椭圆之十宗“最”.doc

椭圆的十个“最”李远敬 （辽宁省本溪市机电工程学校 117022） 【摘要】在长期的教学中，笔者经常会遇到或想到椭圆的一些“最”值问题，学生们也需要教师给予解答和总结，笔者精选了椭圆十个“最”值问题，供师生们参考。 【关键词】椭圆；焦点；最大值；最小值1椭圆弦长的最大值、最小值（1）椭圆的最长弦长是椭圆的长轴的长。椭圆上的最大弦长是否是椭圆的长轴的长？看起来似乎是显然的。但证明起来也挺繁琐，具体见参考文献1。（2）椭圆过原点的最短弦长是椭圆的短轴的长。 在椭圆（）内构造内接圆，由图形结合易证。（3）椭圆过焦点的弦通径最短。 教学参考书上有证明。2椭圆的一焦点与椭圆上点的距离最大值、最小值已知P(,)是椭圆（）上的点，是椭圆的右焦点，则的最大值是，最小值是。证明：由焦半径公式得=。当=时，=，当=时，=。3轴正半轴上的点到椭圆的最短距离已知椭圆（），为半焦距长，则点（，0）0到椭圆的最短距离为证明：设点A（，0）0,点P()为椭圆上任意一点，则有，由得的对称轴为，由于，结合图像可得：当，即0时时，取得最小值当,即时时，取得最小值4.椭圆上的点与椭圆内一定点、焦点的距离和的最大值及最小值已知点A(,)为椭圆（）内一定点，、分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为2，最小值为2。证明：由椭圆的定义得，=2，=2=2（），当=时，取最大值2，当=时，取最小值2。其中=。5.椭圆上的点到两焦点距离的积的最大值、最小值已知点P()是椭圆（）上的动点，、分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值是，最小值。证明：由焦半径公式=，=， ，当=0时，取得最大值是，当=时，取得最小值是= 6 .椭圆上的点与两焦点的向量积的最大值、最小值已知已知点P()是椭圆（）上的动点，、分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值是，最小值。证明：=（，），=（，），=。 。当=时，取得最大值是=，当=0时，取得最小值是。 7.椭圆上的点为顶点与椭圆两焦点所成的最大角已知已知点P()是椭圆（）上的动点，、分别是椭圆的左、右焦点。则当P为短轴端点时，最大，最大值为arccos。证明：=，当且仅当=时，即P点为短轴端点时成立。在中，由余弦定理得=。当取最大值时，最小，在是减函数，最大， 最小值为=。得最大，最大值为arccos。8.椭圆的点到一条直线距离的最大值、最小值已知椭圆（） .直线方程。则椭圆上的点到此直线的最大距离，最小值，证明：在椭圆（）上取一点P，它到直线的距离，又因为，即可得出结论。9.椭圆内接三角形的最大面积AB为过椭圆中心的弦，F()为椭圆的右焦点，则AFB的面积最大值为。证明：设A、B两点的坐标分别为(,)，(,)，则=+=。点A、B在椭圆上，点A(,)的纵坐标最大值，的最大值是。10.椭圆内接矩形面积的最大值已知椭圆（），则椭圆内接矩形面积的最大值为2.证明：根据椭圆的对称性，矩形的四个顶点关于中心对称，且边分别和轴、轴平行，设A为其一个顶点。轴、轴把矩形平分成四个全等的小矩形，一个小矩形的面积，当=1时，=，椭圆内接矩形面积的最大值为4=2.【参考文献】1黄生顺