《微积分03导数》PPT课件.ppt

第一节导数的概念 一 导数概念的引例二 导数的概念与几何意义三 可导与连续的关系四 小结 一 导数概念的引例 例1 变速直线运动的速度 播放 例2 平面曲线的切线斜率 切线 如图 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT 直线MT就称为曲线C在点M处的切线 极限位置即 二 导数的概念与几何意义 1 导数的概念 定义1 其它形式 即 关于导数的说明 注意 右导数 左导数 单侧导数 定义2 步骤 2 用定义求导数 例3 解 更一般地 例如 例4 解 例5 解 例6 解 例7 解 3 导数的几何意义 切线方程为 法线方程为 解因 由导数几何意义 曲线在的切线与法线的斜率分别为于是所求的切线方程为 即 法线方程为 即 例8求曲线在点处的切线和法线方程 三 可导与连续的关系 证 定理2如果函数在点处可导 则在点处连续 注意 定理2的逆命题不成立 例9 因为 则 而 证 1 导数的实质 增量比的极限 3 导数的几何意义 切线的斜率 5 函数可导一定连续 但连续不一定可导 4 求导数最基本的方法 由定义求导数 四 小结 例2 平面曲线的切线斜率 切线 例2 平面曲线的切线斜率 切线 例2 平面曲线的切线斜率 切线 例2 平面曲线的切线斜率 切线 例2 平面曲线的切线斜率 切线 例2 平面曲线的切线斜率 切线 例2 平面曲线的切线斜率 切线 例2 平面曲线的切线斜率 切线 播放 例2 平面曲线的切线斜率 切线 例2 平面曲线的切线斜率 切线 第二节求导法则 一 函数的和 差 积 商的求导法则二 复合函数的求导法则三 反函数的导数四 初等函数的导数五 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 设函数与在点处均可导 则它们的和 差 积 商 当分母不为零时 在点处也可导 且有以下法则 一 函数的和 差 积 商的求导法则 定理1 1 求增量 给自变量一个增量 则 证 1 2 略 证 3 令 2 算比值 3 取极限 因在点处可导 则在该点处必连续 故当时 又当时 所以 特别地 若则可得公式 定理推广 解 例2设 求 解 用类似地方法 可得 解 例3求的导数 即 例4求的导数 用类似地方法 可得 即 解 定理2 即由外层向内层逐层求导再相乘 链导法 或 或 二 复合函数的求导法则 证 如三层复合 或 或 推广对于多次复合的函数 其求导公式类似 解可看作是由复合而成的 因此 例5设 求 例6设 求 解 三 反函数的求导法则 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 因是的反函数 故可将函数中的看作中间变量 从而组成复合函数 上式两边对求导 应用复合函数的链导法 得 证 或 因此 是的反函数 而在区间内单调且可导 且 因此在对应的区间内 有 解 即 同理可得 是的反函数 而在区间内单调且可导 且 因此在对应的区间上 有 解 即 同理可得 1 常数和基本初等函数的导数公式 四 初等函数的导数 2 函数的和 差 积 商的求导法则 3 复合函数的求导法则 注意 1 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决 2 初等函数的导数仍为初等函数 解 所以 例10 解 函数可以写成 所以 将函数两边取自然对数 即 两边对求导 注意左端的是的函数 由链导法 有 因此 方法2 方法2称为对数求导法 一般地对于函数 称为幂指函数 对数求导法除适用于幂指函数外 还适用于多个因式连乘的函数 解 等式两边取对数得 例12 五 隐函数和由参数方程确定函数得导数 定义 隐函数的显化 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导 1 隐函数的导数 例1 解 解得 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点 2 由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题 消参困难或无法消参如何求导 由复合函数及反函数的求导法则得 例6 解 所求切线方程为 于是所求的切线方程为 六 高阶导数 如果函数的导函数仍是的可导函数 就称的导数为函数的二阶导数 记作 或 即 或 类似地 这个定义可推广到的更高阶的导数 而加速度是速度对时间的导数 是位置函数对时间的二阶导数 即 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 二阶导数有明显的物理意义 考虑物体的直线运动 设位置函数为 则速度为 如阶导数 例16设 求 解 特别地 根据高阶导数的定义 求函数的高阶导数就是将函数逐次求导 因此 前面介绍的导数运算法则与导数基本公式 仍然适用于高阶导数的计算 例17求次多项式函数的阶导数 是正整数 解 例18设 求 解 即 同理可得 第三节微分 一 微分的概念二 微分的几何意义三 微分的运算法则四 微分在近似法则中的应用 例1设有一个边长为的正方形金属片 受热后它的边长伸长了 问其面积增加了多少 一 微分的概念 受热后 当边长由伸长到时 面积相应的增量为 从上式可以看出 可分成两部分 这表明 当很小时 2 的绝对值要比 1 的绝对值小得多 可以忽略不计 即可用 2 作为的近似值 定义1设函数在点的某邻域内有定义 如果函数在点处的增量可以表示为 其中是与无关的常数 是当时比高阶的无穷小 则称函数在点处可微 称为在点处的微分 记作 或 于是 由此引进函数微分的概念 导数 一种比值的极限 即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限 微分 函数增量的近似值 即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值 那么 导数与微分之间存在什么样的联系呢 于是 可微函数 如果函数在区间内每一点都可微 则称该函数在内可微 或称函数是在内的可微函数 此时 函数在内任意一点处的微分记为 即 由此有 因此 通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法 在高等数学中 把研究导数和微分的有关内容称为微分学 因此 微分与导数紧密相关 求出了导数立即可得微分 求出了微分亦可得导数 例2求函数当 时的微分 解函数在任意点的微分 于是 例3半径为的圆的面积为当半径增大时 求圆面积的增量与微分 面积的微分为 当自变量有增量时 切线的纵坐标相应地有增量 二 微分的几何意义 过曲线上一点作切线 设的倾角为 则 当有增量时 曲线在对应点处的切线的纵坐标的增量 因此 微分几何上表示 用近似代替 就是用曲线在点处的切线纵坐标的增量近似代替曲线的纵坐标的增量 三 微分的运算法则 1 基本初等函数的微分公式 2 函数的和 差 积 商