矩阵的进一步讨论.doc

第三章 矩阵的进一步讨论计划课时：26学时(P110-156) 3.1 矩阵的秩（4学时）教学目的及要求：1. 掌握矩阵秩的概念及矩阵秩的性质2. 掌握求矩阵秩的方法3. 掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充分条件4. 掌握有关秩的不等式 教学重点、难点：1. 矩阵秩的定义2. “初等变换不改变矩阵的秩”是本节的重点3. 齐次线性方程组有非零解的条件4. 矩阵乘积的不等式本节内容分为下面五个问题讲：一矩阵秩的定义先讲一个无解的线性方程组它的增广矩阵可化为代表的方程组为这个方程组无解，因而原方程组无解对讨论后引出子式的概念，进一步引出矩阵秩的概念二矩阵秩的求法：应用子式求矩阵的秩计算量很大，因此需寻找简便方法初等变换法引理3.1.1设A经过初等变换化为B，则A有不等于0的k阶子式当且仅当B有不等于0的k阶子式。注意：此引理的证明是本节的难点。在证明过程中可以有重点的讲解清楚第三种行初等变换不改变矩阵的秩。推论3.1.2 初等变换不改变矩阵的秩注意：1. 推论3.1.2给出了矩阵秩的求法：给矩阵A做初等变换，化为等价标准形D，即，那么秩（A）=r； 2. 由秩的唯一性及上述矩阵秩的求法可知，A的等价标准形唯一。三齐次线性方程组有非零解的条件定理3.1.6若矩阵的秩小于，则存在阶非零矩阵，使得（证明略）若将看作一个分块矩阵，则有于是就是齐次线性方程组的解，因不全为零，所以有非零解说明：当是阶方阵，且时，便回答了第1.5节中的30的问题即推论3.1.7.和推论3.1.8四矩阵乘积的秩定理3.1.9矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩，有一个因子可逆时，乘积的秩等于另一个因子的秩说明：定理证明的过程只有秩秩，另一半秩秩可让学生自己完成3.2 特征根（学时）教学目的及要求：1. 掌握矩阵的特征根、特征向量、特征多项式以及迹的概念和性质 2. 掌握求矩阵的特征根与特征向量的方法 3. 掌握相似矩阵的定义和性质 教学重点、难点：1. 矩阵的特征根与特征向量、特征多项式的概念及其计算方法 2. 相似矩阵的定义和性质3 矩阵的特征根和特征向量在工业增长模型及动物种群模型方面的应用本节内容分为下面四个问题讲：一特征根的定义（119定义）注意：在讲特征根的定义时一定要注意特征向量不为零，即中的因为当时，有这样任何一个数都满足上式，因此无实际意义二特征根的求法是A的特征根当且仅当，是A的属于特征根的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解向量注意：从以往的教学过程中发现，学生求特征根时，都是从解方程入手，而忽视了从考虑问题看下面的例子例 是阶方阵，且证明是的一个特征值这是一个很简单的问题因此是的一个特征根这样一个简单的问题，竟然大多数学生回答不出三矩阵相似问题（P123）（）相似矩阵有相同的特征多项式（）相似矩阵的秩相同（）相似矩阵的行列式相同注意：举例说明结论“相似矩阵有相同的特征多项式”的逆命题不一定成立。四特征根和特征向量的应用本节给出的两个例子具有很强的应用性，一个是污染问题，一个是生态平衡问题，这都是以前我国经济发展中遇到的棘手问题，相信学生会感兴趣的例（工业增长模型）考虑一个在发展中国家可能出现的有关污染与工业发展的工业增长模型。设p是现在污染的程度，d是现在工业发展的水平，二者都以由各种适当指标组成的单位来度量。例如，对于污染来说，空气中的一氧化碳的含量及河流中的污染浓度等等。设和分别是五年后的污染程度及工业发展水平。假如根据其它发展中国家类似的经验，国家发展机构认为，一下简单的线性模型是随后5年污染与工业发展有用的预测公式：,记，则有 。随后的第5n年污染程度与工业发展水平为 。对于p,d的两组初始值p=1，d=1 及p=1，d=7，试利用矩阵A的特征值和特征向量的有关知识，分析当n越来越大时，污染程度和工业发展水平的变化性态。例 （兔子狐狸种群模型）考虑一个简单的关于兔子和狐狸生存的生态模型。假设在没有狐狸的情况下，现有兔子的数量R一年自然增长10% ，于是下一年兔子的数量服从增长规律=1.1R . 又设在没有兔子的情况下，现有狐狸的数量F每年减少一15% ，于是下一年狐狸的数量.然而当狐狸和兔子处于同一栖息地时，狐狸吃兔子，是狐狸数增加，兔子数减少，我们提出如下的模型： .记, ,则有 。随后的第n年兔子和狐狸的种群数量为 。对于R,F的一组初始值R=10,F=8，试利用矩阵A的特征值和特征向量的有关知识，分析当n越来越大时，兔子和狐狸的种群数量的变化性态。3.3对称矩阵（4学时）教学目的及要求：1. 掌握矩阵的转置、对称矩阵的概念和性质 。2. 掌握实对称矩阵特征根的性质。3. 掌握数域F上n阶对称矩阵与n阶对角形矩阵的关系。教学重点、难点：1. 矩阵的转置的性质。2. 实对称矩阵特征根的性质，为第八章的学习打下基础。3. “定理：设A是数域F的对称矩阵.则存在F上的可逆矩阵P，使得 .”的证明过程给出了求P的方法，此定理的证明是本章的难点。本节内容可分为下面三个问题讲：一矩阵转置的概念（P129）和性质（P130）注意：1.行列式与它的转置行列式相等，但矩阵与它的转置矩阵一般来说不相等（），这是两个不同的概念2.是的，是的二 对称矩阵的定义(P131定义1)以及实对称矩阵的特征根的性质(P132)定理3.3.4 实对称矩阵的特征根都是实数注意：在证明定理3.3.4时，应注意以下两点：1.向学生分析清楚“一个复数为实数的充要条件是”。2.向学生解释矩阵的共轭转置的含义以及矩阵的共轭转置的运算律（让学生课后自己证明）三数域F上n阶对称矩阵与n阶对角形矩阵的关系定理3.3.5设A是数域F的n阶对称矩阵.则存在数域F上的n阶可逆矩阵P，使得.注意: 该定理的证明是本章的难点之一。在证明定理3.3.5时，应注意以下几点：1.给矩阵A左右两边同乘以一对互为转置的初等矩阵所得结果等于给A做一对相同的初等行变换和列变换（称之为合同变换）2.分块矩阵的乘法对分法的要求以及准对角矩阵可逆的条件与逆的求法3.数学归纳法.4. 对角矩阵主对角线上的元素可按我们指定的任意顺序排列。5.若r(A)=r,则，其中。6.根据此定理的证明过程总结出计算可逆矩阵P的方法。3.4 矩阵的合同(6学时)教学目的及要求：1. 理解矩阵合同、实对称矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差的概念及性质 。2. 掌握满足等式的可逆矩阵P以及对角矩阵B的求法，其中A是n阶对称矩阵。3. 掌握实对称矩阵的惯性定律。4. 掌握两个实(复)对称矩阵合同的充要条件。教学重点、难点：1. 矩阵合同、实对称矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差的概念及性质2. 满足等式的可逆矩阵P以及对角矩阵B的求法，其中A是n阶对称矩阵3. “实对称矩阵的惯性定律”的证明是本章的难点之一。4. 两个实(复)对称矩阵合同的充要条件。 本节内容分为以下四个问题讲授一 矩阵的合同 (P135 定义1)(1) 合同满足自反性, 对称性, 传递性;(2) 数域F上的n阶对称矩阵一定合同于一个对角阵注意：1.数域F上的n阶对称矩阵合同于一个对角阵，但这个对角阵不唯一。2. 可逆矩阵P的求法：对称矩阵A合同于一个对角阵D, 即PTAP=D可用合同交换化A为D但若同时想得到P, 就必须在的下方并一个单位阵I这样A为D时, I就化成了P (但对I只作列初等变换)二复数域上n阶对称矩阵的合同定理3.4.2设A是复域上的n阶对称矩阵.则存在n阶复可逆矩阵P，使得定理3.4.3复数域上两个n阶对称矩阵的合同的充要条件是它们有相同的秩。三实数域上n阶对称矩阵的合同定理3.4.4设A是实数域上的n阶对称矩阵.则存在n阶实可逆矩阵P，使得 定理3.4.5（惯性定律）设A是实数域上的n阶对称矩阵.若A在实数域上分别与,合同，则。注意：惯性定律的证明是本章的难点之一。在证明过程中应注意以下几点：1. 若,则对任意,有,令Y=PX,即.2 齐次线性方程组有非零解的条件。3.用反证法证明定理3.4.5（惯性定律），就是要找出某个，满足定理3.4.6两个n阶实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩和正惯性指数。注意: 两个矩阵是否合同, 与在哪个数域上考虑问题有关 例如A= , B=A和B既可看作实数域上的对称矩阵, 又可看作复数域上的对称矩阵. 在实数域上A与B不合同, 在复数域上A与B合同.3.5 二次型(2学时)教学目的及要求：1.掌握二次型、二次型的矩阵表示、非退化的线性替换、二次型的标准形、典范型等基本概念、2.掌握利用非退化的线性替换化简二次型的方法。教学重点、难点：1. 理解二次型的化简问题完全归结为它的矩阵在合同意义下的化简问题。2. 用非退化的线性替换将二次型化成标准形 本节内容分为以下三个问题讲授一 二次型的对称矩阵表示 (P145)f(x1, x2,xn)=XTAX, X=, AT=A二次型的问题可转化为对称矩阵问题, 这样讨论起来十分方便, 简单二 二次型的化简 定理：设f(x1, x2,xn)=XTAX与g(y1, y2,yn)=YTBY都是数域F上的n元二次型，那么f(x1, x2,xn)可通过非退化的线性替换X=PY化为g(y1, y2,yn)当且仅当A与B合同，且注意：此定理将二次型的化简问题完全归结为它的矩阵在合同意义下的化简问题，并且给出了求非退化的线性替换X=PY的方法。三 二次型的标准形与典范型P149-151) 注意: 二次型的标准形不唯一, 但典范形是唯一的 有了3.4 关于矩阵合同的理论, 二次型的问题讨论起来非常简单, 容易 这里我们再次体会到矩阵思想的重要性.3.6 正定矩阵 (2学时)教学目的及要求：掌握正定矩阵的定义和各种等价刻画 教学重点、难点：正定矩阵的定义和各种等价刻画 本节内容分以下三个问题讨论.一 正定矩阵的定义(P152)注意: 这里要联系正定二次型讲清楚正定矩阵的由来二 A是正定矩阵的充要条件(P152定理3.6.1)A是正定矩阵三 正定矩阵的几个等价命题(P154) 思考题: 设 是n阶实对称矩阵, 且A不是正定矩阵, 问能否从A出发构造一个正定矩阵? 解: 作 由数学分析知道, 存在一个, 使得中所有顺序主子式都大于零, 因此是一个正定矩阵习题课 (4学时)例 1. 证明，秩为1的n阶矩阵A=必满足：A=（）A.提示：利用习题7证明: 因为秩A1, 所以由上题得 ,其中不全为零, 不全为零因此= =例 2 设A是复数域上的n阶方阵 证明,(1) 存在复数域上的n阶可逆矩阵P, 使得P -1AP=;,(2) A相似于一个复数域上的n阶上三角形矩阵(即主对角线下方全是0的矩阵)提示：证(1)时，设Aal1a，参考习题二的第15题，以a为第一列构造P，证(2)时利用数学归纳法，并用(1)的结论 证明: (1) 因为矩阵A有n个特征根(重根按重数算),设l1为A的一个特征根, a1是A的属于特征根l1的特征向量, 则Aa1l1a1其中a1.由习题二的第十五题知,存在以a1为第一列的可逆矩阵P. 设,因为, 于是, 所以=( a1, a2, , an)=(l1 a1, a2, , an)=(2) 对A的阶数n利用数学归纳法. 当n=1时,显然. 假设n1且n-1时结论成立, 下证A的阶数为n时结论也成立. 由(1)知存在可逆的P , 使得令=, 则 由归纳假设知, 存在可逆的Q, 使得令S=, 则=所以A相似于复数域上的一个n阶上三角形矩阵例3. 方阵A称为斜对称的，如果AT-A. 证明，实斜对称矩阵的特征根为零或纯虚数 证明：设是的任一特征根，则存在复数域上维列向量，使得设，其中均为复数且不全为零用的转置矩阵左乘以上式的两边，得由于，所以由转置矩阵的性质可得所以，而因此，即是零或纯虚数例 4. 如果把全体n阶实对称矩阵按合同分类，即两个n阶实对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？解：共有类例 5. 如果n阶实对称矩阵A的秩等于A的正惯性指数, 那么称A是半正定的. 证明，如果A(aij)是秩为r的n阶实对称矩阵, 那么(1) A是半正定矩阵的充分且必要条件是A与n阶方阵合同;(2) A是半正定矩阵的充分