高中数学1-1(文)第三章 导数及其应用学案3.4生活中的优化问题举例.doc

3.4生活中的优化问题举例知识梳理1、在生产实践及科学实验中，常遇到质量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利润最大、投入最小等问题，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，通常称为优化问题。解决优化问题的常见方法有判别式方法、平均不等式方法、线性规范方法、差分方法、利用二次函数的性质和利用单调性等。2、不少优化问题，可以化为求函数最值问题，对于函数的最值问题，多利用函数的图像、性质以及不等式的性质来解题。其中求导数是求函数最大（小）值的有力工具。导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。主要有以下几个方面：与几何有关的最值问题；与物理学有关的最值问题；与利润及其成本有关的最值问题；效率最值问题等。3、利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；（2）求函数的导数，解方程；（3）比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。解决生活中的优化问题应当注意的问题：（1）在求实际问题的最大值、最小值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去；（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值；（3）在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应该确定函数关系式中自变量的定义区间。典例剖析:题型一 面积最小问题例1 如图，等腰梯形的三边分别与函数，的图象切于点.求梯形面积的最小值。题型二 最大利润问题例2 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200x2,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入成本)备选题例3：统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升），关于行驶速度（千米/时）的函数，解析式可以表示为（），已知甲、乙两地相距100千米，（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？点击双基1、要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为( )A B C D 2、已知一球的半径为r,作内接于球的圆柱,则圆柱的侧面积最大值为( )A B 3 C D 3、进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，所获得利润最大时售价应为 （ ）90 95 100 105 4.用以长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地面积最大值为. 5. 一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？ 课外作业一 选择题1、某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1=17x2,生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2=2x3-x2(x0),为使利润最大，应生产（ ） A9千台 B8千台 C6千台 D。3千台2、把长度为8cm的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积最大值为（ ）A 2 B 4 C 8 D 以上都不对3、设正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为 （ ） A. B. C. D 24、欲制作一个容积为立方米的圆柱形储油罐（有盖），为能使所用的材料最省, 它的底面半径与高分别为 ( )底面半径为0.5米，高为1米； 底面半径为1米，高为1米 ； 底面半径为1米，高为2米 ； 底面半径为2米，高为2米5、内接于半径为R的圆的矩形，周长最大值为（ ）A 2R B 3R C 4R D 4R6、生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一个单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)=则总利润最大时年产量是 （ ）A 100 B 150 C 200 D 3007、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船问哪种方案合算（ ）方案一； 方案二； 方案一和方案二都一样； 还有更合算方案解:由8、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人(不到100人不组团),要使旅行社的收费最多?, 旅游团组团人数为 ( ) 130； 140； 150； 160二填空题9、过抛物线y=x2-3x上一点P的切线的倾斜角为45，它与两坐标轴交于A，B两点，则AOB的面积是 10、容积为256cm的方底无盖水箱，它的高为 时，材料最省。11、铁道机车运行1小时所需的成本由两部分组成，固定部分为元，变动部分与运行速度V（千米/小时）的平方成正比。比例系数为k（k0）。如果机车匀速从甲站开往乙站，当机车以_速度运行时，成本最省。三 解答题12、如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积最大时小正方形的边长为 13、某厂生产产品x件的总成本(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？ 14、一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知当速度为10的燃料费是6,而其他与速度无关的费用是96,问轮船以何种速度航行时,能使行使路程的费用总和最小?思悟小结在生产实践及科学实验中，常遇到“最好”，“最省”，“最低”，“最大”和“最小”等问题例如质量最好，用料最省，效益最高，成本最低，利润最大，投入最小等等，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，通常称为优化问题参考答案典例剖析:例1 解：设梯形的面积为，点P的坐标为。由题意得， 点的坐标为，直线的方程为。 直线的方程为即： 令 得，令 得，当且仅当，即时，取“=”且， 时，有最小值为.梯形的面积的最小值为。 评析：本题用不等式求最小值，也可以用导数求最小值。例2 解:每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200x2)x(50000+200x)=x3+24000x50000(x0).由f(x)=x2+24000=0,解得x1=200,x2=200(舍去).f(x)在0,+)内只有一个点x1=200使f(x)=0,它就是最大值点.f(x)的最大值为f(200)=3150000(元).每月生产200 t才能使利润达到最大,最大利润是315万元.评析：当只有一个点使时，就是最大利润。例3： 解：（1）当x=40千米时，汽车从甲地到乙地，行驶了小时，要消耗汽油 。 （2）当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地，行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=令=0 ，解得x=80当x（0，80）时，因为0, h(x)是增函数所以 当x=80时，因为h(x)在（0，120上只有一个极值，所以这个极值就是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。评析：函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.点击双基1、解：设高hcm,底半径为rcm,+=400.又体积V=h， 则V=（400-）h，令=0，得唯一极值点h=，故选D2、解：设圆柱高h, 圆柱底半径x,则+=;=2xh=2x,令y=16(-+),=0得唯一极值点x=,所以h=r. 所以最大值，故选A3、 解：设售价为元时利润为，此时售量为当时，（元）。即售价为95元时获利最大，其最大值为4500元，故选A4. 解:设矩形长为xm,则宽为（8-x）m, 矩形面积s=x(8-x) (0x8) 令=8-2x=0,得x=4. 所以=16（）5. 解：（1）设小正方形边长为x cm,则V=（82x）(52x)x=4x326x2+40x (0x) V=4(3x213x+10) V=0得x=1或（舍去） ， 根据实际情况，小盒容积最大是存在的， 当x=1cm时，容积V取最大值为18cm3. 课外作业一 选择题1、解：，故选C2、解：设矩形边长为a,b;则a+b=4, 矩形面积s=ab=(4-b)b令=4-2b=0，得b=2,唯一极值点，所以a=2，=4，故选B3、解：设正三棱柱底面边长为x,高为h;则V=h, 表面积s=3xh+2即有s=+, =(-4V),令=0得唯一极值点x=，