超变函数论探讨.doc

超变函数论探讨于涤尘（长安大学，陕西 西安 710054）内容提要：本文是在总结前人关于超复数研究的材料后，以全新的视角：首先建立第四运算，再由第四运算的逆运算引出空数j，从而把复数域拓广到超复数域，本文节选作者研究成果中的三部分，即超复数的代数运算、超复数解析条件、超复数与场论的关系。关 键 词：第四运算；空数j；超复数；解析条件；场论0 序言数域的扩展课题并不是新课题。在十九世纪初期，对所谓超复数的研究就曾风云一时。当时的代表人物是匈牙利的伯依阿依及英国的汉弥登，他们给出了复数理论的纯算术基础，即由实数对来建立复数1。当时的数学界已经有许多可贵的理由要求数域再继续扩展下去。为此数学家们就希图沿着伯依阿依之路利用三个实数的数组或四个实数的数组等等去建立更为广义的新数域。他们总结了截至于复数域的一切数域的十个共性，也称为数域的十个条件即：1、对于任意两个数，它们的和是唯一确定的。2、对于任意两个数，它们的积是唯一确定的。3、存在一个数零它具有性质：对于任意，均有a+0=a。4、对于每一个数a，均存在负数x，适合等式a+x=0。5、加法适合交换律：a+b=b+a。6、加法适合结合律：（a+b）+c=a+(b+c)。7、乘法适合交换律：ab=ba。8、乘法适合结合律：(ab)c=a(bc)。9、乘法对加法适合分配律：a（b+c）=ab+ac。10、对于每一a以及每一b0，存在唯一的数x，满足等式bx=a。围绕这十个条件，他们想求出超复数的乘法运算，使得超复数作为一个域，从而得到更广义的数域。但结果得出的仍然是通常的复数。在这个研究过程中，他们得出一个重要的结论，即如果不改变上面的域的110的条件，欲建立一个广义的数域是不可能的。也就是说，新的数域必须放弃110中的某项或某几项才行。伯依阿依和汉弥登之路到了一个突破口上。但后来人们仅仅看到了他们失败的一面，而没有看到他们揭示的突破口新数域的生命力建立在必须放弃以往全体数域的110条件中的一项或数项；反而出现了“复数占有完善而特殊的地位”的顶峰论，也称为复数域封闭论2。1 第四运算与超数的代数运算依笔者的看法，数域的扩展必须与运算类的扩充联系起来，这才是唯一正确的研究路线。1.1 第四运算与空数j数域的拓广必须与运算类的扩充紧密联系起来。为此，我们应该对人类截止到目前所具有的三大类运算加以考察，从中找出其规律性的东西。第一运算（加法）的一般式是a+b=c；其特殊式是a+a=c,即两个相同的数相加。如果人们把自己的思维停滞在这里，而不升华到第二运算（乘法）的话，数学也就僵化了。人类终究做到了这一点。他们在两个相同的数相加时，把自己的思维升华成a+a=2a，新的运算产生了。同样，人们又没有停滞在第二运算那里。当两个相同数相乘时，人类思维又升华到第三运算，即aa=a2。把这一思维推演下去，当相同的数连续乘方，即( a)(n个a连续的乘方),人们的思维是停滞于第三运算那里？还是再次升华到更高一级的运算？显然人类应该具有这样更高一级运算第四运算，可记为a=( a)=a称为拐方运算（由于使用了一个拐角符号L,可读作a的拐角n）。其一般形式是，其中b为任意复数。这其中的规律就如下表所示。运算类的扩展：类别转化第一运算第二运算第三运算第四运算一般式a+b=c特殊式a+a=c2a=c一般式ab=c特殊式aa=ca2=c一般式ab=c特殊式aa=ca=c一般式a=c由此表可见运算类是无穷无尽的，只是客观实践是否需要而已。第四运算确有其客观性：方程W=ZlnZ(Z=a+ib)反映了流线为对数螺旋线的不可压缩流体的流动3。现在我们来谈数的扩充。我们知道数的拓广是每一类运算的逆运算引发的。第四运算的逆运算在复数域内是否完全可以通行呢？显然，只要W0，方程=W在复数域内总是有解的。但是，当W=0呢？这可归结为有无复数Z使=W永远成立？答案是当W=0时这样的复数不存在，于是必须有一个超出复数域的新数j，使=0。特别是n=1时有jj=0。空数j出现后，在笛卡几坐标系中空间任一点都对应一个新数Q=a+bi+cj，可命之为超数。为研究空数j的性质，我们建立下面的几个公理。公理1：设a、b是任意数域中的数若aa=bb 则a=b因对一切正整数n，方程在复数域中无解。此式又可变为=0，它同样在复数域中无解，于是需命一个新的数j，使。前已述及，有=0，所以，于是据公理1，有性质：又，=0，在复数域中无解，由于此式属于第四运算的逆运算（的结构），于是需命新数j，使=0，又因=0，所以=据公理1，有性质：，即公理2：对一切数，就其模而言，有 （n为正整数）据此公理，又 ，于是，有性质：定义：模为1的数称为单位1公理3：单位1乘单位1仍为单位1据此公理，有性质： 或 其中i为虚数，j为空数1.2 超数的运算（1）两超数相等设 若 则 （2）两超数相加、减：（3）两超数相乘我们仅以模为1的两个超数为研究对象，至于一般的超数，只要增加其模相乘的因子即可。所以此时我们认定 （1-1）现需对（1-1）式中项进行分解，据的三种可能的分解方法，首先令 将其代入（1-4）式，得据公理3，因和均为单位一，所以，即因 ， 所以有为求之值，在的条件，可以没，代入上式，并令于是有 其次，令 将其代入（1-1）式，实施上述手续，可得且可得 最后，令 将其代入（1-1），实施同样的手续，可得且可得 当相应于的每一分解式的求出后，的积即可求出，显然这样的乘积有三个。由超数的乘法，我们可以看到：第一，在单独存在时，是不确定的。但一旦进入具体的运算结构中去，它就被具体问题所约制，而成为完全确定的事实，的分解系数及被确定下来。第二，乘积有三个可能的值。而后我们在进行超数的乘方（方指数为正整数n）运算时，也可以看到这两个特点。这两个特点是超数运算的独有特点，是有别于以往任何一类数域的。（4）超数的除法仍以单位球上的为研究对象，即设现进行除法设 于是（1-2）首先令 代入上式，得据公理3， 所以 又比较上式的左右两边，可以出三个方程；再有，又出一个方程，总结起来有联立方程。由此五个方程联立，即可解出的计算任务即可完成。同样，我们由及由去对（1-2）式的项进行分解，也可得出相应的五个方程的联立方程，由于纯属罗列，此不赘述。（5）超数的乘方方指数为正整数n。我们采用球坐标来表示任意超数，即因，所以只以为研究对象，的计算即可顺利完成了。据性质I ，所以（1-3）现单独计算后一项，即其中 （1-4）现又涉及到项的分解问题。（1）令将其代入（1-4）式，得（1-5）据公理3，所以（1-6）（考虑到及 则（1-6）式变为：所以 （1-7）当计算出来，也可以计算出来，回到（1-5）式，的计算就完成了。（）令 将其代入（1-4）式，得 （1-8）我们仍然根据，可求出 （1-9）其中当计算出来，的计算即可完成。（）令 将其代入（1-4）式，得 （1-10）我们还是由，求出 （1-11）其中 计算出来，的计算即可完成。总结：超数的正整数方，有三个可能的值。（6）超数的开方开方数为正整数n。因，因而这个计算任务同于下述的（7）超数的乘方方指数为任意超数，即 （1-12）如何来实施运算呢？回忆复数任意幂的计算方法当是有益的：，此即所谓的棣美佛公式，这个公式是于方指数为正整数的情况下推导出来的。当对于复数的任意幂实施运算时，只能依靠定义，即定义当计算时，在棣美佛公式中，凡有之处，皆代之以目前的。这样的计算即可进行了。仿此，我们在（1-4）式中，凡有之处，皆代之以目前的P，于是 （1-13）在（1-13）式中（顺便说一下，我们为了不使原（1-4）式中的与此处的模相混淆起见，将（1-4）中的代以小写）出现两类计算式需要讨论，一是实数的任意超数方，二是“角度”为超数的三角函数。我们立即来讨论他们。例如：吧，其中 可见，其中只有是个新问题。再例如：的计算，即可见，出现的新问题是如何计算。所以，我们来讨论，这样的一般式子（其中为任意实数）。定义 （1-14）（据性质） 定义 （1-15）（据性质）可以证明 事实上， 定义 （1-16）当有（1-14）、（1-15）、（1-16）三个公式，的计算工作就可以顺利进行了。在进行中势必又会遇到的分解问题。但是此时用以确定的分解系数的因素，只剩下一个方程，即，因为当为任意超数时，。这个因素已不能应用了。所以， 有无穷多个值，只要给出不同的及，就有不同的值。这是合理的现象，因为在复数那里，（当为任意复数时）也是多值的。2 超变函数的解析条件我们可以换一种角度来得出复变函数的解析条件，即认为复变函数的求导式子由下面的两式组成： （a）及 （b）复变函数的解析条件就取决于这两个式子的关系。例如， 在(b)式中，因为 所以 将此式与(a)式比较，得 或者在（a）式中，因为 所以 将此式与（b）式比较，也得 可见，各种变化均得到同一偏微分方程组，也即柯西黎曼条件。我们将按照这个原则来建立超变函数的解析条件。2.1 超变函数的解析条件定义：如果，在及的邻域内处处可导，那么称在解析。如果在区域内每一点解析，那么称在内解析或称是内的一个解析函数。定理：函数在定义域内解析的充要条件是：，在D内任一点可微，而且满足推广的柯西黎曼方程证明：先证必要性。设函数在其定义域内解析，那么它在内任一点可导。仿复变函数那里的情况，我们取 由此可知，对充分小的 有其中 令，由上式可得 （2-1）（）取 其中将 代入（2-1）式，并加以整理，得由于 由此可知，在点可微，所以有为方便起见，记 （2-2）则上面一组式子为 （2-3）由（2-3）式 及 令，得 （2-3-1）再令，得 （2-3-2）由（2-3-1）及（2-3-2）式可知，在的条件下，有（）取 其中将 代入（2-1）式，并加以整理，得由上式可见，在点可微，所以有考虑到（2-2）式，有 （2-4）由（2-4）式令，得 （2-4-1）又 令，得 （2-4-2）（）取 其中代入（2-1）式，并加以整理，得同样的道理，可知，在点可微，所以有 考虑到（2-2）式 （2-5）由（2-5）式令，得 （2-5-1）又 令，得 （2-5-2）综上所述，在的条件下，有 （2-6）且此时总有，所以仿复变函数那里的情况，我们取 ，即，从而 （2-7）（）取时，对（2-7）式的ij项进行分解，并重复前述的原则和步骤，可得 考虑到（2-2）式，有 （2-8）在的条件下，有 （2-8-1） （2-8-2）（）取时，对上面的（2-7）式进行分解，并重复前述的原则和步骤，可得考虑到（2-2）式，有 （2-9）在的条件下，有 （2-9-1）及 （2-9-2）（）时，对上面（2-7）式进行分解，并重复前述的原则和步骤，可得考虑到（2-2）式，即 （2-10）在的条件下，有 （2-10-1）及 （2-10-2）综上所述，在的条件下，有 （2-11）且此时，总有，所以仿复变函数那里的情况，我们再取 则对充分小的，有 （2-12）其中 由空数j的性质知，所以 将的表达式代入（2-12）式，就得 （2-13）（）当时，对（2-13）式中的ij项进行分解，并加以整理，再重复前述（在、两段落中）的原则和步骤，可得考虑到（2-2）式，即 （2-14）在的条件下，有 （2-14-1） （2-14-2）（）当时，同样步骤可得考虑到（2-2）式，有 （2-15）在的条件下，有 （2-15-1） （2-15-2）（）当时，同样步骤，可得考虑到（2-2）式，有 （2-16）在的条件下，有 （2-16-1） （2-16-2）综上所述，在的条件下，有 （2-17）且此时，总有，所以以上我们证明了，若超变函数在内解析，其必要条件是 （2-18）且 （2-19）显然，允许对（2-18）式变化得 为获得上式另外的表达式，我们从中任意抽出一组联立方程，例如当我们把第一组因数（、）当作变数，其他当作系数，可以得出同样的方法，可以得出其余6个关系式。总的有用（2-2）代回，即可得到超变函数的解析条件。现证充分性。由于 且由于在区域内任一点可微，即这里， （K=1-9）因此，当又知在内任一点满足推广的柯西-黎曼条件，也即式（2-18）、（2-19）成立时，在上式中于是， 于是，因为 故当时，上式右端最后三项都趋于零。所以这就是说，在区域内处处可导，因而它在内解析。2.2 关于三维调和函数的几个定理由超变函数的解析条件，立即可推导出三维拉普拉斯方程。定理1：任意一个在区域Q内的单值解析函数 的实部、虚部及空部，都是这区域内的调和函数。证明：对（2-0-1）式的两边同时对x求导，得 =+- （2-21）对(2-0-4) 两边同时对y求导，得 （2-22）对(2-0-7) 两边同时对z求导，得 （2-23）将(2-21),(2-22)和(2-23)式相加，得 （2-24）同样方法可得 （2-25） （2-26）定理2：对于每两个在单连区域Q内的调和函数（例如u及v）总可以找出另一个调和函数（例如w）。说明：因为=+所以 =+ （2-27）将 (2-20-3),(2-20-6),(2-20-9)代入，得 =()+ () + (+3几个初等函数的解析性31 （n为正整数）的解析性 （为了方便公式重新编号）其实，只需研究及的解析性，再运用乘积的求导法则和数学归纳法，即可证明的解析性。1 的解析性，其中显然，u、v、w满足推广的C-R条件（c-1）。故知，在全空间是解析的，且由（c-2）式2 的解析性由（a）式， （1）现在，对ij项进行分