GCT数学—线性代数公式.doc

工程硕士十万个为什么 QQ群94991477第五章 线性代数【备考要点】线性代数部分的考点主要包括行列式，矩阵，向量，线性方程组和特征值问题五个部分。其中行列式部分主要考查行列式的概念和性质，行列式展开定理，行列式的计算；矩阵部分主要考查矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换；向量部分主要考查向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和矩阵的秩；线性方程组主要考查线性方程组的克莱姆法则，线性方程组解的判别法则，齐次和非齐次线性方程组的求解；特征值问题主要考查特征值和特征向量的概念，相似矩阵，特征值和特征向量的计算，n阶矩阵可化为对角矩阵的条件和方法。第一节 行列式行列式是线性代数的一个重要工具。线性代数中很多重要的问题都可以用行列式来讨论，例如，n阶行列式可以用来判断n元向量的线性相关性，判别矩阵是否可逆，判别系数矩阵为方阵的线性方程组的解是否唯一，当有唯一解时还可以用克莱姆法则求线性方程组的解，还可以用来求矩阵的特征值。因此，就备考GCT考试来说，掌握行列式是至关重要的第一站。【解题技巧】【必知公式】行列式的定义： 一阶行列式定义为 二阶行列式定义为 在n阶行列式中，划去元素所在的第行和第列，剩余元素构成n-1阶行列式，成为元素的余子式，记做。 令，则称为的代数余子式。 n阶行列式的定义为+行列式的性质： 行列式中行列互换，其值不变 行列式中两行（列）对换，其值变号 行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以将公因子提到行列式外 行列式中如果有一行（列）每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和由以上四条性质，还能推出下面几条性质： 行列式中如果有两行（列）元素对应相等，则行列式的值为0 行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则行列式为 0 行列式中如果有一行（列）元素全为0，则行列式值为 0 行列式中某行（列）元素的倍加到另一行（列），则其值不变n阶行列式的展开性质：=等于它的任意一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积和，即+ 按列展开定理+ n阶行列式的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积和等与零，即+0 按列展开的性质 +0 特殊行列式 ； 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同。第二节 矩 阵 矩阵是线性代数中最重要的研究对象，熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置、求逆和初等变换等运算是学好线性代数的重要基础。【解题技巧】【必知公式】 1 矩阵的概念和运算矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的幂乘的定义及性质。 矩阵乘法定义： 矩阵乘法不满足交换律和消去律。满足结合律和左（右）乘分配律。若A可逆，则B=C A，B是n阶方阵，则 2逆矩阵 定义：对方阵A，若存在方阵B使得AB=BA=I A可逆 公式： , 3伴随矩阵 定义： 基本关系式： 与逆矩阵的关系： 行列式：4矩阵方程 设A是n阶方阵，B是矩阵，若A可逆，则矩阵方程有解，其解为. 设A是n阶方阵，B是矩阵，若A可逆，则矩阵方程有解，其解为.5矩阵的秩 在矩阵A中，任取k行k列，位于这k行k列交叉处的个元素按其原来的次序组成一个k阶行列式，称为A的一个k阶子式。 若矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有r1阶子式全为零，则称矩阵A的秩为r，记作r(A). 显然有 ， ； A中有一个r阶子式不为零； A中所有r1阶子式全为零；对于n阶方阵A，； 对于n阶方阵A，若，则称A是满秩方阵。6矩阵的秩有以下一些常用的性质： , ，（）； ； ，； ，其中n为矩阵A的列数；若，则。 若A可逆，则；若B可逆，则。 第三节 向 量【必知公式】1向量组的线性组合与线性表示 设是n维向量，是数，则称为向量的一个线性组合。 若，则称可由线性表出。2线性相关与线性无关定义：设是n维向量，若存在不全为零的数，使得0，则称线性相关，否则称为线性无关。定理：若线性无关，而，线性相关，则可由线性表出，且表示法唯一。判断 设是n维向量，线性相关存在某个向量可被其余s1个向量线性表出。 n个n维向量线性相关。 n1个n维向量必线性相关。 增加向量组向量的个数，不改变向量组的线性相关性； 减少向量组向量的个数，不改变向量组的线性无关性。 增加向量组向量的维数，不改变向量组的线性无关性； 减少向量组向量的维数，不改变向量组的线性相关性。 含有零向量的向量组必线性相关。 含有两个相同向量的向量组必线性相关。3向量组的秩和极大线性无关组定义：设向量组是向量组的一个部分组，满足（1）线性无关；（2）向量组的每一个向量都可以由向量组线性表示出，则称是向量组的一个极大线性无关组。向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩。求法 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化作阶梯形。 求极大线性无关组的步骤：（1）将向量依次按列写成矩阵；（2）对矩阵施行行初等变换，化作阶梯形；（3）主元所在列标对应到原向量构成一个极大线性无关组。例如（行初等变换）主元所在列是第1列、第2列、第4列，因此的一个极大线性无关组是，且。4向量组的秩与矩阵的秩 设A是矩阵，将矩阵的每个行看作行向量，矩阵m个行向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的行秩。 将矩阵的每个列看作列向量，矩阵的n个列向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的列秩。 矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩。（三秩相等）第四节 线性方程组【必知公式】1齐次线性方程组有非零解的判定条件 设，齐次线性方程组AX=O 有非零解r(A)n； AX=O只有零解 r(A)0，即系数矩阵满秩。 设A是n阶方阵，齐次方程组AX=O 有非零解；AX=O只有零解. 设，当mn时，齐次线性方程组AX=O 必有非零解。2齐次线性方程组解的性质若是齐次线性方程组AX=O的解，则和仍是AX=O的解；若是齐次线性方程组AX=O的解，则的任意常数倍仍是AX=O的解。3齐次线性方程组AX=O解的结构 AX=O的一个基础解系.其要点为：（1）都是AX=O的解；（2）它们是线性无关的；（3）AX=O的任何一个解都可以由它们线性表出。因此基础解系往往不是唯一的。 若n元齐次线性方程组AX=O的系数矩阵A的秩r(A)=r，则基础解系中含有nr个线性无关的解向量。（这一点和上面的（3）等价，即t=nr） 若是齐次线性方程组AX=O的一个基础解系，则齐次线性方程组AX=O的通解（一般解）是 其中是任意常数。 解齐次线性方程组AX=O的基本方法解齐次线性方程组AX=O的基本步骤：（1）对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作行阶梯形；（2）假设有r个非零行，则基础解系中有nr个解向量，选非主元所在的列的变量为自由未知量；（3）将自由变量依次设为单位向量，求得所需的线性无关的解向量。4非齐次线性方程组有解的判定 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即 若n元非齐次线性方程组有解，即当r=n时，方程组有唯一解；当rn时，方程组有无穷多解。5非齐次线性方程组解的性质 设是非齐次线性方程组的两个解，则是导出组的一个解。 非齐次线性方程组的任一解与导出组的解的和是非齐次线性方程组的解。6非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组的通解（一般解）是非齐次线性方程组的一个特解导出组的基础阶层的线性组合。 设非齐次线性方程组，若，是的一个特解，是导出组的基础解系，则的通解（一般解）是 其中是任意常数。第五节 矩阵的特征值和特征向量【必知公式】1特征值的定义：设，是A的特征值，X是A的属于特征值的特征向量。2特征值的性质 若都是A的属于的特征向量，则也是A的属于特征值的特征向量。 若是A的属于特征值的特征向量，是非零常数，则也是A的属于特征值的特征向量。3特征值的求法 A的特征多项式：. 由属于的特征向量。（求基础解系） 属于不同特征值的特征向量是线性无关。4相似矩阵定义：设，若存在可逆矩阵P，满足，则称B相似于A, 记作AB.5相似矩阵的性质相似矩阵由相同的秩，相同的迹，相同的行列式，相同的特征值。6n阶方阵的相似对角化的条件 n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量。 n阶方阵A可对角化A的每个特征值的重数等于它对应的线