中考相似图形.doc

相似图形中考题集：探索三角形相似的条件1（2006达州）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD于E，F为AE上一点，且BFE=C（1）求证：ABFEAD；（2）若AB=5，AD=3，BAE=30，求BF的长2（2006常德）把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中ABC=DEF=90，C=F=45，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证APDCDQ此时，APCQ=_；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中090，问APCQ的值是否改变？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式（图2，图3供解题用）3（2006滨州）（）如图1，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T求证：PQPR=PSPT；（）如图2，图3，当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQPR=PSPT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；（）如图4，ABCD为正方形，A，E，F，G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（）所得结论为依据，求线段FG的长度5（2005玉林）如图，AB与CD相交于E，AE=EB，CE=ED，D为线段FB的中点，CF与AB交于点G，若CF=15cm，求GF之长7（2005遂宁）如图：在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点求证：6（2005扬州）等腰ABC，AB=AC=8，BAC=120，P为BC的中点，小慧拿着含30角的透明三角板，使30角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时求证：BPECFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F探究1：BPE与CFP还相似吗？（只需写出结论）探究2：连接EF，BPE与PFE是否相似？请说明理由；设EF=m，EPF的面积为S，试用m的代数式表示S8（2005苏州）（1）如图1所示，在等边ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边EDC，连接AE，求证：AEBC；（2）如图2所示，将（1）中等边ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作EDC相似于ABC，请问仍有AEBC？证明你的结论9（2005绍兴）E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图，试用刻度尺在图、中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）AQ长度BQ长度AQ、BQ间的关系图中图中由上表可猜测AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（ABCD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）10（2005青岛）操作：在ABC中，AC=BC=2，C=90，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；（2）三角板绕点P旋转，PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明11（2005南通）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点（1）求证：ADEBCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长12（2005南通）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ABC=90，AB=2DC，对角线ACBD，垂足为F，过点F作EFAB，交AD于点E，CF=4cm（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；（2）求AE的长13（2005茂名）如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，（1）若AB=6，求线段BP的长；（2）观察图形，是否有三角形与ACQ全等？并证明你的结论14（2005长沙）已知点E、F在ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FHFGAC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_；（3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明参考答案与试题解析解答题1（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ABDCD+C=180，BAE=AEDAFB+BFE=180，C=BFE，AFB=DABFEAD（2）解：BECD，ABDC，EBABABE为RtAB=5，BAE=30，AE=ABFEAD，BF=2解：（1）A=C=45， APD=QDC=90，APDCDQAP：CD=AD：CQ即APCQ=ADCD，AB=BC=4，斜边中点为O，AP=PD=2，APCQ=24=8；故答案为：8（2）APCQ的值不会改变理由如下：在APD与CDQ中，A=C=45，APD=18045（45+a）=90a，CDQ=90a，APD=CDQAPDCDQAPCQ=ADCD=AD2=（AC）2=8（3）情形1：当0a45时，2CQ4，即2x4，此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DGAP于G，DNBC于N，DG=DN=2由（2）知：APCQ=8得AP=于是y=ABBCCQDNAPDG=8x（2x4）情形2：当45a90时，0CQ2时，即0x2，此时两三角板重叠部分为DMQ，由于AP=，PB=4，易证：PBMDNM，即解得MQ=4BMCQ=4x于是y=MQDN=4x（0x2）综上所述，当2x4时，y=8x当0x2时，y=4x（或y=）3解：（）证明：在平行四边形ABCD中，ABCD1=2，Q=4PBQPDTADBS，3=6，S=5PBSPDRPQPR=PSPT（）解：PQPR=PSPT仍然成立理由如下：在PQB中，DTBQ，在PBS中，DRBS，PQPR=PSPT（）解：由（）的结论可得，AE2=EFEG，62=4EG，EG=9FG=EGEF=94=5（cm）所以，线段FG的长是5cm5解：AE=EB，CE=ED，AEC=BED，AECBED，ACE=EDB，EAC=EBD，AC=FD，又D为线段FB的中点，四边形ACFD为平行四边形，AGCBGF，=，又CF=15cm，解得GF=10（cm），GF=10（cm）6解：（1）证明：在ABC中，BAC=120，AB=AC，B=C=30B+BPE+BEP=180，BPE+BEP=150，又EPF=30，且BPE+EPF+CPF=180，BPE+CPF=150，BEP=CPF，BPECFP（两角对应相等的两个三角形相似）（2）解：BPECFP；BPE与PFE相似下面证明结论：同（1），可证BPECFP，得=，而CP=BP，因此=又因为EBP=EPF，所以BPEPFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）由得BPEPFE，所以BEP=PEF分别过点P作PMBE，PNEF，垂足分别为M、N，则PM=PN连AP，在RtABP中，由B=30，AB=8，可得AP=4所以PM=2，所以PN=2，所以s=PNEF=m7（2005遂宁）如图：在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点求证：考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。专题：证明题。分析：由平行可得到AOECOB，那么即可求证解答：证明：平行四边形ABCD，AEBC（1分）OAE=OCB，OEA=OBCOAEOCB（4分）（5分）点评：求对应线段成比例，那么应证明相应的线段所在的三角形相似8解：证明：（1）ABC和EDC是等边三角形ACB=ECD=60，AC=CB，EC=DC，ACD+BCD=ACE+ACD，BCD=ACE，ACEBCD，EAC=B=60，又ACB=60，ACB=EAC，AEBC；（2）仍平行；ABCEDC，ACB=ECD，ACD+BCD=ACE+ACD，BCD=ACE，AECBDC，EAC=B，又ACB=B，EAC=ACB，AEBC9解：（1）AQ长度BQ长度AQ、BQ间的关系图中2.70.9AQ=3BQ图中3.31.1AQ=3BQ注：测量数据基本接近上表中的数据，均可得分猜想：AQ=3QB；（2）成立四边形ABCD为平行四边形，DCABPDFQBF，E F为BD三等分点，同理，=4，=3，即AQ=3BQ；（3）成立10解：（1）连接PCABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，CP=PB，CPAB，ACP=ACB=45ACP=B=45又DPC+CPE=BPE+CPE=90，DPC=BPEPCDPBEPD=PE；（2）共有四种情况：当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；CE=2，此时PB=BE；当CE=1时，此时PE=BE；当E在CB的延长线上，且CE=2+时，此时PB=EB；（3）MD：ME=1：3过点M作MFAC，MHBC，垂足分别是F、HMHAC，MFBC四边形CFMH是平行四边形C=90，CFMH是矩形FMH=90，MF=CH，HB=MH，DMF+DMH=DMH+EMH=90，DMF=EMHMFD=MHE=90，MDFMEH 11解：（1）证明：四边形ABCD为矩形AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，ADBCOA=OB=OC，DAE=OCBOCB=OBCDAE=CBF又AE=OA，BF=OBAE=BFADEBCF；（2）解：过点F作FGCD于点G，则DGF=90DCB=90DGF=DCB又FDG=BDCDFGDBC由（1）可知DF=3FB，得FG=3，DG=6GC=DCDG=86=2在RtFGC中，cm12解：（1）证明：过点D作DMAB，DCAB，CBA=90，四边形BCDM为矩形DC=MBAB=2DC，AM=MB=DCDMAB，AD=BDDAB=DBAEFAB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，四边形ABFE是等腰梯形（2）解：DCAB，DCFBAF=CF=4cm，AF=8cmACBD，ABC=90，ABFBCF，即=，BF2=CFAFBF=4cmAE=BF=4cm13解：（1）菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形BC=CD=DE=AB=6，BGDEAD=3AB=36=18，ABG=D，APB=AEDABPADEBP=DE=6=2；（2）图中的EGP与ACQ全等证明：菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形AB=BC=EF=FGAB+BC=EF+FGAC=EGADHE1=2BGCF3=4EGPACQ14解：（1）证明：FHEGAC，BFH=BEG=A，BFHBEGBAC又BF=EA，AC=FH+EG（2）线段EG、FH