《数字滤波器》PPT课件.ppt

第十一章数字滤波器 本章介绍数字滤波器的原理及其设计 数字滤波器的设计是数字系统综合的问题之一 所谓数字系统的综合 synthesis 就是给出设计指标的情况下 设计一个系统使之满足设计指标 有一类数字系统的综合很具有代表性 那就是给出一个频率滤波的指标 要求设计一个离散时间LTI系统使之满足设计要求 这样的系统称为数字滤波器 digitalfilter 当然 数字系统可能是多输入和多输出的 本书我们只讨论单输入 单输出的情况 在这里 我们要讨论的数字滤波器局限于一个离散时间LTI系统 它能够实现或者近似实现给定的频率响应 在系统综合的问题中 我们可以尽可能地选择较简单的结构 在这里 我们只考虑LTI的系统函数为有理z变换的情况 也就是说 系统可以用常系数差分方程来描述 对于上述常系数差分方程两边求z变换 可得 11 1离散时间系统的信号流图表示 整理可得系统的系统函数 经过归一化 使得 也可以写成 归一化后 对应的差分方程为 从上面的分析我们可以看到 要实现上述数字滤波器 只需要三种运算单元 加 数乘 延迟 表现在方框图里面就是以下三个基本单元 简写为 简写为 a 例题11 1设计一个离散时间系统使之具有如下系统函数 解 可以用如下差分方程来描述该系统 可以采用如下结构来构造系统 用方框图来表述离散时间系统在理论上不够严谨 不利于从网络结构的角度进行更加深入的理论探讨 也不够简化 信号流图是表示离散时间系统的更好的方式 图 graph 由支路和节点组成 每条支路连接两个节点 所谓信号流图 SignalFlowGraph 是一个有向图 orientedgraph 有向图是一个图论 graphtheory 里面的概念 它是一种为每一个支路都赋一个方向的图 有向图的每一条支路 被赋予一个方向 该方向是从该支路的起始节点指向终止节点的 图的每一个节点对应一个节点 node 值 节点值一般是序列或者是它的z变换 每一条支路对应一个支路函数 该函数表示了从起始节点 指向终止节点 我们定义从起始节点 指向终止节点 的那条支路的输出为 的那条支路的支路函数 也就是说 支路的输出等于支路函数对起始节点的节点值运算的结果 如果信号流图的支路函数为线性函数 我们称之为线性流图 对于线性流图而言 是线性函数 一个支路对应一个权重 在本书里面 我们只涉及线性流图 对于 的情况 一般不做标示 信号流图里面的节点分为 源节点 阱节点和网络节点 源节点 Sourcenodes 没有指向该节点的支路 阱节点 Sinknodes 不是任何支路的起始节点 除了源节点和阱节点以外的节点就是网络节点 我们规定节点的值等于所有以该节点为终止节点的支路输出之和 有N条指向它的支路 则有 如果线性流图的一个节点 下面考虑以下离散时间系统的结构 将上图按照信号流图的规则 画成信号流图 由4 2节点方程 代入 将 11 11 延时可得 联立上面两式 消去 两边取z变换 可以得到该系统的系统函数 11 2无限冲激响应滤波器 所谓无限冲激响应 IIRInfiniteImpulseResponse 滤波器就是单位冲激响应为无限长序列的滤波器 IIR滤波器是一种递归滤波器 RecursiveFilter 这是因为IIR滤波器里面有递归环节 从 11 1 公式可以看到这一点 考虑一个离散时间有理系统 11 2 1直接形式 它对应的差分方程是 我们可以使用如下的网络结构来实现它 利用LTI系统的交换律 将延时环节合并 11 2 2级联形式 在直接形式中 参数都有可能是复数 这种情况在软件实现时问题不大 但是 在硬件实现的时候 就不可实现 我们知道 当LTI系统的单位冲激响应为实信号时 z变换的零点和极点是共轭成对出现的 我们利用这一点 构造出参数为实数的系统结构 皆为实数 将 11 17 中的每一个因子 都用直接形式表示出来 然后再级联 就可以得到级联形式 11 2 3转置形式 对于单输入单输出的信号流图 梅森 Mason 证明 将流图的所有支路方向都颠倒 将输入输出的位置调换一下 则转置的流图和原流图有相同的系统函数 下面就是将直接形式进行转置而形成的转置形式 我们看到在数字网络里面 一个系统可以由不同的网络结构来实现 在工程上 应该选择量化误差较小的网络结构来实现我们的设计 11 3有限冲激响应滤波器 所谓有限冲激响应 FIRFiniteImpulseResponse 滤波器是指单位冲激响应为有限长序列的滤波器 考虑因果系统 我们说 有限冲激响应滤波器是非递归的 Non recursive 因为计算y n 不需要y n k 的信息 非递归的结构反映在信号流图上 是一个前向图 所谓前向图 forwarddirectiongraph 就是说不存在一个有向的回路 下面是前向图的例子 前向图 非前向图 有向回路 当然可以认为FIR滤波器是IIR滤波器的一个特例 只不过递归环节的权重为零而已 下面是FIR滤波器的实现结构 11 3 1直接形式 直观地 可以看到下面的结构可以实现 11 22 所表示的FIR滤波器 h 0 h 1 h 2 h 3 h N 2 h N 1 11 3 2级联形式 利用11 2 2小节的分析 可以看到 当单位冲激响应为实信号时 z变换的零点是成对出现的 11 4从模拟滤波器到数字滤波器 在数字信号处理得到广泛应用之前 模拟滤波器的设计已经十分成熟了 有一些现成的设计模式可以套用 也就是说 给出设计指标 一般是频率响应 或者是关于频率响应的关键点描述 例如截止频率等 就能求出系统的系统函数 在模拟滤波器的研究方面 前人进行了大量的工作 积累了大量的成熟的研究成果 模拟网络综合研究的就是这方面的内容 将模拟滤波器变换成数字滤波器的方法 这是一种比较合理的设计方法 因为模拟滤波器的成果比较多 所以利用模拟滤波器设计的数字滤波器比较可靠 在本小节 我们的目的就是利用这些成熟的模拟滤波器的设计 来求出数字滤波器的设计 11 4 1冲激不变法 impulseinvariancemethod 我们知道 用离散时间系统来实现模拟信号处理的方式大致是 A D 离散处理 D A 对于离散系统而言 整个系统表现为一个连续系统 在不产生混叠的情况下 结合第七章的分析 上面的关系才是我们所需要的 在冲激不变的情况下 我们将 11 22 式进行推广 也就是说 我们要推导通过 来计算 的公式 令 显然 暂时将 看成常数 的离散时间傅里叶变换为 那么 令 是 的傅里叶变换 显然 因为 分别是 的傅里叶变换 和 和 根据 11 22 设 显然有 周期 带状区域里面可以反映 的全部内容 当s遍历全平面的时候 z也遍历全平面 事实上 当s只要遍历 到 z也将遍历全平面 的带状区域 在带状区域内 s平面的左半平面部分被映射到z平面的单位圆内部 s平面的右半平面部分被映射到z平面的单位圆外部 s平面 z平面 如果模拟系统是稳定因果的 那么极点都在s平面的左半平面 经过上述映射 这些极点被映射到z平面的单位圆内部 这就说明稳定因果的模拟系统对应的数字系统也是稳定因果的 对于有理拉普拉斯变换的情况 我们有更加简单的形式 下面考虑一阶极点的情况 例题11 2已知模拟系统的系统函数为 试用冲激不变法 求其对应的离散系统的系统函数 解 先进行部分分式的展开 那么 11 4 2双线性变换 bilineartransformation 设A为稳定因果的连续时间LTI系统的集合 设D为稳定因果的离散时间LTI系统的集合 如果有一种映射关系 满足以下条件 1 2 的形状与它的映像 的一个周期类似 是双射 也就是一对一的映射 则 可以作为通过模拟系统设计数字系统的一个准则 下面我们来看看一种被称为双线性变换的准则 整理 可以得到 因此 我们容易得到逆映射 下面我们来证明 因果的连续时间LTI系统映射为一个稳定因果的离散时间LTI系统 是映射 也就是说 它能够将一个稳定 证明 如果 是稳定因果的 则极点都在单位圆内部 在左半平面 对应的连续时间LTI系统是稳定的 下面我们来证明 证明 是稳定因果的 则极点都在左半平面 是映射 如果 是 的极点 在单位圆内部 上面两段论述表明 经过双线性变换 z平面里的单位圆内部和s平面里的左半平面是一一对应关系 下面我们来说明 经过双线性变换的一对模拟系统 离散系统 的形状与 的一个周期大致类似 代入式 可以说 的形状与它的映像 的一个周期类似 11 5用Matlab设计滤波器 11 5 1近似滤波器例题4 5可以看出 理想低通滤波器是非因果的 也就是说 在一维情况下 理想低通滤波器不可能以实时的方式实现 当然 离线的信号处理是很容易实现理想滤波的 比如 可以在FFT以后 进行理想滤波 再进反变换IFFT 由于大量的电子系统是实时实现的 因此我们有必要讨论一下理想滤波器的近似实现 下图是模拟低通滤波器的近似形式 只画了频率 0的部分 通带过渡带阻带 称为通带边缘频率 称为阻带边缘频率 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 下面是几种常用的近似模拟低通滤波器 2 切比雪夫 Chebyshev 滤波器I型 是N阶Chebyshev多项式 3 切比雪夫滤波器II型 4 椭圆滤波器 是N阶雅可比 Jacobian 椭圆函数 11 5 2计算滤波器的阶数 上述的滤波器中 N是滤波器的阶数 N越大近似滤波器越接近理想滤波器 代价是实现的电路更加复杂 滤波器设计就是寻找达到指标的最简单的实现 由于篇幅的限制 我们不再介绍根据设计指标解析求解滤波器阶数的理论和方法 那些东西 对于不是专门研究滤波器的技术人员来说 显得过于专业 Matlab提供了根据设计指标 求滤波器阶数的函数 buttord cheb1ord cheb2ord ellipord分别计算Butterworth ChebyshevI ChebyshevII和椭圆滤波器的阶数 我们以buttord为例进行说明 N Wn buttord Wp Ws Rp Rs 模拟滤波器 s的含义是拉氏变换 N Wn buttord Wp Ws Rp Rs s 数字滤波器 Wp是通带边缘频率 Ws是阻带边缘频率 Wp和Ws是归一化的 被归一化为1 注意 归一化的频率是无量纲的 数字滤波器频率轴上的对应于模拟滤波器频率轴上的采样频率的1 2 如果我们将模拟滤波器的指标直接转换为数字滤波器的指标 则可以认为采样频率的1 2被归一化为1 Matlab对Rp的定义是 通带内的损耗 lose 不超过Rp分贝 dB Matlab对Rs的定义是 阻带内的衰减 attenuation 要超过Rs分贝 dB Wn是滤波器的固有频率 naturalfrequency 对于低通Butterworth滤波器而言 Wn是增益衰减了3dB处的频率 由于Butterworth滤波器是单调下降的 例题11 3求一数字低通Butterworth滤波器的阶数 采样频率Fs 2000Hz 所构成的模拟滤波器的指标是 500Hz 600Hz Rp 2dB Rs 30dB 解 要达到设计指标需要一个12阶的数字Butterworth滤波器 该滤波器的固有频率为Wn 0 5101 Fs 2 510 1Hz 我们可以在Matlab上进行不同数值的试验 能够看出 过渡带越窄 阶数越高 Rp越小 阶数越高 Rs越大 阶数越高 我们还可以看出 例题11 2的设计指标 如果用Chebyshev实现n 6 如果用椭圆滤波器实现n 4 也就是说后两种滤波器能够用更加简单的电路 达到给定的指标 Butterworth的滤波器设计的优点是设计简单 容易理解 然而 如果我们用计算机程序进行滤波器的设计 上述优点则没有什么意义 buttord cheb1ord cheb2ord ellipord还可以计算高通滤波器 highpass 带通滤波器 bandpass 和带阻滤波器 bandstop 的阶数 阻带过渡带通带 数字高通滤波器 阻带过渡带通带过渡带阻带 数字带通滤波器 通带过渡带阻带过渡带通带 数字带阻滤波器 对于Wp和Ws 不同类型的滤波器有不同的格式和情况 低通滤波器 WpWs带通滤波器 Wp Wp1Wp2 Ws Ws1Ws2 带阻滤波器 Wp Wp1Wp2 Ws Ws1Ws2 显然 程序很容易根据参变量 判断滤波器的类型 例题11 4求一数字带通椭圆滤波器的阶数 采样频率Fs 2000Hz 所构成的模拟滤波器的指标是 500Hz 550Hz 450Hz 解 600Hz Rp 2dB Rs 30dB n 3wn 0 50000 5500注意 带通和带阻滤波器的固有频率有两个 11 5 3设计滤波器 函数butter cheby1 cheby2 ellip分别求Butterworth ChebyshevI ChebyshevII和椭圆滤波器的系统函数 或者 1 Butterworth滤波器的设计 B A BUTTER N Wn 如果Wn为单元素向量 BUTTER N Wn 计算低通滤波器的系统函数 B A BUTTER N Wn high 如果Wn为单元素向量 BUTTER N Wn 计算高通滤波器的系统函数 B