随机变量的相互独立性).ppt

定义3 9设n维随机变量 X1 X2 Xn 的分布函数为F x1 x2 xn FXi xi 为Xi的边缘分布函数 如果对任意n个实数x1 x2 xn 有则称X1 X2 Xn相互独立 3 4随机变量的相互独立性 第3章多维随机变量及其分布 3 4随机变量的相互独立性 易知 在离散型随机变量的情形 如果对于任意n个取值x1 x2 xn 有则X1 X2 Xn相互独立 在连续型随机变量的情形 如果下式几乎处处成立则X1 X2 Xn相互独立 这里 几乎处处成立 是指除去测度为零的点集外处处成立 特别地 二维的情形 2 若离散型随机变量 X Y 的联合分布律为 3 4随机变量的相互独立性 在平面上几乎处处成立 在平面上几乎处处成立 允许在平面上存在面积为零的集合 在其上等式不成立 3 4随机变量的相互独立性 3 4随机变量的相互独立性 例3 16 设随机变量X和Y的联合分布律为若X与Y相互独立 求参数a b c的值 解 首先写出两个边缘边缘分布律 3 4随机变量的相互独立性 利用X与Y相互独立的条件 3 4随机变量的相互独立性 例3 17 已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1 2的0 1分布 定义随机变量求Z的分布律 X Z 的分布律 并问X与Z是否独立 解 由X与Y的分布律及独立性得到下表 1 1 1 0 0 0 0 1 X Z 1 0 0 1 Z 1 1 1 0 0 1 0 0 X Y 0 25 0 25 0 25 0 25 pij 1 0 5 pi 0 5 0 25 0 25 1 0 5 0 25 0 25 0 p j 1 0 XZ X Z 的分布律及边缘分布律为 由于P X i Z j 0 25 0 5 0 5 P X i P Z j i j 0 1 所以X与Z独立 0 5 3 4随机变量的相互独立性 3 4随机变量的相互独立性 例3 18 某电子仪器由两部件构成 以X和Y分别表示两部件的寿命 单位 千小时 已知X和Y的联合分布函数为 问X与Y是否独立 解法一 由边缘分布函数的定义知显然 对任意实数 均有 故X与Y独立 3 4随机变量的相互独立性 解法二 由分布函数与概率密度的关系知因而对任意的 均有 故X与Y独立 补充例 种保险丝的寿命 以一百小时计 X服从指数分布 其概率密度为有两只这种保险丝 其寿命分别为设相互独立 求的联合概率密度 2 在 1 中 一只是原装的 另一只是备用的 备用的只在原装的熔断时自动投入工作 于是两只保险丝的总寿命为 求 3 4随机变量的相互独立性 因两只保险丝的寿命相互独立 故的联合概率密度为 概率密度为 概率密度为 解 1 3 4随机变量的相互独立性 2 3 4随机变量的相互独立性 例3 19 设服从二维正态分布 则X与Y相互独立的充要条件是 0 证 二维正态分布的概率密度为由例3 11知 的乘积为因此 若 0 则对所有x y有即X与Y独立 3 4随机变量的相互独立性 反之 若X与Y独立 由于f x y fX x fY y 都是连续函数 故对所有的x