充要条件为 上两例中 A为严格对角占优阵 Jacobi迭代法和Gass Seidel迭代均收敛 B为非严格对角占优阵 故松弛法收敛 一 简单迭代法 称为简单迭代法 二 雅可比迭代法 Jacobi迭代法的计算公式为 小结 三 高斯 塞德尔迭代法 小结 分量计算公式为 四 松弛