《概率和概率分布》PPT课件.ppt

第二章概率和概率分布 第二章概率和概率分布 第一节概率的定义及基本运算 生活中充满了各种现象 不确定现象 确定现象 随机事件 Probabilityisabranchofmathematicsconcerningthestudyofrandomprocesses Randomdoesnotmeanhaphazard 随机试验 randomexperiments 的定义 3条 可以在相同的条件下重复地进行 每次试验的可能结果不止一个 并且能事先明确试验的所有可能结果 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 Awell definedprocesswithanuncertainoutcome 第一节概率 Probability 1 概率的定义 随机 事件发生可能性的数字度量 P所有事件之和为1 0 0 5 1 0 必然事件 不可能事件 这是描述性定义 某事件在同一试验的大量重复下出现的频率的稳定值称为该事件的概率 试验者 抛硬币次数 出现正面次数 出现正面频率 Buffon DeMorgan Feller Pearson Pearson Lomanovskii 4040 4092 10000 12000 24000 80640 2048 2048 4979 6019 12012 39699 0 5069 0 5005 0 4979 0 5016 0 5005 0 4923 抛掷硬币试验 统计学定义 做了8千次了可还差得远呢 古典概率的定义 什么是古典概型 设S是试验E的样本空间 若S只含有有限个样本点 且每个基本事件出现的可能性相等 则称E为古典概型 等可能概型 有限性 等概性 古典概率的定义 设E为古典概型 S为E的样本空间 A为任意一个事件 定义事件A的概率P A A所包含的基本事件数m 基本事件总数n m n 古典概型的判断方法 古典概率的计算步骤 弄清试验与样本点 数清样本空间与随机事件中的样本点数 列出比式进行计算 判断 掷两次硬币 其基本事件是正正 正反 反正 反反 正正 反反 一反一正 2 概率的运算 加法法则条件概率乘法法则事件的独立性全概率定理和Bayers定理 1 加法法则 两事件的和的概率 P A B P A P B P A B 或 一个特例 对互不相容事件 互不相容事件P A B 0 P A B P A P B 有限个事件两两互不相容 则P A1 A2 An P A1 P A2 P An 推而广之 若A1 A2 An构成一个完备事件组 则它们的概率和为1 即P A1 P A2 P An 1 A1 A2 An Cagewith10rats 2infectedwithvirusX only 1infectedwithvirusY only 5infectedwithbothXandY2infectedwithneither Experiment DrawoneratrandomEvents A ratisinfectedwithX B ratisinfectedwithY C ratisinfectedwithonlyX P A P B P C 6 10 7 10 2 10 2 条件概率 conditionalprobability 一个事件A发生的条件下 另一个事件B发生的概率 记做P B A 条件概率 P B A ProbabilityofBgivenA P AandB P A 计算公式 P BA P A B P A 即在计算条件概率P BA 时 把样本空间S缩小为只取A所包含的基本事件 S 有利事件为AB S B A S A P A B P A 无条件概率S B 条件概率AB A Cagewith10rats 2infectedwithvirusX only 1infectedwithvirusY only 5infectedwithbothXandY2infectedwithneither Experiment DrawoneratrandomEvents A ratisinfectedwithX B ratisinfectedwithY P A B P B A P A B P A 5 6 P B A 5 7 3 乘法法则 由条件概率可得到概率乘法法则P BA P A B P A S B A P B P AB SA P B P AB P AB P A P BA B A 和 SB 假定中年男性人群中 肥胖者占20 已知这类人群中 出现动脉硬化的概率是30 问从中年男性群体随机抽出一人 既是肥胖同时又患有动脉硬化的概率是多少 P B A P AB 0 2 0 3 解 以A表示抽到肥胖者的事件 以B表示抽到患有动脉硬化者的事件 求P BA P AB P A P B A P A 0 2 0 3 1000只袋鼠 能逃过我的必杀闪电左勾拳的 不过1只 概率只有0 001 你就认命吧 4 事件的独立性 引例 P BA P AB P A 则有 例 一个家庭中母亲患高血压的概率是0 1 父亲患高血压的概率是0 2 那么一个家庭中父母亲都患高血压的概率是多少 若认为高血压只受遗传因素影响 则可以认为两者是独立事件概率是0 1 0 2 0 02 独立与互斥是一致的吗 注意 独立 A发生的概率与B是否发生没有联系 互斥 若A发生 B一定不发生 梅花鹿活到20岁以上的概率是0 8 活到25岁以上的概率是0 4 问如果一只梅花鹿已经到了20岁 问它活到25岁以上的概率是多少 5 全概率公式与Bayes定理1 完备事件组与样本空间的划分 完备事件组 2 全概率公式 全概率公式 全概率公式 P AB1 P AB2 P ABn 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题 分解为若干个简单事件的概率计算问题 最后应用概率的可加性求出最终结果 apieceofcake 例如 假定在中年男性人群中 肥胖者占20 标准体重占50 低体重者占30 这三类人群中 出现动脉硬化的概率分别是30 10 和1 问从中年男性群体随机抽出一人 患动脉硬化的概率是多少 解 以A表示抽到患者的事件以B1表示抽到肥胖者的事件以B2表示抽到标准者的事件以B3表示抽到低体重者的事件则有P B1 0 2 P B2 0 5 P B3 0 3Bi之间符合全概率公式的条件 因此有P A 30 20 50 1 30 10 P B1 P AB1 P B2 P AB2 P B3 P AB3 3 贝叶斯法则 Bayes theorem ThomasBayes1702 1761England 首先基于所掌握的证据为每一种结果分配一个概率 如果更多的证据出现 应对原有的概率进行调整以反映新的信息 Lesch NyhanSyndrome次黄嘌呤 鸟嘌呤磷酸核糖转移酶合成肌苷酸和鸟苷酸量不足PRPP过多累积尿酸浓度高 自毁容貌综合症 是一种X连锁隐性遗传病 一家族男性患病 某女表型正常 问是杂合子的概率是多少 基于一般的证据 我们认为她可能是杂合子Xx 也可能是XX 各占50 可能性 新证据是她的四个儿子都正常 在新的证据面前 该女性是Xx的概率是多少 A 有4个正常儿子 在新证据发生的条件下 Xx的概率 条件概率 全概率公式 1 2 4 1 16 1 1 0 0 5X1 16 0 5 0 5X1 0 5X1 16 Bayes定理 Bi是S的一个完备事件组 第二节概率分布 D distancethebricktravelsX 1ifIbreakawindow 0otherwiseY costofrepairT timeuntilthepolicearriveN numberofpeopleinjured Itossabrickatmyneighbor shouse 随机变量 变量 函数 function 常量 自变量X 因变量Y 在其取值范围内可自由取值 因X的变化 通过一定关系得到 如果对于x的每一个值 y都有唯一值与之对应 把y叫做x的函数 与X发生的概率有关值 随机变量X 一 随机变量 Randomvariables Anumberassignedtoeachoutcomeofarandomexperiment e是样本点 X是试验结果的数量化 X e 就是在随机试验中被测定的量 随机变量所取的值称为观测值 随机变量通常用大写字母X Y Z或希腊字母 等表示 两个特征 1 取值随试验结果而改变 2 在某一范围内取值 表示某个随机事件 例如 从某一学校随机选一学生 测量他的身高 我们可以把可能的身高看作随机变量X 然后我们可以提出关于X的各种问题 如P X 1 7 P X 1 5 P 1 5 X 1 7 随机变量的类型 随机变量 离散型随机变量 discrete 连续型随机变量 continuous 所有取值是有限个或可以逐个一一列举 全部可能取值不仅无穷多 而且还不能一一列举 而是充满一个区间 有2个孩子的家庭 观察男女的性别和次序 S 男男 男女 女男 女女 X e 1 2 3 4 X e 0 1 2 eX e X e BBBGGBGG 1234 0112 观察女孩的数量 二 离散型随机变量的概率分布 e X e X 1 2 P 2 4 1 4 随机变量取值 某随机变量发生的概率 0 1 4 BBBGGBGG 0112 设一家中有2个孩子 观察女孩的数量及概率分布 掷骰子试验 观察每个掷出点数 概率 定义 即 称此式为X的概率分布 Probabilitydistribution 设离散型随机变量的所有可能取值是 而取值的概率为 离散型随机变量概率分布的表示方法 表格表示法作图表示法函数表示法 概率函数 分布函数 表格表示法 随机变量X的概率分布全面表达了X的所有可能取值以及取各个值的概率情况 分布列 作图表示法 P31 纵坐标是概率 函数表示法 1 概率函数P x 将随机变量X所取得值x的概率P X x 写成x的函数P x 称为随机变量X的概率函数 P x P X x 掷骰子 观察点数的概率分布 有2孩 观察女孩数 P x 1 4 1 4 x 0 x 1 P x 1 6 x 1 2 6 2 4 x 2 自变量 2 分布函数定义 随机变量小于等于某一可能值的概率 F x0 p xi P X x0 xi x0 全部样本点数量化取各值的概率在任意有限区间内取值的概率 随机变量X P x 概率函数 F x 分布函数 Xo R p 累积概率函数 Cumulativedistributionfunction 解 其概率函数p x 0 0 5 p x 1 0 5 x 0时 0 F x0 p xi P X x0 0 1 0 5 0 5 0 x 1 F x P 0 x 1 0 5 x 1 F x P x 0 5 0 5 1 0 1 概率函数p x 0 0 5 p x 1 0 5 X 01 1 2 1 离散型随机变量的分布函数图为阶梯型 分布函数F x 的图形 1 单调不减性 2 0 F x 1 概率函数 分布函数 x1 x2 F x1 F x2 分布函数主要研究X在某一区间内取值的概率情况 引进分布函数F x 后 事件的概率都可以用F x 的函数值来表示 分布函数表示事件的概率 P X b F b P a X b F b F a P X b 1 P X b 1 F b 三 连续型随机变量概率分布 连续型随机变量的特点 全部可能取值不仅无穷多 而且还不能一一列举 而是充满一个区间 回忆2 分布函数的概念 分布函数 概率函数 是 的变形 它代表对无穷多个无穷小的微量求和的过程 设是随机变量的分布函数 如果存在一非负函数 使对任意实数有 则称为连续型