工科生眼中的小波变换.doc

小波分析课程总结 1、概述12、变换的意义13、从傅里叶变换到窗口傅里叶变换23.1傅里叶变换23.2 窗口傅里叶变换53.2.1直观认识53.2.2窗口傅里叶变换中的时频窗84 小波变换94.1 连续小波变换定义94.2小波基的自适应时频窗及其度量105、小结111、概述小波分析属于广义加窗傅里叶变换的范畴，是一种新的时频域分析手段。由于小波分析就其数学原理来说包括泛函分析、数值分析、逼近论和傅里叶分析等，但是作为工科学生没有这么多的数学知识，想要把这些知识全部能懂后再来学习小波分析则是不现实的，本文就是从应用的角度对小波分析加以总结。其中避免一些繁琐的理论推导，而是更多的从应用的角度和其对应的物理意义加以理解。2、变换的意义一直以来，在学习一门学科之前总是有一些疑问。这门学科提出了什么问题？这门学科是描述自然界那些现象的?它可以解决那些问题？我们通过它又可以获得那些解决问题新的方法和思想？以前我学习的傅里叶变换、拉普拉斯变换，现在的小波变换，他们都是称为变换,是一种数学手段。那么这些变换在现实的工程的应用中有什么应用？我对于变换的理解是，变换改变了一种事物的表现形式。那么变换的意义是什么呢？我的理解是，变换可以将事物在一种表现形式下被掩盖的信息通过改变表现形式而将信息暴露出来，也就是变换是手段而要达到的目的是提取信息。结合傅里叶变换的应用给出一个实例。现在医学中，脑电图（EEG）被用来诊断人类的脑部疾病，但是人们直接测量出来往往是时域的信号。这种信号中包含了那些信息，人们很难直接读出来。这个时候就可以应用变换将它变换到频域中，在频域中我们可以找到某种频率的信号了，再结合医学知识可以为诊断提供依据了。图1 EEG到这里已经明白变换有用的，而小波变换也是变换的一类它也应该有类似的作用。本节解决了，为什么要学小波变换，具体的来说小波变换具有什么功能将在后面介绍。3、从傅里叶变换到窗口傅里叶变换因为小波变换可以理解为广义的窗口傅里叶变换，这里我觉得有必要将怎么样从傅里叶变换到窗口傅里叶变换搞明白。当然这是小波变换的课程总结，我的重点不是傅里叶变换，我的侧重点将放在他们之间的关系上。主要包括既然有了傅里叶变换，为什么还要提出窗口傅里叶变换，怎样实现窗口傅里叶变换？3.1傅里叶变换 1822年法国数学家傅里叶发现周期函数可以表示成为正余弦函数形式，这一发现现在看来可以说是信号分析领域一个历程碑式的事件。随着后来非周期信号，离散信号也被用正余弦函数表示出来，以及快速傅里叶（FFT）的提出，傅里叶变换被广泛应用于各个领域。现在给出一个例子，以求有一个直观的理解。先构造一个信号y = sin(2*pi*25*t) +sin(2*pi*50*t) +sin(2*pi*100*t) + sin(2*pi*200*t)这个信号是有4个频率分别为25、50、100和200的正弦信号叠加而成的，我们通过FFT分析它的频率成分。Matlab程序清单如code1。Code1:Fs = 1000; % Sampling frequencyT = 1/Fs; % Sample timeL = 1000; % Length of signalt = (0:L-1)*T; % Time vectory = sin(2*pi*25*t) +sin(2*pi*50*t) +sin(2*pi*100*t) + sin(2*pi*200*t); subplot(1,2,1)plot(Fs*t(1:100),y(1:100)title()xlabel(time (milliseconds)NFFT = 2nextpow2(L); % Next power of 2 from length of yY = fft(y,NFFT)/L;f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2);% Plot single-sided amplitude spectrum.subplot(1,2,2)plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2) title(FT)xlabel(Frequency (Hz)ylabel(|Y(f)|) 图2平稳信号的FFT通过上图我们可以直观的理解傅里叶变换将一个信号从时域变换到频域中的效果。但是为什傅里叶变换有什么问题能，按照傅里叶变换的定义 （1）这里的积分限是从负无穷到正无穷，这样一来他就没有考虑一个随时间变化的因素。非平稳信号，是一类随机信号，他的统计规律是随时间的变化的而变化的，从频谱的角度看非平稳信号的频谱成分是随时间改变的。当傅里叶变换遇上了非平稳信号会有什么结果呢？下面还是通过一个实例来理解。先构造如下一个非平稳信号时间段(单位ms)信号频率（正弦波）0 -2425Hz25 -4950Hz50 -74100Hz75 -99200Hz再对构造出来的这个非平稳信号进行FFT。Code2（对平稳信号进行FFT）：Fs = 1000; % Sampling frequencyT = 1/Fs; % Sample timeL = 1000; % Length of signalt = (0:L-1)*T; % Time vector%y = sin(2*pi*25*t) +sin(2*pi*50*t) +sin(2*pi*100*t) + sin(2*pi*200*t); x=sin(2*pi*25*t);y=x(1:25);x=sin(2*pi*50*t);y(26:50)=x(1:25);x=sin(2*pi*100*t);y(51:75)=x(1:25);x=sin(2*pi*200*t);y(76:100)=x(1:25);%plot(1:100),y);subplot(1,2,1)plot(Fs*t(1:100),y(1:100);title()xlabel(time (milliseconds)NFFT = 2nextpow2(L); % Next power of 2 from length of yY = fft(y,NFFT)/L;f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2);% Plot single-sided amplitude spectrum.subplot(1,2,2)plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2) title(FT)xlabel(Frequency (Hz)ylabel(|Y(f)|)图3 非平稳信号的FFT注意到code2中的非平稳信号频率组成和code1中的频率组成是一样的，而code2中的各个频率组成只有在某一个对应的时间区间内才存在的，这和code2是完全不一样的，但是我们比较一下两者的FFT结果忽略非平稳信号FFT中的次要频率成分两者是可以认为相似的。这样一来傅里叶变换的缺点就显现出来了，对于非平稳信号，傅里叶变换不能分析出某个特定时间内的频率成分，它所作的是对于全局的。也就是说傅里叶在非平稳信号要求分析出时间段内的频率组成显得无能为力了，于是有人就提出了窗口傅里叶变换。3.2 窗口傅里叶变换3.2.1直观认识1946年，Gabor提出了窗口傅里叶变换：在传统的傅里叶分析之前，对信号进行了加窗处理。这里的窗函数g（t）的选择有些特殊：首先，它是实对称函数；其次，它在某个小区间内衰减很小，而在区间外迅速衰减为0。 (2)对于窗口傅里叶变换较为直观的理解是对于非平稳信号其局部可以看作是平稳的。通过加一个窗口就是只考虑窗口内部的，这时就可以使用傅里叶变换了因为它是平稳的。Code3（加窗傅里叶变换）：function timefreq(x, Nw, window)% x % Nw % window subplot(1,2,1);plot(real(x) ; % Lap = Nw/2; %Tn = (length(x) - Lap)/(Nw - Lap); %nfft=2ceil(log2(Nw); %fftTF = zeros(Tn, nfft); %for i = 1 : Tn if (strcmp(window, rec) xw = x(i-1)*10 + 1: i*10 +10); % elseif(strcmp(window, Hamming) xw = x(i - 1)*10 + 1:i*10+10).*Hamming(Nw); elseif(strcmp(window, Blackman) xw = x(i - 1)*10 + 1:i*10+10).*Blackman(Nw); else return; end tmp = fft(xw, nfft); tmp = fftshift(tmp); TF(i,:) = tmp;endsubplot(1, 2, 2);fnew = (1:nfft) - nfft/2) / nfft;tnew = (1 : Tn) *Lap;F, T =meshgrid(fnew, tnew);mesh (T,F,abs(TF);xlabel(n);ylabel(w);zlabel(Gf);图4对于线性调频信号的加矩形窗的窗口傅里叶变换图5 线性调频信号加Blackman窗的窗口傅里叶变换（窗宽为20） 从图4和图5中我们可以看到通过加窗傅里叶变换可以将非平稳的线性调频信号时域分辨率提升上来即实现了时频分析。但是我们可以看到一旦时域的分辨率被提升上来了，频域的分辨率就会降低。这里就引出了海森伯格测不准原理，该定理原来描述运动的物体的动量和位置是不可能被同时确定的。用在这里就是指信号的时域分辨率和频域分辨率不可能同时被提高的，一个域的分辨率的提高必然会带来另个域的分辨率的降低。而这里时分辨率的大小是和时窗宽度有关的，时窗宽度愈大时域分辨率愈小反之愈大。窗口傅里叶变换的优点是将非平稳信号局部平稳化，引进了时域分辨率可是缺点是它所加的窗宽是一定的，对于信号所有频率成分来说时域分辨率和频域分辨率都是固定的。窗6线性调频信号加Blackman窗的窗口傅里叶变换（窗宽30）图7 线性调频信号加Blackman窗的窗口傅里叶变换（窗宽40）3.2.2窗口傅里叶变换中的时频窗上面从较为直观的角度看到了窗口傅里叶变换的特点，下面从数学公式推导加窗傅里叶变换的时-频窗特性。定义1： 设是窗函数，（3） 为时窗中心；称 （4）为时窗半径；设是的傅里叶变换，称（5）为时窗中心；称（6）为频窗半径。这里取 （7）证明：结合正态分布有积分 （8）= （9）=0（10） = =（11）时窗宽度=（12）时窗中心（13）同理频窗宽度 （14）频窗中心 （15）时频窗面积A=（16）由上面的（12），（14），（16）看出时窗半径和频窗半径成反比，即时窗减小必导致频窗增大。这就是说我们不能同时要求，变小来提高时频域的分辨率。这个结果就是由Hesienberg测不准原理造成的。4 小波变换4.1 连续小波变换定义窗口傅里叶变换的缺陷阻碍了人们对于信号的分析，有一点我们要明白，海森伯格测不准原理是一个客观的自然我们是不可能违背自然规律的。上帝为我们关上一扇门的同时又为我们打开了一扇窗。现实工程应用中的大部分信号具有这样一个特点；高频成分持续时间比较短，低频成分持续时间长，可以认为高频成分是信号的细节而低频成分是信号的概貌。这要求我们的变换分析在高频部分具有较高的时域分辨率，而在低频部分具有较高的频域分辨率。一种具有自适应能力的窗口傅里叶变换亟待着被人们发现小波变换就是一个很好的解决方案。3.1连续小波变换，函数的内积 （17）定义为函数f（t）的连续小波变换。如果式17中的是窗口函数，那么式3实质上就是加窗处理。根据a和的不同，窗函数会在时域和频域中移动。在某个具体时频位置（a1, 1）,窗函数会移动到时频平面的某个位置（w1，t1），这时的变换系数反映了窗函数中信号的相干积累结果，反映窗内信号的大小。从内积的角度分析式3的含义，将和都视为信号矢量，在不考虑矢量长度下的情况下（或者归一化能量情况下），可以视为矢量在基矢量方向的投影的大小，如图7图7 信号矢量投影示意图4.2小波基的自适应时频窗及其度量既然说小波变换解决了窗口傅里叶变换的窗口固定导致时频分辨率的固定的问题，就要搞明白小波变换为什么可以实现具有自适应时频窗的。定义：设是小波函数，称下式中、分别为