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文档简介

第十二章微分方程习题课 基本概念用积分法解微分方程用代数法解微分方程建立微分方程的方法例题 一 基本概念 微分方程 微分方程的阶 微分方程的解 特解 初始条件 初值问题 通解 二 用积分法解微分方程 1 可分离变量的微分方程 2 齐次微分方程 3 一阶齐次线性微分方程 4 一阶非齐次线性微分方程 5 Bernoulli微分方程 6 全微分微分方程 一阶微分方程 分离变量法 因变量代换化为可分离变量 公式解 公式解 因变量代换化为线性 线积分法 凑分法 偏积分法 7 高阶微分方程 降阶法 y n f x 型 y f x y 型 y f y y 型 或F x y y 0型 或F y y y 0型 注 求解微分方程的步骤 1 判断类型 2 根据类型选择相应解法 当微分方程不属于会解类型时 设法用变形及换元法转化类型 三 用代数法解微分方程 1 线性微分方程解的结构 线性微分方程解的叠加原理 非齐次线性微分方程通解的结构 齐次线性微分方程解的叠加原理 齐次线性微分方程通解的结构 2 常系数齐次线性微分方程的代数解法 3 常系数非齐次线性微分方程的代数解法 对f x e x Pl x cos x Pm x sin x 型 四 建立微分方程的方法 1 直接法 直接由几何条件或物理定律列出 因变量与自变量 的微分方程 2 间接法 借助中间变量间接地建立因变量与自变量的联系 列出微分方程 五 例题 例1求通解 解 齐次方程 代入原方程得 分离变量 两边积分 所求通解 例2求通解 解 原式可化为 原式变为 通解为 一阶线性非齐次 伯努利方程 原方程通解 例3求通解 解 为全微分方程 1 用偏积分法求原函数 通解 2 用凑分法求解 故通解 3 利用曲线积分求解 故方程的通解为 例4求通解 解 非全微分方程 利用积分因子法 改写为 故通解为 例5求通解 解 代入方程 得 故通解为 例6求特解 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程的通解 设原方程的特解 故原方程的通解 所求特解 例 求通解 解 特征方程 特征根 所求通解 例 解 由题设可得
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