统计与概率.doc

例谈小学数学概率与统计复习威远县严陵镇中心校 朱树远统计与概率是密不可分的；一方面，概率论是现代统计学的根据。统计总是需要通过对样本的统计来推断全体，总要受到实际生活中不确定因素的影响，因此必须加入受不确定因素影响做出错误判断的概率；另一方面，通过频率研究概率需要多次的重复实验，需要收集、整理、分析实验数据，所以概率也离不开统计。 小学毕业班数学复习的目的是对整个小学数学各册教材中的知识做系统的、综合的、全面的梳理，沟通知识之间的横向、纵向联系，形成较完整的知识网络结构。增强用数学方法分析问题的意识，提高解决问题的能力。所以我们在总复习时，精心设计题型和有效地组织学生进行练习，提高复习的有效性。根据多年的教学和实践,提出以下建议: 一、统计通过复习，培养学生的统计观念,使学生在作出判断前能有意识地从统计的角度思考问题，收集、整理、描述分析与问题相关的数据,作出合理的决策或质疑，这也是“统计”的重要教学目标。（一）通过比较，加深理解各知识间的区别和联系例1、对于下面三组数据应分别选用哪种统计图比较合适？表一：西街小学图书室2008年各类图书数量统计表种类文艺故事书科普读物课外学习辅导册数（本）24001600800表二：西街小学图书室2008年各类图书所占百分比情况统计表种类文艺故事书科普读物课外学习辅导百分比（%）503317表三：西街小学图书室20062008年图书总数变化情况统计表年份200620072008册数（本）210025004800面对这三张统计表，应引导学生分析这三张统计表的特点，选择不同的统计图，并在质疑中复习各种统计图的特点与作用。表一中的数据是反映各类图书的册数，主要比较的是数量的多少，所以选择条形统计图比较合适。表二中的数据是反映各类图书所占百分比，显然选择扇形统计图比较合适。表三中的数据是反映各年份图书的数量变化情况，所以选择折线统计图比较合适。我们知道学生对统计表的认识比较容易，可以把统计表的复习结合在统计图的复习中进行。所以重点应放在统计图上。对以上三个统计表，教学中常常发现：学生有时会错误地认为表一和表二选择折线统计图或者条形统计图都可以。例2 根据下面三组数据，在平均数、中位数、众数这三个统计量中选用哪个统计量能更好地反映各组数的一般水平？表一：六（1）班第一小组同学一分钟口算成绩统计表姓名张兰陈小丽郑凯朱虹李芳张明王兵成绩（分）97969594908828表二：六（1）班第一小组同学一次语文考试成绩统计表姓名张兰陈小丽郑凯朱虹李芳张明王兵成绩（分）91888790858689表三：六（1）班第一小组同学一分钟投篮成绩统计表姓名张兰陈小丽郑凯朱虹李芳张明王兵成绩（分）10161614191516应该如何分析这组数据呢？我们可以引导学生先算出每张表中数据的平均数，再引导学生分析质疑。根据表一中数据特点，由于其中一个数偏小，而且在这7个数中就有6个数在平均分以上，使学生重新认识应该采用中位数94来反映这组同学的口算成绩的一般水平是比较合适的。由于表二中这组没有特别大的数，也没有特别小的数，所以采用平均数是比较合适的。从表三中可以看到，有三位同学的投篮成绩是16个，所以采用众数16来反映这组数据的一般水平是比较合适的。（二）通过分析整理，提高分析问题和解决问题的能力教师在教学中要采取启发和互动式的教学方式帮助学生设计调查表，经历数据的收集、整理、描述和分析的过程。复习时除了根据收集的数据绘制统计图外，还要教会学生解读统计图，还要把它融合在相关知识与技能的整体训练中，也就是让学生针对统计图表进行分析与推断，提出相关的数学问题，提高复习的效率。5010152025篮球跳绳乒乓球其它1822108例3 顺城街小学六（1）班进行“说出你最喜欢的体育活动”的调查活动，每位同学只选择自己最喜欢的一项体育活动。下图是各项目人数统计图，根据统计图中的信息解答下面的数学问题： （1） 六（1）班共有多少位同学？（2）喜欢跳绳比喜欢篮球的同学多百分之几？（3）喜欢乒乓球项目的人数占全班人数的百分之几？例4 下图是东东的爸爸根据1月份的总收入制作的开支安排统计图。食品40%汽车费用15%其它付住房货款25%水电费5%（1） 你从图中了解到哪些信息？（2）东东爸爸1月份总收入是4000元，用于其他部分的开支是多少元？（3）你还能提出哪些数学问题？通过以上复习，可以提高学生分析问题和解决问题的能力。例5 六（1）班张老师和第一小组的六位同学组成一个小组进行踢毽子比赛，每人一分钟踢毽子个数如下：（其中张老师踢了a个）98 59 62 56 52 54 a （1） 如果张老师踢的个数刚好是这组数据的中位数。那么a可能是多少？（2） 如果这组数据的中位数是56个，那么a可能是多少？这里，（1）中如果张老师踢的个数刚好是这组数据的中位数。那么通过排序后知道，a应该排在第四位。a可能是56、57、58、59。（2） 如果这组数据的中位数是56个。那么a可能是小于或等于56的整数。又比如，有个这样的一个题目：说的是一名不会游泳、身高1.4米的学生在一个平均水深1.2米的游泳池中会不会有危险？这样的问题，我们认为题目本身就有缺陷，但它可以帮助学生加深对平均数的理解。不管从那种角度上回答，应该对学生说，肯定有危险！通过对这类题目的分析，可以进一步提高学生对中位数、众数等概念的理解。二、概率概率也就是我们书上说的可能性，可以用0和1以及0到1之间的分数来表示一个事件发生的可能性的大小。事件可分为确定事件和不确定事件。必然事件（概率为1）确定事件：不可能事件（概率为0）不确定事件：随机事件（其概率也就是可能性在0和1之间）（一） 通过简单事件，体验可能性的大小，为了加深对可能性大小的理解，我们应该从一些简单的事件出发，理解和掌握有关概率的基础知识和基本的思维方式。例1下面是五个盒子里放的黄球的情况不同，要从每一个盒子里摸出一个黄球，摸到黄球的可能性是多少？请用线连一连。全是白球1个黄球3个白球2个黄球2个白球3个黄球1个白球全是黄球摸到黄球的可能性是34一定摸到黄球的摸到黄球的可能性是24摸到黄球的可能性是14不可能摸到黄球学生根据黄球与白球的个数及所占比例，找出相应的可能性的大小是不难的，但要真正理解可能性的大小是反映独立事件随机出现的频率大小这确实是个难点，因此在复习时一定要引导学生进一步质疑，比如可以向学生提出以下问题：1、盒子中有1个黄球3个白球，第次摸出1个球后立即放回盒子中，摸4次一定有一次能摸到黄球吗？质疑的目的是使学生再次感悟到每次摸球都是独立事件，而每次摸到黄球的可能性都是14。2、在以上五个盒子中哪一个盒子摸到黄球与白球的可能性是相等的，你能改变盒中球的数量，使摸到黄球与白球的可能性仍然相等吗？3、如果一个盒子中有3个黄球、3个白球和一个红球，那么摸到黄球的可能性与摸到白球的可能性是否相等？为什么？质疑的目的是使学生认识到摸到黄球与白球的可能性都是37，当然是相等。可能性有大小，主要靠理论分析，不能以试验的结果为结果。如掷硬币实验，如果前10次都掷出的是正面，能预测出下一次一定出现正面，还是一定会出现反面吗？不能，能动摇每掷一次出现正面和反面的可能性都是二分之一吗？不能！我们有的老师平时动不动就叫学生做分组实验，企图通过若干次试验证其可能性的大小，这是不符合大数定律，主要靠理性思考。例2 按要求，涂一涂。不可能摸到黄球可能摸到黄球引导学生分析领会题目的要求，只要涂出的颜色符合要求即可，如第一个图中只要不把球涂成黄色都行。而第二个图学生只要有一个球涂成黄色就符合要求，但不能把四个球都涂成黄色。这样的题目就是训练学生正确理解“一定”、“可能”、“不可能”。（二），深入剖析游戏规则，提高学生解决问题的能力例3 掷两个骰子，老师对学生说：“如果掷出的两个骰子和是5、6、7、8、9算我羸，否则就算你们羸。”请问这样的游戏规则公平吗？如果不公平，你认为谁羸的机会大一些。多数学生很可能都会认为是不公平的，因为和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。而老师只选了11个数中的5个数，而学生却比老师多一个数，所以学生很大可能会认为学生羸的机会要大一些。其实，大家知道，和为5、6、7、8、9的概率比和是2、3、4、10、11、12的概率要大一些，所以老师羸的机会大。比如和为2的中有一种可能，即1+12 ；和为3的有两种可能，即1+23或2+13，等等。例4 在一个正方体的6个面上分别标上数字，使得“2”朝上的可能性为13。其实只要在这个正方体的6个面上分别标上1、2、2、3、4、5这6个数字就行了。显然答案不唯一。比如，A、A、B、B、2、2均可。对于游戏规则是否公平，要深入了解这游戏规则的实质才能判断。以上发言，如有不当之处，请批评指正。谢谢大家！ 2009年5月20日一、统计与应用 本部分组要分为三部分第一部分统计表，分为单式统计表和复式统计表两种。此部分知识在一二年级学生已经掌握。第二部分是统计图。常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图。小学阶段我们主要研究条形统计图和折线统计图。1、条形统计图的教学，分别在三年级下册第三单元和四年级上册第六单元。三年级下册，本册“统计”中的要求为：1、认识横式统计图，要求学生学会利用会用单复式统计表中的数据完成统计图，表示统计的结果。2、能根据统计图表提出问题加以解决。3、根据统计图表进行简单的数据分析，通过分析寻找信息，并根据这些信息做出进一步的判断和决策。如书中例1：让学生通过数据间的比较，预测矿泉水的营销情况，得知B种矿泉水应当多进些，D种应当少进些。例2：利用表中数据与正常的身高体重相比较，对同学提出成长建议。使学生能够体会统计在现实生活中的作用，理解数学与生活的紧密联系。 这部分的内容要重视关于统计图表单位量的确立。主要有两种： 一种是一格表示一个或多个单位横向和纵向条形统计图，（插图） 横式统计图，与认识竖式统计图在其他要求上没有太大的区别。它和纵向条形统计图在原理上是完全一致的，只是有时为了版面安排的需要，才把横轴和纵轴的位置进行对换，条形的方向也相应发生变化。 另一种是起始格与其他格表示不同单位量的条形统计图，（插图） 以前学生所见的条形统计图表示数量的轴上，每一格表示的数量单位都是相同的。但在这个统计图中起始格表示137厘米，其他每格表示1厘米，这种统计图一般在以下情形中加以使用：各样本的统计数据的绝对值都比较大（如本例中学生的身高都在138厘米以上），但不同样本统计数据之间的差异值又相对比较小（如本例中身高和体重的最小差异分别是1厘米）。当出现这种情形时，会出现一种矛盾：如果每格代表的单位量较小（如第一个统计图中每格表示1厘米或2厘米），统计图中的条形就会很长，如果每格代表的单位量较大，又很难在统计图中看出不同样本之间的差异。所以，为了比较直观地反映这种差异性，采取用起始格表示较大单位量，而其他格表示较小单位量的方式，就避免了上述矛盾。在这种统计图中的纵轴上，起始格是用折线表示的，以和其他的格有所区别。也就是要让学生知道起始格和其他格表示的单位量是否一致，都是根据数据的具体大小而定的。 四年级上册, 在学生已有知识的基础上认识纵向和横向两种形式的复式条形统计图。（插图）要求学生：1、学生经历了把两个单式统计图合并成一个复式统计图的过程，发现通过复式统计图能够发现更多的信息，了解更多的情况。2、根据统计图表进行简单的数据分析，做出合理的判断和决策。另外，我们不要求学生完整地制作条形统计图，只要学生能根据统计表中的数据，在已经有横轴和纵轴的情况下，完成统计图就可以了。 无论哪个学段的条形统计图都可以用条形的高矮表示数量的多少，更清楚直观的表示不同样本间的差异。2、统计图的第二部分则是折线统计图的教学。分别在四年级下册第七单元和五年级下册第六单元。四年级下册这一部分要求：1、 让学生认识单式折线统计图，会看折线统计图，知道折线统计图能更清楚地反映出数据的增减变化。2、并能根据统计图回答简单的问题，从统计图中发现数学问题。3、根据折线的起伏变化对数据进行简单的分析与合理推测。4、明确条形统计图可以看出数量的多少，而折线统计图不但可以看出数量的多少，而且可以看出数量的增减变化，在对比中发现折线统计图的特点。（区别与联系）为下面学生选择合适的统计图做好铺垫。 注意：我们不要求学生会绘制完整的折线统计图，只要能根据数据把统计图补充完整并描述、分析数据就可以了。在画图时，老师可以帮学生总结出画折线统计图的方法（如可总结为描点连线）让更多有能力的学生可以尝试绘制，但并不对此作统一要求。五年级下册。1、认识复式折线统计图。2、了解复式折线统计图的特点：比较方便地比较两组数据的变化趋势。3、数据进行简单分析和推测。 最后，要强调结合实际问题，选择合适的统计图表：1、描述一组数据中不同样本之间的差异，就应选用条形统计图2、描述一组数据的变化趋势，应选择折线统计图。第三部分的关于统计量的计算。平均数：这部分知识在三年级下册。小学数学里所讲的平均数一般是指算术平均数，也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。（平均数=总数份数） 我们既可以用它来反映一组数据的总体情况，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。用平均数表示一组数据的情况，有直观、简明的特点，所以在日常生活中经常用到，如平均速度、平均身高、平均产量、平均成绩等等。 平均数的概念与过去学过的平均分的意义是不完全一样的。平均数是一个“虚拟”的数，是借助平均分的意义通过计算得到的。 这里学生容易犯一个错误，如这道题。五年一班有30人，平均分为92分，五年二班有35人，平均分是91分，这两个班的平均分是多少？有些同学就会用（92+92）2=91.5（分）这些同学就没有理解平均数的计算方法。在复习时老师要特别注意。中位数：这部分知识在五年级上册。中位数是把一组数据按照从大小顺序排列后，在数据个数为奇数的情况下，中位数是这组数据最中间的那个数据；在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数。 要求学生学会求中位数的方法，体会“平均数”“中位数”各自的特点，知道当一组数据中有个别数据偏大或偏小时，用中位数来代表该组数据的一般水平就比平均数更合适。即中位数在数值大小上处于一组数据的最中间，主要反映了统计数据的中等水平，并且不受偏大或偏小等极端数据的影响。注意的是：求中位数时不带单位。平均数、中位数、众数都是计算的一组数据的一般水平，这里考虑的是数据。但在解释时，要具体问题具体说明。比如一组学生的体重数据的中位数是45，我们就说这组学生体重的一般水平为45kg。众数：这部分知识在五年级下册。一组数据中出现次数最多的那个数据叫这组数据的众数。 体会众数的特点：在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较合适。学生理解众数的含义就是通过与平均数、中位数的对比来认识的，并要求学生能根据统计量进行简单的预测或做出决策。注意的是：对于一组数据，有时没有众数，有时众数也不止一个。 我们要重视让学生理解平均数、中位数与众数的联系与区别。 描述一组数据的趋势，可以用平均数、中位数和众数，它们有各自不同的特点。 平均数应用最为广泛，用它作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数据都有关系，能够最为充分地反映这组数据所包含的信息，在进行统计推断时有重要的作用；但容易受到极端数据的影响。 中位数在一组数据的数值排序中处于中间的位置，故其在统计学分析中也常常扮演着“分水岭”的角色，人们由中位数可以对事物的大体趋势进行判断和掌控。 众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数往往是我们关心的一种统计量。可以先让学生求出这组数据的平均数、中位数和众数。普通职员在公司里占绝大多数，所以他们的工资更能代表公司职工工资的一般水平，这实际上也是工资统计表里的中位数或众数。根据本题，可以让选择适当的统计量表示数据的不同特征。 即，平均数的代表数据的整体水平，中位数代表数据的一般水平，众数表示数据次数最多（即数据的集中情况）。 使学生知道它们都是描述一组数据的统计量，但描述的角度和适用范围有所不同，在具体的问题中究竟采用哪种统计量来描述一组数据的趋势，要根据数据的特点及我们所关心的问题来确定。二、概率与应用 关于“可能性”这一内容，本套教材分两次进行了集中编排。 第一次是在三年级上册，主要是让学生初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。1、知道无论在什么情况下都发生的事件，是“一定会发生的。用数据表示就是“1”。2、在任何情况下都不会发生的事件，是“不可能”发生的事情。用数据表示就是“0”。3、在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”发生的事件。 只要学生能够结合具体的问题情境，用“一定”、“不可能”、“可能”等词