线性代数N维向量空间第4节基与维数.ppt

4 4向量空间 第四章n维列向量空间 4 4向量空间 一 向量空间 vectorspace 的概念 1 n维实 列 向量的全体 Rn x1 x2 xn T x1 x2 xn R 关于向量 即列矩阵 的加法和数乘运算满足如下8条基本性质 关于加法 1 交换律 2 结合律 3 0 4 关于数乘 5 1 6 k l kl 7 k l k l 8 k k k 第四章n维列向量空间 4 4向量空间 2 设V是Rn的非空子集 且对向量的加法及数乘封闭 closed 即 仅含有零向量0的集合 0 关于向量的线性运算也构成一个向量空间 Rn和 0 称为Rn的平凡 trivial 子空间 则称V是Rn的一个子空间 subspace 或直接称为一个 实 向量空间 realvectorspace V k R 有 V k V 第四章n维列向量空间 4 4向量空间 例1 检验下列集合是否构成向量空间 1 V x y 0 x y R 2 V x y z x y z R x y z 0 3 A Rm n b Rm b 0 KA Rn A 0 SB Rn A b 第四章n维列向量空间 4 4向量空间 4 1 2 s Rn 由 1 2 s生成的向量空间 generated spannedby 1 或 1 2 s 生成元 generator 1 2 s 的线性包 linearclosure 第四章n维列向量空间 4 4向量空间 二 向量空间的基 basis 与维数 dimension 1 2 r V的一组基 r称为V的维数 记为维 V 或dim V n维基本单位向量组就是Rn的一组基 dim Rn n 例2 求例1中的各向量空间的基与维数 零空间没有基 规定dim 0 0 1 2 r线性无关 V都能由 1 2 r线性表示 第四章n维列向量空间 4 4向量空间 定理2 7 1 2 s的极大无关组是 特别地 A A1 A2 As 求L A1 A2 A3 A4 的一组基和维数 L 1 2 s 的基 dimL 1 s r 1 s L A1 A2 As A的列空间 columnspace dimL A1 A2 As 秩 A 第四章n维列向量空间 4 4向量空间 10 1 2 10 1 11 11 1 解 可见dimL A1 A2 A3 A4 2 A1 A2是L A1 A2 A3 A4 的一组基 注 此外A1 A3也是L A1 A2 A3 A4 的一组基 还有A1 A4 事实上 对于这个例子 除了A3 A4以外 A1 A2 A3 A4中任意两个向量都构成L A1 A2 A3 A4 的一组基 第四章n维列向量空间 4 4向量空间 三 向量在基下的坐标 1 2 r V的一组基 由定义 对 V 唯一的一组有序实数k1 k2 kr使得 k1 1 k2 2 kr r k1 k2 kr T 在 1 2 r这组基下的坐标 coordinate 第四章n维列向量空间 4 4向量空间 四 基变换与坐标变换 设 1 2 r和 1 2 r是V的两组基 则存在r r矩阵P使 1 2 r 1 2 r P 称P为从基 1 2 r到 1 2 r的过渡矩阵 transitionmatrix 由r r 1 2 r r P r可得r P r 故 P 0 即P可逆 第四章n维列向量空间 4 4向量空间 定理2 8 设 1 2 r和 1 2 r是V的两组基 V在这两组基下的坐标分别为x y 则 证明 1 2 r x 1 2