高中数学 第一章 计数原理 习题课 两个计数原理与排列、组合课件 新人教A版选修23.ppt

习题课两个计数原理与排列 组合 第一章计数原理 学习目标1 进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 进一步加深理解排列与组合的概念 3 能综合运用排列 组合解决计数问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 1 两个计数原理 1 分类加法计数原理 m n 2 分步乘法计数原理 m n 2 排列 组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则 即先选元素后排列 同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类 3 解析受限制条件的排列 组合问题的一般策略 1 特殊元素优先安排的策略 2 正难则反 等价转化的策略 3 相邻问题 捆绑处理的策略 4 不相邻问题 插空处理的策略 5 定序问题 除法处理的策略 6 小集团 排列问题 先整体后局部的策略 7 平均分组问题 除法处理的策略 8 构造模型的策略 题型探究 例1电视台在某节目中拿出两个信箱 其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信 甲信箱中有30封 乙信箱中有20封 现由主持人抽奖确定幸运观众 若先确定一名幸运之星 再从两信箱中各确定一名幸运伙伴 有 种不同的结果 类型一两个计数原理的应用 答案 解析 命题角度1 类中有步 的计数问题 28800 解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星 决定了后边选幸运伙伴是不同的 故要分两类分别计算 1 幸运之星在甲箱中抽 先确定幸运之星 再在两箱中各确定一名幸运伙伴 有30 29 20 17400 种 结果 2 幸运之星在乙箱中抽 同理有20 19 30 11400 种 结果 因此共有17400 11400 28800 种 不同结果 反思与感悟用流程图描述计数问题 类中有步的情形如图所示 具体意义如下 从a到b算作一件事的完成 完成这件事有两类办法 在第1类办法中有3步 在第2类办法中有2步 每步的方法数如图所示 所以 完成这件事的方法数为m1m2m3 m4m5 类 与 步 可进一步地理解为 类 用 号连接 步 用 号连接 类 独立 步 连续 类 标志一件事的完成 步 缺一不可 跟踪训练1现有4种不同颜色 要对如图所示的四个部分进行着色 要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色 则不同的着色方法共有a 24种b 30种c 36种d 48种 答案 解析 解析将原图从上而下的4个区域标为1 2 3 4 因为1 2 3之间不能同色 1与4可以同色 因此 要分类讨论1 4同色与不同色这两种情况 故不同的着色方法种数为4 3 2 4 3 2 1 48 故选d 命题角度2 步中有类 的计数问题 答案 解析 264 例2有4位同学在同一天的上 下午参加 身高与体重 立定跳远 肺活量 握力 台阶 五个项目的测试 每位同学上 下午各测试一个项目 且不重复 若上午不测 握力 项目 下午不测 台阶 项目 其余项目上 下午都各测一人 则不同的安排方式共有 种 用数字作答 解析上午总测试方法有4 3 2 1 24 种 我们以a b c d e依次代表五个测试项目 若上午测试e的同学下午测试d 则上午测试a的同学下午只能测试b c 确定上午测试a的同学后其余两位同学上 下午的测试方法共有2种 若上午测试e的同学下午测试a b c之一 则上午测试a b c中任何一个的同学下午都可以测试d 安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了 故共有3 3 9 种 测试方法 即下午的测试方法共有11种 根据分步乘法计数原理 总的测试方法共有24 11 264 种 反思与感悟用流程图描述计数问题 步中有类的情形如图所示 从计数的角度看 由a到d算作完成一件事 可简单地记为a d 完成a d这件事 需要经历三步 即a b b c c d 其中b c这步又分为三类 这就是步中有类 其中mi i 1 2 3 4 5 表示相应步的方法数 完成a d这件事的方法数为m1 m2 m3 m4 m5 以上给出了处理步中有类问题的一般方法 跟踪训练2如图所示 使电路接通 开关不同的开闭方式共有 答案 解析 a 11b 12c 20d 21 解析根据题意 设5个开关依次为1 2 3 4 5 若电路接通 则开关1 2与3 4 5中至少有1个接通 对于开关1 2 共有2 2 4 种 情况 其中全部断开的有1种情况 则其至少有1个接通的有4 1 3 种 情况 对于开关3 4 5 共有2 2 2 8 种 情况 其中全部断开的有1种情况 则其至少有1个接通的有8 1 7 种 情况 则电路接通的情况有3 7 21 种 故选d 类型二有限制条件的排列问题 例33个女生和5个男生排成一排 1 如果女生必须全排在一起 有多少种不同的排法 解答 解 捆绑法 因为3个女生必须排在一起 所以可先把她们看成一个整体 2 如果女生必须全分开 有多少种不同的排法 解 插空法 要保证女生全分开 可先把5个男生排好 每两个相邻的男生之间留出一个空 这样共有4个空 加上两边两个男生外侧的两个位置 共有6个位置 再把3个女生插入这6个位置中 只要保证每个位置至多插入一个女生 就能保证任意两个女生都不相邻 解答 3 如果两端都不能排女生 有多少种不同的排法 解答 解方法一 特殊位置优先法 因为两端不能排女生 但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次 在扣除女生排在末位时又被扣去一次 4 如果两端不能都排女生 有多少种不同的排法 解答 解方法一因为只要求两端不能都排女生 所以如果首位排了男生 则末位就不再受条件限制了 5 如果甲必须排在乙的右面 可以不相邻 有多少种不同的排法 解答 反思与感悟 1 排列问题的限制条件一般表现为 某些元素不能在某个位置 某个位置只能放某些元素等 要先处理特殊元素或先处理特殊位置 再去排其他元素 当用直接法比较麻烦时 可以用间接法 先不考虑限制条件 把所有的排列数算出 再从中减去全部不符合条件的排列数 这种方法也称为 去杂法 但必须注意要不重复 不遗漏 去尽 2 对于某些特殊问题 可采取相对固定的特殊方法 如相邻问题 可用 捆绑法 即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列 再进行内部排列 不相邻问题 则用 插空法 即先排其他元素 再将不相邻元素排入形成的空位中 答案 解析 跟踪训练3为迎接中共十九大 某校举办了 祖国 你好 诗歌朗诵比赛 该校高三年级准备从包括甲 乙 丙在内的7名学生中选派4名学生参加 要求甲 乙 丙这3名学生中至少有1人参加 且当这3名学生都参加时 甲和乙的朗诵顺序不能相邻 那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为a 720b 768c 810d 816 解析根据题意 在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛 则甲 乙 丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840 24 816 种 则满足题意的朗诵顺序有816 48 768 种 故选b 类型三排列与组合的综合应用 例4有4张分别标有数字1 2 3 4的红色卡片和4张分别标有数字1 2 3 4的蓝色卡片 从这8张卡片中取出4张卡片排成一行 如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10 则不同的排法共有多少种 解答 解分三类 反思与感悟解答排列 组合综合问题的思路及注意点 1 解排列 组合综合问题的一般思路是 先选后排 也就是先把符合题意的元素都选出来 再对元素或位置进行排列 2 解排列 组合综合问题时要注意以下几点 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法 无序的问题是组合问题 有序的问题是排列问题 对于有多个限制条件的复杂问题 应认真分析每个限制条件 然后再考虑是分类还是分步 这是处理排列 组合综合问题的一般方法 答案 解析 跟踪训练4某科室派出4名调研员到3个学校 调研该校高三复习备考近况 要求每个学校至少一名 则不同的分配方案种数为 36 达标检测 答案 解析 1 给一些书编号 准备用3个字符 其中首字符用a b 后两个字符用a b c 允许重复 则不同编号的书共有a 8本b 9本c 12本d 18本 1 2 3 4 5 解析由分步乘法计数原理得 不同编号的书共有2 3 3 18 本 解析根据题意 至少有2件次品 可分为 有2件次品 与 有3件次品 两种情况 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 3 从4男3女志愿者中选1女2男分别到a b c三地去执行任务 则不同的选派方法有a 36种b 108种c 210种d 72种 根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有18 6 108 种 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 4 8次投篮中 投中3次 其中恰有2次连续命中的情形有 种 30 1 2 3 4 5 5 某地奥运火炬接力传递路线共分6段 传递活动分别由6名火炬手完成 如果第一棒火炬手只能从甲 乙 丙三人中产生 最后一棒火炬手只能从甲 乙两人中产生 则不同的传递方法共有 种 用数字作答 96 答案 解析 规律与方法 1 分类加法计数原理与分步乘