《无穷小量定义》PPT课件.ppt

一 无穷小量 1 定义 极限为零的变量称为无穷小量 5无穷小量与无穷大量 设f在某U x0 内有定义 若则称f为当x x0时的无穷小量 若函数g在某U x0 内有界 则称g为x x0时的有界量 类似可定义x x0 x x0 x x 以及x 时的无穷小量与有界量 任何无穷小量都是有界量 例1 注意 1 无穷小是一种变量 不能与很小的数混淆 2 零是可以作为无穷小的唯一的常数 问 无穷小是否为很小的数 很小的数是否为无穷小 二 无穷小量与极限的关系 定理1 意义 1 将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷小量 三 无穷小量的性质 性质1有限个相同类型的无穷小量的和 差 积仍是无穷小量 性质2 同一过程中的 有界量与无穷小量的乘积是无穷小 即O 1 o 1 o 1 用迫敛性可以证明 证法1 证法2 性质2 同一过程中的 O 1 o 1 o 1 即O 1 o 1 o 1 注意无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小 无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小 四 无穷小量阶的比较 无穷小量之比的极限 0 0 可以出现各种情况 出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同 例如 不可比 观察各极限 设当x x0时 f与g均为无穷小量 1 若则称当x x0时 f为g的高阶无穷小量 或称g为f的低阶无穷小量 记作 例如 当x 0时 x x2 xn n为正整数 等都是无穷小量 有 若存在正数K和L 使得在某U x0 上有 则称f与g为当x x0时的同阶无穷小量 f与g必为同阶无穷小量 2 注若f x g x 是同阶无穷小量 则可记作f x O g x 但若f x O g x 则f x 与g x 不一定是同阶无穷小量 属于 函数类 3 若则称当x x0时 f与g是等价无穷小量 记作 f x g x x x0 注 并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较 例如 当x 0时 xsin1 x和x2都是无穷小量 当x 0时不是有界量 当x 0时不是有界量 故当x 0时 xsin1 x和x2不能比较 例1 例 解 常用等价无穷小 五 等价无穷小量在求极限问题中的作用 定理3设函数f g h在U x0 内有定义 且有f x g x x x0 证 2 推论 证 证毕 例5 解 例6 解 解 错 注意 只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小项不能随意作等价无穷小量代换 作业 P66 1 4 2 2 六 无穷大量 定义2设函数f在某U x0 内有定义 若 则称函数f当x x0时有非正常极限 记作 若将 f x G 换成 f x G 或 f x G 则分别称f当x x0时有非正常极限 或 分别记作 类似可定义其他极限过程的非正常极限 定义3对于自变量x的某种趋向 或n 时 所有以 或 为非正常极限的函数 包括数列 都称为无穷大量 至此 我们定义了极限的全部24种情形 刻画函数极限值情况 刻画自变量变化情况 注意 1 无穷大量是变量 不能与很大的数混淆 3 无穷大量是一种特殊的无界变量 但是无界变量未必是无穷大量 证 证 七 无穷小与无穷大的关系 定理4在同一过程中 无穷大量的倒数为无穷小量 恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量 证 意义 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小的讨论 注对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度 定义高 低 同 阶无穷大以及等价无穷大 也可以进行等价无穷大量替换 例3 分析 证明 证明 八 曲线的渐近线 定义 1 垂直渐近线 即动点沿着上下方向无限远离原点时 动点到直线x x0距离趋于0 例如 有垂直渐近线两条 求垂直渐近线 一般关注分式中分母为0的点 2 水平渐近线 例如 有水平渐近线两条 即动点沿着左右方向无限远离原点时 动点到直线y b