概率论与数理统计 答案 随机变量的数字特征.pdf

75 第 4 章 随机变量的数字特征 4 1 内容提要 4 1 1 数学期望 1 数学期望的概念 数学期望是刻画随机变量取值集中位置或平均水平的最基本的数字特征 在实际应用中 对于产量 产值 利税等指标希望有较高的数学期望 而成本 原材料消耗等指标当然要求有 较低的期望值 2 数学期望的计算公式 当离散型随机变量给出分布列 ii pxXP 2 1 i 连续型随机变量给出分布 密度 xf之后 数学期望的计算公式 定义 是 为连续型随机变量 为离散型随机变量 Xxxxf Xpx XE i ii d 1 作为定义 上述表达式中的求和 积分在理论上都应有绝对收敛的要求 由于实际应用中 条件收敛的情况并不多见 因而通常做题时免去了绝对收敛的考察 必须指出 今后凡涉及包 括矩在内的数字特征给出定义时也都应有绝对收敛的要求 到时不再一一说明 二维随机变量的数学期望 原则上可在求出边际分布列 密度 后按一维情形处理 也 可在令YYXfXYXf 或之后 按随机变量函数的数学期望表出 即 XE dd 11 为连续型随机变量 为离散型随机变量 YXyxyxxf YXpx ij iji YE dd 11 为连续型随机变量 为离散型随机变量 YXyxyxyf YXpy ij ijj 3 随机变量函数的数学期望计算公式 贯穿数字特征讨论的全过程 起着重要作用的是涉及随机变量函数的数学期望的四个公 76 式 1 设X是一维离散型随机变量 xf 是连续函数 X的分布列为 3 2 1 ipxXP ii 则随机变量函数 XfY 的数学期望为 1 i ii pxfXEfYE 2 设 YX是二维离散型随机变量 yxf是二元连续函数 且 YX的联合分 布列为 3 2 1 jipyYxXP ijji 则随机变量函数 YXfZ 的数学期望为 YXfEZE 1i 1 j ijji pyxf 3 设X是一维连续型随机变量 其概率密度为 xf xg是连续函数 则随机变量 函数 XgY 的数学期望为 XgEYE xxfxgd 4 设 YX是二维连续型随机变量 其联合概率密度为 yxf yxg是二元连 续函数 则随机变量函数 YXgZ 的数学期望为 YXgEZE yxyxfyxgdd 4 数学期望的性质 1 线性性质 CCE 其中C为任意常数 CXkECkXE 其中Ck 为任意常数 YEXEYXE 2 XYE cov YXYEXE 特别地 当YX 相互独立时 有 YEXEXYE 4 1 2 方差 1 方差的概念 方差是描述随机变量取值集中 或分散 程度的基本数字特征 较大的方差 XD说明X的取值相对于 XE较为分散 以显示差异性为目的的试验希 望有较大的方差 例如 选拔人才的考试只有在较大方差的情形下 才能实现好中选优的目的 77 较小的方差 XD说明X的取值相对于 XE较为集中 以稳定性为目的的试验希望有 较小的方差 例如 对质量指标的掌握总是以较高的期望和较小的方差为努力目标 2 方差的计算公式 222 XEXEXEXEXD 3 方差的性质 1 0 CD 其中C为任意常数 2 2 XDkckXD 其中Ck 为任意常数 3 cov 2 YXYDXDYXD 特别地 当YX 相互独立时 有 YDXDYXD 4 1 3 协方差与相关系数 1 矩的概念 设X和Y为随机变量 k和l是正整数 如果 k X的数学期望存在 则称 k XE为随机变量X的k阶原点矩 记作 k 即 k k XE 2 1 k 如果 k XEX 的数学期望存在 则称 k XEXE 为随机变量X的k阶中心矩 记作 k v 即 k v k XEXE 2 1 k 如果 lkY X的数学期望存在 则称 lkY XE为随机变量X和Y的lk 阶混合矩 如果 lk YEYXEX 的数学期望存在 则称 lk YEYXEXE 为 X和Y的lk 阶混合中心矩 2 协方差与相关系数的概念 协方差与相关系数是反映两个随机变量之间相互关联程度的数字特征 cov YX YEYXEXE YEXEXYE XY cov YDXD YX 3 协方差的性质 1 cov cov X YY X 2 对任意实数dcba 有 cov cov aXc bYdabX Y 3 1212 cov cov cov XXYX YXY 78 4 若随机变量YX 相互独立 则 cov 0X Y 4 相关系数的性质 1 1 XY 2 YX 以概率 1 呈线性相关1 XY 称YX 完全相关 3 YX 相互独立00 cov XY YX 称YX 不相关 这里需要注意的是 其逆命题未必成立 特别地 当 YX为二维正态变量时 YX 相互 独立0 XY 4 1 4 常用分布的数学期望与方差 随机变量的数学期望 方差由随机变量的分布完全确定 其数值常常与分布的参数有关 对于六个常用的分布族 我们将它们的分布列或分布密度及其所含参数 数学期望 方差 等一并列举在表 4 1 中 表 4 1 常用分布表 分布名称 记号 分布列或分布密度 数学期望 方差 0 1 分布 1 pB 10 1 0 1 1 pk ppkXP kk p 1 pp 二项分布 pnB 10 2 1 0 1 k k kXP k 均匀分布 baU 其他 0 1 bxa ab xf ba 均为有限数 2 ba 12 2 ab 指数分布 E 0 0 0 e x x xf x 0 1 2 1 正态分布 2 N 2 2 2 e 2 1 x x 0 有 2 XD XEXP 或 2 1 XD XEXP 4 2 习题详解 4 1 练习题 1 填空题 1 将 3 只球放入 3 只盒子中去 设每只球落入各个盒子是等可能的 则有球的盒子数X 的数学期望 XE 解 X的分布律为 X 1 2 3 P 9 1 3 2 9 2 由数学期望的定义知 XE 9 19 9 2 3 3 2 2 9 1 1 2 已知随机变量X在区间 1 2 上服从均匀分布 随机变量 0 1 0 0 0 1 X X X Y 则 YE 解 由题设可知Y的分布律为 3 2 0 1 XPYP 0 0 0 XPYP 3 1 0 1 YXPYXPYXP 故本题应选 C 2 设随机变量X的概率密度为 0 0 0 e 2 2 x xx xf x 则 X Y 1 的数学期望 YE A 2 B 2 C D 2 解 22 2 ded 1 0 2 2 xxxf x YE x 故本题应选 A 4 2 练习题 1 填空题 1 设随机变量X与Y相互独立同分布 其中X的概率密度为 a 再根据题意 对baXY 两边分别取方差与数学期望 可 算得2 a 1 b 因此本题应选 D 2 已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差 则X与Y相关系数1 的充分必要 条件是 A 0 cov XYX B 0 cov YYX C 0 cov YXYX D 0 cov XYX 解 依题意 YDXD 且 cov XYX cov cov XYXX 0 cov YXXD cov XDYX 1 cov YDXD YX 故本题应选 D 82 3 已知随机变量 123 XXX的方差存在且不为零 则下列命题不正确的是 A 若 1 X与 2 X不相关 则 1212 D XXD XD X B 若 1212 D XXD XD X 则 1 X与 2 X不相关 C 若 123 XXX两两不相关 则 123123 D XXXD XD XD X D 若 123123 D XXXD XD XD X 则 123 XXX两两不相关 解 对于两个随机变量 1 X与 2 X的情形 A 和 B 都可以推得 但对于3 n个随机变量的情 形 两两不相关能推得 n i i n i i XDXD 11 但反之不行 本题应选 D 习题四 1 设随机变量X的分布律为 X 1 0 2 P 3 0 5 0 2 0 试求 XE和 12 2 XE 解 1 02 025 003 01 XE 12 2 XE2 31 2 025 003 0 1 21 2 2222 XE 2 掷一均匀骰子二次 X为出现的最小点数 求 XE 解 X的概率分布为 X 1 2 3 4 5 6 P 36 11 36 9 36 7 36 5 36 3 36 1 从而 XE 36 91 36 1 6 36 3 5 36 5 4 36 7 3 36 9 2 36 11 1 3 一批产品共10件 其中7件正品 3件次品 每次从这批产品中任意取一件 取后不放回 随机变量X表示首次取得正品时抽取的次数 试求X的数学期望 XE 解 1 X的可能取值为 4 3 2 1 其分布律为 10 7 1 XP 30 7 9 7 10 3 2 XP 120 7 8 7 9 2 10 3 3 XP 120 1 8 1 9 2 10 3 4 XP 从而所求期望为 83 8 11 120 1 4 120 7 3 30 7 2 10 7 1 XE 注 对于实际问题求数学期望 一般先给出分布律或者概率密度 然后由定义去求 4 某产品的次品率为0 1 每次随机抽取10件产品进行检验 如发现其中的次品数多于1 就去调整设备 若检验员每天检验 4 次 以X表示一天中调整设备的次数 试求 XE 解 设Y表示一次检验中 检测到的次品数 则 1 0 10 BY 此时 检验员需要调整设 备的概率为 7361 0 1 0 9 0 9 0 1 1 0 1 2 91 10 10 CYPYPYP 又设 0 1 次不调整设备第 次调整设备第 i i Xi 4 3 2 1 i 其分布律为 2639 0 2 1 YPXP i 7361 0 1 0 0 YPYPXP i 此时 4 1i i XX 从而 0556 1 2639 0 4 4 4 1 i i i XEXEXE 5 设随机变量X的密度函数为 0 10 2 其他 xx xf 以Y表示对X的三次独立重复观察中事件 5 0 X出现的次数 试求 YE 解 25 0 d2 5 0 5 0 0 xxXP 而 25 0 3 BY 从而 75 0 25 0 3 npYE 6 假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0 2 机器发生故障时全天停止工作 若一周 5 个工作日里无故障 可获利润 10 万元 发生一次故障仍可获利润 5 万元 发生二次故障获 利润 0 元 发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元 求一周内的平均利润是多少 解 设X表示一周内发生故障的次数 Y表示一周内的利润 则 2 0 5 BX 且 3 2 2 0 1 5 0 10 X X X X Y 因此 3 2 2 0 1 5 0 10 XPXPXPXPYE 84 2 08 02 08 08 01 22 08 058 010 232 5 41 5 541 5 5 CCC 216 5 万元 7 已知随机变量X的分布函数 F x在1x 处连续且 4 1 1 F 若 1 3 1 2 1 1 X X X Y 求 YE 解 因为 F x在1x 处连续 所以0 1 XP 则Y的分布律为 4 3 1 1 1 1 1 1 FXPXPYP 0 1 2 XPYP 4 1 0 1 1 1 1 3 0 0 0 e x xx xf x 试求 XE和 e X E 解 由数学期望的定义知 0 2 ded xxxxxfXE x 00 2 de2exxx xx 00 de2e20 xx xx 2e20 0 x e X E 0 2 ded exxxxf xx 0 2 0 2 de 2 1 e 2 1 xx xx 4 1 e 4 1 0 0 2 x 9 设随机变量X的概率密度为 其他0 2 cos 2 1 xx xf 85 试求 XE和 2 XE 解 数学期望的定义及被积函数的对称性知 0dcos 2 1 d 2 2 xxxxxxfXE 2 0 222 dcosd xxxxxfxXE 2 0 2 0 2 dsin2sin xxxxx 2 0 2 0 2 dcos2cos2 4 xxxx2 4 2 10 设随机变量 1 0 UX 试求 ln2 XE 解 ln2 XE 2d1ln2d ln2 1 0 xxxxfx 11 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光 电梯于每个整点的第 5 分钟 25 分钟和 55 分钟 从底层起行 假设有一游客在早上八点的第X分钟到达底层等候电梯 且 60 0 UX 求该 游客等候时间的数学期望 分析 求等候时间的期望的关键在于写出等候时间的随机变量 它必然是到达时刻X的 函数 Xg 而X是在 60 0 上的均匀分布 解 由题意知 60 0 UX 其密度函数为 其他 0 600 60 1 x xf 设Y是游客等候电梯的时间 单位 分 则 6055 560 5525 55 255 25 50 5 XX XX XX XX XgY 因此 xxgxxfxgXgEYEd 60 1 d 60 0 xxxxxxxxd 65 d 55 d 25 d 5 60 1 60 55 55 25 25 5 5 0 xxd5653055202555 60 1 60 0 3 35 12 从数字n 1 0 中无放回取出二个数 求这二个数差的绝对值的数学期望 解 设X Y分别表示第一次 第二次取到的球的数字 则 YX的联合分布律为 86 1 1 nn jYiXP 其中nji 1 0 且ji 设 YXZ 其分布律为 1 1 2 1 1 1 2 nn in nn inYXPiZP 其中ni 1 故所求的数学期望为 n i nn in iZE 1 1 1 2 n i n i i nn i n 1 2 1 1 11 2 3 2 6 12 1 1 1 2 1 1 2 nnnn nn nn n 13 已知二维随机变量 YX的联合分布律为 Y X 1 0 1 0 1 8 3 8 1 16 3 8 1 16 1 8 1 试求 XE和 XYE 解 X的边缘分布律为 X 0 1 P 16 11 16 5 从而 16 5 XE 0 8 1 11 8 1 1 1 2 1 3 1 ij jiji pyxXYE 14 设二维随机变量X的概率密度为 0 10 15 2 其他 xyxy yxf 求 22 YXEXYE 解 由定理 4 1 2 有 yxyxxyfXYEdd 28 15 d 4 15 d15d 1 0 62 0 1 0 xxyxyxyx x 87 yxyxfyxYXEdd 2222 7 8 d8d15 d 1 0 62 0 22 1 0 xxyxyyxx x 15 假设二维随机变量 YX的概率密度为 其他0 10 1 xxy yxf 求 2 XYEYXE 解 YXE yxyxfyxdd 10 dd x xy yxyx 10 10 dddd x xy x xy yxyyxx0dd2 0 1 0 x yxx 3 2 d2 1 0 2 xx 同理 2 XYE 10 2 dd x xy yxxy 15 2 d 3 2 dd2 1 0 4 0 2 1 0 xxyyxx x 注 这里 在计算二重积分的时候 运用了被积函数的对称性 16 在区间 1 0 上随机取二点 分别记为YX 试求 2 Y X E 解 YX 均服从 1 0 上的均匀分布 且它们相互独立 0 10 1 其他 x xfX 0 10 1 其他 y yfY YX的联合密度函数为 0 10 10 1 其他 yx yx 2 Y X E yxyx y x dd 2 1 0 1 0 2 dd1yx y x 3 2 2 3 1 d 1 d 1 0 1 0 2 y y xx 17 设随机变量X Y独立同分布 均服从 1 0 U 求 max YXZ 的数学期望 解 由题意知 X的分布函数 xF与密度函数 xf依次为 88 11 10 0 0 x xx x xF 0 10 1 其他 x xf 由于X Y独立同分布 根据第三章定理 3 7 4 知 Z的密度函数为 1030 30 XYXYX XYY YXg 1020 30 XYYX XYY yxyxfyxgYXgEdd 21 dd 200 1 1020 dd 200 1 30 DD yxyxyxy y y xyxyxyy 10 20 10 3020 10 d 2 d 20 1 dd 20 3 20 10 2 20 10 2 d 100102 20 1 d 30 20 3 yyyyyy 3 1300 3 325 325 即该厂每个月的平均利润为 3 1300 万元 89 19 设在N个产品 有M个正品 MN 个次品 从中无放回取出 Mnn 个产品 记 其中含有的正品数为X 求X的数学期望 解 设 0 1 个产品为次品取出的第 个产品为正品取出的第 i i Xi ni 2 1 则 n XXX 21 相互独立 其具有相同的分布 其分布律为 i X 0 1 P N MN N M 相应的数学期望为 N M XE i 此时 取出的n个产品中含有的正品数 n i XX 1 所求的 数学期望为 n i n i N nM XEXEXE 11 注 某些随机变量的数学期望如用定义求会比较麻烦 甚至求不出来 由本例可以看出 很多随机变量可以分解为有限个随机变量之和 如果这些随机变量的数学期望易于求出 则所 求随机变量的数学期望就可以转化为这些随机变量的数学期望之和 读者应学会这一技巧 20 设随机变量X所有可能的取值为非负的整数 试证 XE 1 k kXP 解 设X的分布律为 2 1 kpkXP k 根据分布律的性质 有1 1 k k p 利用级数收敛的性质 知 1 k k pkXE 4321 432pppp 321 ppp 432 ppp 43 pp 3 2 1 XPXPXP 1 k kXP 21 一台设备由三大部件构成 在设备运转中各部件需要调整的概率相应为10 0 20 0 和30 0 假设各部件的状态相互独立 以X表示同时需要调整的部件数 试求X的数学期望 XE和方差 XD 分析 若题目只问数字特征 则可以考虑是否越过求随机变量 离散型 的分布列 解 设这三个部件依次为第 1 2 3 个部件 i A表示第i个部件需调整 1 i 3 2 则 1 A 2 A 3 A相互独立 因此 1 0 1 AP 2 0 2 AP 3 0 3 AP 引入 1 2 3 0 1 i A A X i i i 不发生 发生 90 显然 321 XXX相互独立 从而 10 1 i APXE ii 1 2 3 100 10 10 1 2 222 i iii APEXXEXD iiii 而 321 XXXX 故 6 0 10 3 10 2 10 1 321 XEXEXEXE 46 0 100 310 3 100 210 2 100 110 321 XDXDXDXD 注 本题主要考查期望 方差的计算性质 解中不求X的分布列而引入 i X 请体会掌握 22 一辆汽车沿一街道行驶 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口 假设每个信号灯为 红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立 且红 绿两种信号显示的时间相等 以X表示该汽车 首次遇到红灯前已通过的路口的个数 求 XD 解 X的可能取值为 0 1 2 3 设 i A表示汽车在第i个路口遇到红灯 1 i 3 2 则 2 1 321 APAPAP 且 1 A 2 A 3 A相互独立 于是 2 1 0 1 APXP 4 1 2 1 2 1 1 2121 APAPAAPXP 8 1 2 1 2 1 2 1 2 321321 APAPAPAAAPXP 8 1 2 1 2 1 2 1 3 321321 APAPAPAAAPXP 从而 8 7 8 1 3 8 1 2 4 1 1 3 0 iXPiXE i 8 15 8 1 9 8 1 4 4 1 1 3 0 22 iXPiXE i 64 71 8 7 8 15 2 22 XEXEXD 注 本题中 3 X表示 三个路口都遇到绿灯 将来迟早要遇红灯 不要漏掉 23 流水生产线上每个产品不合格的概率为p 10 p 各产品合格与否相互独立 当 91 出现k个不合格产品时即停机检修 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X 求X 的数学期望 XE和方差 XD 解法 1 设 i X表示自第1 i个不合格后到出现第i个不合格品时生产的产品数 ki 2 1 则 k i i XX 1 由生产的独立性可知 n XXX 21 也相互独立 且同分布 每个 i X都服从几何分布 首 次发生某结果的试验次数 即 2 1 1 1 nppnXp n i 由此可得 对ki 2 1 有 px pxpppnXE pxpx n nn n i 1 1 1 1 11 1 1 1 ppnppnnppnXE n nn n n n i 1 11 1 1 1 22 1 1 1 1 px n n px n n xpxpp 1 0 1 0 1 2 1 1 3 1 1 1 2 1 px px x p x pp 2 2 p p 2 2 2 112 p p pp p XD i 由性质得 其中计算方差时利用到独立性 p k XEXE n i i 1 2 1 1 p pk XDXD n i i 解法 2 X的分布律可求得为 1 1 1 1 kknppCnXP knkk n 设Y表示出现1 k个不合格品时生产的产品个数 则Y的分布律为 1 1 11 1 kmppCmYP kmkk m 由分布律的性质可得 1 1 11 1 1 kmk km k m ppC 若记nm 1 则此式也就是 1 1 1 knk kn k n ppC 1 92 类似的方法可得 1 1 21 1 knk kn k n ppC 2 1 与 2 两个和式将在下面的计算中采用 knkk n kn ppCnXE 1 1 1 knk kn pp knk n n 1 1 1 knk kn pp knk n p k 1 1knk kn k n ppC p k 1 1 p k knkk n kn ppCnXE 1 1 1 22 knkk n kn knkk n kn ppCnppCnn 1 1 1 1 1 1 1 knk kn k n knk kn k n ppC p k ppC p kk 1 1 1 121 1 2 p k p kk 2 1 从而 p k XE 22 2 2 1 1 p pk p k p k p kk XD 24 设随机变量X满足 XDXE 已知1 2 1 XXE 求 解 根据题设 有 222 XEXDXE 123 23 2 1 22 XXEXXE 从而求得1 25 设随机变量X的概率密度为 其他0 20 8 3 2 xx xf 试求 XD 解 由方差的定义知 2 0 3 d 8 3 xxXE 2 3 4 1 8 3 2 0 4 x 2 0 42 d 8 3 xxXE 5 12 5 1 8 3 2 0 5 x 20 3 4 9 5 12 22 XEXEXD 26 设随机变量X的密度函数为 93 0 10 2 其他 xbxa xf 且 5 3 XE 试求 1 常数ba 2 XD 解 1 由密度函数的性质及数学期望的定义知 1 3 1 d d 1 0 2 baxbxaxxf XE 5 3 4 1 2 1 d d 1 0 2 baxbxaxxxxf 从而解得 5 3 a 5 6 b 2 2 XE 25 11 25 6 5 1 d 5 6 5 3 d 1 0 222 xxxxxfx 25 2 25 9 25 11 22 XEXEXD 27 设随机变量 1 1 UX 试求随机变量XYsin 和XZ 的方差 解 1 0 11 2 1 其他 x xfX X 函数xysin 在 1 1 上单调递增 处处可导 且0 y 则随机变量XYsin 的密度 函数为 0 1sin1sin arcsin arcsin 其他 yyyf yf X Y 0 1sin1sin 12 1 2 其他 y y 0d 12 1sin 1sin2 y y y YE 被积函数为奇函数 且积分区域关于原点对称 1sin 02 2 1sin 1sin2 2 2 d 1 2 1 2d 12 y y y y y y YE 2sin 4 1 2 1 2cos 4 1 2 1 dsin 1 0 1 0 2 sin tttt ty令 从而 YD2sin 4 1 2 1 94 2 2 1 dd 2 1 1 0 1 1 xxxxZE 2 ZE 3 1 dd 2 1 1 0 2 1 1 2 xxxx 从而 12 1 4 1 3 1 ZD 28 设随机变量YX 独立同分布 其共同的密度函数为 其他0 102 xx xf 试求 max YXZ 的密度函数 数学期望和方差 解 因为 max zYXPzZPzFZ zYzXP zYPzXP zz yyfxxfd d 当0 z时 0 zFZ 当10 z时 4 00 d2d2 zyyxxzF zz Z 当1 z时 1d2d2 1 0 1 0 yyxxzFZ 所以 0 0 0 e 其他 yxx yxf yx 试求X和Y的协方差 cov YX与相关系数 XY 解 yxyxfxXEdd yxx yx dde 00 2 yxx yx dede 00 2 212 yxyxfxXEdd 22 6dede 00 3 yxx yx 97 yxyxfyYEdd 1dede 00 yyxx yx yxyxfyYEdd 22 2dede 00 2 yyxx yx yxyxfyxXYEdd 2dede 00 2 yyxx yx cov YX022 YEXEXYE 0 XY 36 设随机变量YX 相互独立且都服从 1 0 U 求随机变量YXU2 和YXV 2 的相关系数 解 由于YX 相互独立 且都服从 1 0 U 则 12 1 YDXD 0 cov YX 利用方差与协方差的性质有 cov 4 4 2 YXYDXDYXDUD 12 5 0 3 1 12 1 cov 4 4 2 YXYDXDYXDVD 12 5 0 12 1 3 1 2 2cov cov YXYXVU 2cov cov 2 2cov 2 cov YYYXXYXX 2 cov 3 2YDYXXD 0 12 1 20 12 1 2 从而 0 XY 37 设随机变量YX 的方差都是 2 相关系数为 0 25 求随机变量YXU 2和 YXV 2的相关系数 解 cov 4 4 2 YXYDXDYXDUD 4 4YDXDYDXD XY 122225 0 4224 cov 4 4 YXYDXDVD 82225 0 4224 2 2cov cov YXYXVU 4YDXD 628 从而 4 6 812 6 cov VDUD VU UV 38 设YX 是二个随机变量 已知2 0 9 4 XY YDXD 试求 2 YXD 和 2 YXD 解 2 YXD 4 4YDXDYDXD XY 8 298 4916 98 2 YXD 4 4YDXDYDXD XY 2 208 4916 39 设随机变量X的概率密度为 1 e 2 x f x x 1 求X的数学期望 XE和方差 XD 2 求X与 X的协方差 并问X与 X是否不相关 3 问X与 X是否相互独立 为什么 解 1 e 2 1 x 为偶函数 x e 2 1 x 为奇函数 所以 由积分性质知