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简单数学模型入门（概率统计模型）案例一：敏感性问题调查一、问题引出政治问题的民意调查人、公众意见调查员、社会科学家等需要精确地测定持有某种信念或经常介入某种具体行为的人所占的百分比（如大学生中考试作弊所占的百分比，某群体中服用过违禁药物的比例数，市民乘坐公共汽车逃票人所占的比例，一个群体中参加赌博的比例，个体经营者的偷税漏税户的比例等）。他们的出发点是要从人群中随机挑选出一些人得到他们对所提问题的诚实回答。但人们认为这些问题属于个人隐私，常常因为怀疑调查者是否能保密而不愿意如实回答。二、调查方案 1965年Stanley L.Warner发明了一种能消除人们抵触情绪的“随机化应答”方法。调查方案如下： 被调查者进入一间无人的房间，自己从一个装有黑球和白球的箱子（其中黑球所占比率为）里随机抽取一个球，看过颜色后放回。 若抽出白球则回答问题A：你的生日是否在7月1日之前； 若抽出黑球则回答问题B：你考试是否做过弊。被调查者无论回答问题A或B，都只需要在一张只有“是”和“否”两个选项的答卷上作出选择，然后投入密封的投票箱内。当有较多的人参加调查后，打开投票箱统计总票数以及回答“是”和“否”两种答案的票数。由于该房间里只有被调查者一人，故而其他人并不知道被调查者抽到什么颜色的球以及在答卷中如何选择，这样就不会泄露个人秘密，从而保证了答卷的真实可靠性。问题：如何通过已知的黑、白球的比例，通过统计出来的总票数以及回答“是”和“否”两种答案的票数，利用概率论相关知识，进行分析确定被调查者中考试做过弊的比例。三、理论知识1、生日在7月1日以前和以后的概率都为0.5（等可能性）。2、大数定律中频率依概率收敛于概率，在一定条件下可以用频率来估计概率的值。即，其中为某事件发生的概率，为试验次数，为某事件在次试验中出现的次数。3、全概率公式：已知完备事件组，且都具有正概率，则对任一个事件有， 特别有：完备事件组，有 。四、解决方案设事件表示任取一个球为白球，事件表示任取一个球为黑球，事件表示答卷上回答“是”。显然，。设共有张有效答卷，其中张选择“是”，则可用频率来估计回答“是”即事件的概率，记为。显然回答“是”有两种情况：一种是摸到白球对问题A回答“是”，也就是被调查者“生日在7月1日之前”的概率，即；另一种是摸到黑球对问题B回答“是”，也就是作过弊的被调查者在参加调查的总人数中的比率，即。利用全概率公式，将上述数据代入下列公式：即 ， 则 。注：设箱子里有50个球，其中30个黑球，20个白球。被调查者共有1583名，最后统计答卷，全部有效，其中回答“是”的有389张，据此可估算出：，则即在1583名被调查者中约有7.62%的人曾经做过弊。五、应用此类敏感性问题调查属于随机模型，在社会学、法学、经济管理等方面有着重要的应用。案例二：狼来了“狼来了”的故事大家都很了解，讲的是一个孩子每天到山上放羊，山里时常有狼出没。前两天孩子每天在山上骗人的喊“狼来了”，山下的村民被骗了两次后，第三天真的狼来了的时候，听到孩子的呼喊，再也没有人相信，以致于羊被吃掉，孩子也差点丢了性命。试分析当孩子说谎后，村民对孩子的可信任程度是如何下降的。分析：设事件表示孩子可信任，表示孩子不可信任，表示孩子说谎。不妨根据村民过去对该孩子的印象，设 ， 而不妨设可信任的孩子说谎的概率为，不可信任的孩子说谎的概率为。第一次村民上山打狼，发现狼没来，即孩子说了谎。村民根据这个信息，对该孩子的可信任程度改变为即村民上了一次当后，对孩子的可信任程度由原来的0.8下降为0.444，即 ， 第二次村民上山打狼，发现狼没来，即孩子又说了谎。村民对孩子的可信任程度改变为即村民经过两次上当，对孩子的可信任程度已从0.8降到0.138，如此低的可信度，村民听到第三次呼喊时怎么可能再会上山打狼呢！案例三：求职面试问题一、问题引出设想你在求职过程中得到了三个公司发给你的面试通知。为简单记，假设每个公司都有三个不同的空缺职位：一般的、好的、极好的。其工资分别为年薪2.5万、3万、4万元。估计能得到这些职位的概率分别为0.4、0.3、0.2，且有0.1的概率将得不到任何职位。由于每家公司都要求你在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位，那么你应遵循什么策略来应答呢？二、理论知识一个阶段的状态给定以后，从该状态演变到下一阶段某个状态的一种选择（行动）称为决策。如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需要作出决策（采取措施），一个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，这种问题称为多阶段决策问题。解决这类问题常用两种方法：顺推和逆推。一般地，若初始状态确定，目标状态不确定，则应考虑采用顺推；反之，若目标状态确定，而初始状态不确定，就应该考虑采用逆推；那么，若是初始状态和目标状态都已确定，一般情况下顺推和逆推都可以选用。三、解决方案分析：求职面试问题中，极端的情况很容易解决，比如，如果有一家公司聘你担任极好的职位，当然就不再去下一家公司面试了；如果有一家公司不聘你，就必然要到下一家公司去面试。而对于其他情况，作任何决定都是要冒风险的，一种方法就是采取使期望收益达到最大值的行动。具体求解时由于在将来的决策作出之前，当前决策的结果不能估算，为了避开这种困难的方法，就是先分析未来的决策，即采用逆推解法进行求解。求解：先将可用数据列成表格如下：工资（年薪）概 率一般：2.5万元0.4好的：3万元0.3极好：4万元0.2没有工作：00.1考虑你尚未接受职位而要去进行最后一次（即第三次）面试，则可确定公司提供工资的期望值为：2.50.4+30.3+40.2+00.1=2.7（万元）由第三次面试的期望值2.7万元，通过分析来决定第二次面试应采取的行动。工 资工资比较第二次面试结果工资期望值概率一般：2.5万元2.52.7接受3万元0.3极好：4万元42.7接受4万元0.2没有工作：002.7进行第三次面试2.7万元0.1即第二次面试的决策应是：接受“好的”和“极好”的职位，拒绝“一般”的职位。第二次面试的期望值为：2.70.4+30.3+40.2+2.70.1=3.05（万元）由第二次面试的期望值3.05万元，通过分析来决定第一次面试应采取的行动。工 资工资比较第一次面试结果工资期望值概率一般：2.5万元2.53.05进行第二次面试3.05万元0.4好的：3万元33.05接受4万元0.2没有工作：003.05进行第二次面试3.05万元0.1即第一次面试的决策应是：接受 “极好”的职位，拒绝“好的”和“一般”的职位。第一次面试的期望值为：3.050.4+3.050.3+40.2+3.050.1=3.24（万元）注：该面试决策问题的对应策略为：第一次面试只接受“极好”的职位，否则进行第二次面试；第二次面试时可接受“好的”和“极好”的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受能提供