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文档简介

第六节矩阵的初等变换 中南财经政法大学信息系 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是把 r 换成 c 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换 定理2 2任意矩阵通过有限次初等行变换可变换为阶梯型矩阵 阶梯型矩阵 阶梯型矩阵的特点 1 可划出一条阶梯线 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元 线的下方全为零 2 每个台阶只有一行 元素全部为零的行 如果有的话 位于矩阵的最下面 例1将矩阵化为阶梯型 解 定理2 3任意阶矩阵通过若干次初等变换可变换为如下标准型 例1中 矩阵已化为阶梯型 再用列变换可化为标准型 练习 将下列矩阵化为阶梯型和标准型 定义2 19由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 二初等矩阵及其性质 定理2 4设A是一个矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵 初等变换与初等矩阵的关系 证 1 将A按行分块 初等矩阵的性质 1 初等矩阵的转置仍为初等矩阵 2 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵 例 解 等价关系的性质 矩阵的等价关系 推论1A为阶矩阵 则必存在m阶初等矩阵 和n阶初等矩阵 使得 推论2A为阶矩阵 则必存在m阶可逆矩阵 和n阶可逆矩阵 使得 推论3n阶可逆矩阵为的等价标准型为E 定理2 6设A为可逆方阵 则存在有限个初等方阵 证 即 推论2两个阶矩阵A B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q 使得 证 解 解 即 得 利用初等变换求逆阵的方法 解 例4 练习 求下列矩阵的逆矩阵 即
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